Matematika Syarat Belajar Filsafat

Metode dialektis. Dalam arti tertentu, kita sudah berada di tengah-tengah metode dialektika, di mana sesuatu seperti dialektika aksiomatik telah dibuktikan. Metode aksiomatik berulang kali melampaui batas-batasnya, dan ketika aksioma-aksioma baru dicari, pencarian ini sendiri tidak dapat lagi disebut aksiomatik. Namun akibatnya, hal ini kembali mengarah pada aksiomatik baru, dan metode aksiomatik tidak dapat dihapuskan dalam metode dialektika seperti yang diinginkan Hegel. Ini harus dibenarkan.

Hegel merasa mudah untuk mengkritik metode aksiomatik. Aksioma-aksioma tersebut berdiri bersebelahan tanpa adanya hubungan internal yang dapat dikenali; aksioma-aksioma tersebut tidak berasal dari konsep benda (misalnya konsep bilangan atau konsep ruang); ia tampaknya tidak mengetahui konsep tersebut sama sekali. Hegel membuktikan  prinsip-prinsip tersebut mempunyai karakter sintetik, yaitu, prinsip-prinsip tersebut memberikan hasil yang benar-benar baru dibandingkan dengan aksioma-aksioma dan definisi-definisi, namun prinsip-prinsip tersebut tidak dikembangkan dari konsep benda, melainkan hasil dari operasi mekanis dengan aksioma-aksioma tersebut. 

Mengingat dogmatisme ilmu pengetahuan universitas, kritiknya memiliki banyak manfaat. Aksioma dianggap sebagai hukum dasar struktur negara ilmu pengetahuan, dan siapa pun yang meragukannya dianggap bodoh atau penipu. Setiap hubungan dengan realitas dan kerja praktis dikaburkan; ilmu pengetahuan yang otonom dan bebas merasa puas dengan dirinya sendiri dalam lingkaran aksioma-aksiomanya.

Sebenarnya, aksioma biasanya merupakan teorema dari filsafat (kebanyakan dari logika), catat Hegel. Kalkulus diferensial menghasilkan aksioma kelengkapan: Jika proses limit dilakukan, maka limit tersebut ada, dan bilangan-bilangan tersebut lengkap. Dengan berkembangnya kalkulus diferensial, aksioma ini ditegakkan kembali. Tentu saja, bentuk ini tidak pernah ditemukan di mana pun, bahkan dalam filsafat. Namun telah terjadi perdebatan panjang dalam filsafat sejak Aristoteles tentang kontinum dan berbagai konsep ketidakterbatasan. Konsep gerak kontinu ditemukan dalam eksperimen dan observasi fisik. 

Semua ini memungkinkan ahli matematika menemukan aksioma yang cocok untuk kalkulus diferensial. Salah satu aksiomatis paling berpengaruh, Cantor, secara eksplisit merujuk pada perdebatan skolastik tentang konsep ketidakterbatasan. Leibniz dan Newton menempatkan kalkulus diferensial dalam konteks pertimbangan filosofis alam. 

Fakta  aksioma didasarkan pada prinsip-prinsip dalam filsafat tidak dapat dilihat sebagai suatu cacat. Kecuali sains aksiomatik membeku dalam dogmatisme yang sudah mati, maka sains akan tumbuh subur di tengah ketegangan antara operasi ilmiah dan aksioma. Hal ini terus-menerus mendorong kita menuju aksioma baru. Mata kuliah ilmu alam itu sendiri mengakibatkan perlunya memperjelas landasan filosofisnya.

Metode dialektika pada dasarnya tidak berbeda, walaupun arahnya berlawanan. Sebagai contoh, lihat bagaimana Hegel menafsirkan kalkulus diferensial. Dia memiliki ketertarikan yang bermotivasi filosofis terhadap pertanyaan ini untuk memecahkan teka-teki logikanya (Hegel), seperti yang tak terbatas dalam yang terbatas; Kuantitatif berubah menjadi kualitatif. Dia tidak menemukan solusi dalam filsafat - sebaliknya, dia ingin membawa filsafat lebih jauh dalam masalah ini - namun dalam kalkulus diferensial. Pencarian turunan akan menghasilkan kemiringan garis singgung, dan hal ini dinyatakan dengan perbandingan ukuran y/x sisi-sisi pada segitiga kemiringan. Setelah rasio ukuran tertentu ini ditemukan, terjadilah penyeberangan perbatasan yang membawa kualitas baru. Pada proses limit, y dan x diganti dengan simbol baru dy dan dx.

dx, dy bukan lagi kuanta,  tidak dimaksudkan seperti itu, tetapi hanya memiliki makna dalam hubungan mereka, makna hanya sebagai momen . Mereka bukan lagi sesuatu , sesuatu yang dianggap sebagai kuantum, bukan perbedaan yang terbatas; tetapi bukan nol , bukan nol yang tidak dapat ditentukan. Terlepas dari perbandingannya, bilangan-bilangan tersebut adalah nol murni, namun bilangan-bilangan tersebut hanya boleh dianggap sebagai momen rasio, sebagai penentuan koefisien diferensial dx/dy. 

Dalam konsep tak terhingga ini, bilangan kuantum benar-benar diselesaikan menjadi sebuah eksistensi kualitatif; ia dianggap benar-benar tak terbatas; ia tidak hanya dihapuskan sebagai kuantum ini atau itu, namun sebagai kuantum secara umum (Hegel). Hegel secara nyata mereproduksi cara kerja kalkulus diferensial: ia mencoba merepresentasikannya dalam bahasa filsafat. 

Dia sama sekali tidak dapat menggantikannya, filosofinya tidak memberikan turunan apa pun dan tidak mengembangkan lebih lanjut kalkulus diferensial. Namun dia berhasil dalam hal yang tidak berhasil dia lakukan dalam matematika: menyadari hubungan batin berbagai konsep yang digunakan, berbagai operasi, dan hasil-hasilnya. Sebagaimana dituntut Kant dalam filsafat, ia mempunyai efek yang mengorientasikan, yang hasilnya adalah gagasan matematika alam.

Filsafat hanya dapat dimulai dari materi yang diberikan oleh ilmu-ilmu alam. Dia bisa menafsirkannya. Jika berhasil memperjelas koneksi baru dan membuka cakrawala baru bagi ilmu pengetahuan, maka akan mendorong hal tersebut menjadi sebuah program dan terlaksana. Dia tidak bisa melakukannya sendiri. Sama seperti teori aksiomatik yang menuduhnya kekurangan konsep, teori ini  harus mengakui  para filsuf hanya menafsirkan dunia; intinya adalah mengubahnya.