Matematika Infinity

Apa ciri-ciri teori kompleks? Ini bukan pertanyaan yang mudah dan masih menjadi topik penelitian. Keisler menjelaskan kompleksitas teori dengan kisaran apa yang bisa terjadi dalam teori - teori di mana lebih banyak yang bisa terjadi lebih kompleks daripada di mana hampir tidak ada yang terjadi.

Sedikit lebih dari satu dekade setelah Keisler memperkenalkan perintahnya, Shelah menerbitkan sebuah buku di mana dia menunjukkan  ada penggambaran antara kelas-kelas kompleksitas seperti garis pemisah yang memisahkan teori-teori yang lebih kompleks dari yang lebih sederhana. Namun, dalam 30 tahun berikutnya, hanya sedikit kemajuan yang dicapai di bidang ini.

Pada  tahun 2009 ordo Keisler muncul kembali: Malliaris mempelajari karya Keisler selama karya doktoralnya dan publikasi berikutnya. Pada tahun 2011, ia dan Shelah mulai berkolaborasi di bidang ini. Misalnya, mereka ingin memahami apa yang mengubah teori sederhana menjadi teori yang sangat kompleks: Sifat mana yang membuat teori menjadi kompleks?. 

Mereka sudah tahu saat itu  teori matematika yang teratur sangat kompleks. Jadi, jika teori mengandung sesuatu seperti tanda yang lebih besar atau lebih kecil dari, mereka sangat kompleks. 

Malliaris dan Shelah ingin mengetahui apakah tipe keteraturan yang melemah  menyebabkan teori menjadi sangat kompleks. Tingkat kerumitan yang tak terbatas. 

Dalam perjalanan penelitian mereka, Malliaris dan Shelah menemukan hubungan yang tidak terduga: jika orde dan varian yang dilemahkannya kompleks secara maksimal, ini  berarti  p dan t adalah sama. Mereka menunjukkan  dua bidang matematika yang berbeda jauh lebih erat hubungannya daripada yang diperkirakan sebelumnya.

 Pada tahun 2016, Malliaris dan Shelah menerbitkan makalah   yang memecahkan kedua masalah: mereka membuktikan  kedua properti pengurutan sama-sama kompleks, dan  p dan t setuju. 

Dalam karya lain, mereka  menunjukkan  tatanan Keisler tidak hanya memiliki dua, tetapi   seperti yang sudah diduga Keisler   jumlah tingkat kerumitan yang tak terbatas. "Entah bagaimana satu hal tiba-tiba mengarah ke hal lain," kata Malliaris, berhasil memecahkan banyak masalah yang berbeda. 

 Malliaris dan Shelah menerima Hausdorff Medal, salah satu penghargaan paling bergengsi di bidang teori himpunan. Kehormatan ini mencerminkan bukti tak terduga dan kuat mereka. Kebanyakan ahli matematika telah memperkirakan  p akan lebih kecil dari t dan hubungan mereka satu sama lain karena itu tidak dapat dibuktikan. Tapi Malliaris dan Shelah membuktikan: Kedua infinity adalah ukuran yang sama. Namun, pekerjaan mereka  menunjukkan  pertanyaan ini memiliki kedalaman yang jauh lebih dalam daripada yang diduga para ahli matematika.

Malliaris dan Shelah membuktikan  p dan t sama dengan menunjukkan hubungan yang sebelumnya tidak diketahui antara teori model dan teori himpunan. Ini harus membuka peluang baru yang menarik di kedua bidang. 

Pekerjaan ini  menghilangkan pertanyaan yang diharapkan para matematikawan dapat membantu memecahkan hipotesis kontinum. Hampir semua ahli masih menganggap  asumsi yang tidak dapat dibuktikan itu salah: Akan sangat luar biasa jika hanya ada dua ukuran infinity yang ditemukan selama ini.