Matematika Infinity

Cantor mampu menunjukkan  tidak ada korespondensi satu-satu antara bilangan real dan bilangan asli: bahkan jika seseorang membuat daftar bilangan asli tak terbatas yang dipasangkan dengan daftar bilangan real, seseorang dapat menemukan bilangan real lain , yang tidak ada dalam daftar ini. Oleh karena itu himpunan bilangan real lebih besar daripada bilangan asli. Itu adalah kelahiran jenis ketidakterbatasan kedua: ketidakterbatasan yang tak terhitung.  Pemetaan satu-satu antara bilangan asli dan bilangan genap. Kedua set dapat dihitung dan mengandung jumlah elemen yang sama.

Tetapi Cantor tidak dapat mengetahui apakah ada ketidakterbatasan lain---yang terletak di antara bilangan asli yang dapat dihitung dan bilangan real yang tidak dapat dihitung. Dia menduga  tidak ada ketidakterbatasan tengah seperti itu. Dugaan ini dikenal sebagai hipotesis kontinum dan telah lama dianggap sebagai salah satu misteri matematika terbesar yang belum terpecahkan.

Pada tahun 1900, matematikawan Jerman David Hilbert menyusun daftar 23 masalah paling penting dalam matematika. Dia menempatkan hipotesis kontinum pertama. "Sepertinya itu pertanyaan yang sangat penting," kata Malliaris. Meskipun banyak upaya, tidak ada yang mampu menjawabnya di abad yang lalu. Apakah ketidakterbatasan berarti ada? Kita mungkin tidak pernah tahu.

Selama paruh pertama abad ke-20, matematikawan berusaha memecahkan hipotesis kontinum dengan mempelajari banyak sekali himpunan yang muncul di berbagai bidang matematika. Mereka berharap  dengan membandingkan tak terhingga, mereka dapat menemukan bilangan yang lebih besar daripada bilangan asli tetapi lebih kecil dari bilangan real, sehingga menyangkal hipotesis kontinum.

Banyak dari perbandingan ini sangat sulit untuk ditangani. Pada 1960-an, ahli matematika Paul Cohen memberikan penjelasan untuk komplikasi ini. Cohen mengembangkan metode yang disebut "pemaksaan" yang menunjukkan  hipotesis kontinum tidak bergantung pada hukum teori himpunan - dan dengan demikian tidak dapat dibuktikan dengan teori himpunan. 

Metode Cohen menyelesaikan karya Kurt Gdel, di mana ia menunjukkan pada tahun 1940  hipotesis kontinum  tidak dapat disangkal oleh hukum matematika. Ini adalah kemunduran besar bagi matematikawan: mereka tidak akan pernah tahu apakah hipotesis kontinum itu benar atau salah. Anda bisa menganggapnya benar atau salah, dan dalam kedua kasus matematika tidak akan mengarah pada kontradiksi.

Cohen memenangkan Fields Medal, salah satu penghargaan tertinggi dalam matematika, untuk karyanya pada tahun 1966. Pada tahun-tahun berikutnya, para ilmuwan menggunakan metode pemaksaannya untuk menyelidiki perbandingan tak terhingga yang sebelumnya belum terpecahkan. 

Dengan melakukan itu, mereka membuktikan  banyak dari perbandingan ini memiliki masalah yang sama dengan hipotesis kontinum: tidak mungkin untuk membuktikannya menggunakan hukum matematika.  

Namun, beberapa pertanyaan tetap tidak terjawab, misalnya apakah p dan t sama. Baik p dan t adalah tak hingga yang sesuai dengan ukuran minimum kumpulan himpunan bagian dari bilangan asli dengan sifat-sifat tertentu.

Definisi yang tepat dari kedua kuantitas sangat rumit dan tidak mutlak diperlukan untuk memahami masalah. Matematikawan tahu  p dan t lebih besar dari jumlah bilangan asli. 

Selain itu, p harus kurang dari   atau sama dengan - t. Jika p lebih kecil dari t, akan ada mean infinity---sesuatu yang lebih besar dari bilangan asli tetapi lebih kecil dari bilangan real. Hipotesis kontinum akan salah. Tetapi seperti yang ditunjukkan Cohen dan Godel, ini tidak dapat dibuktikan. Jadi hanya ada dua kemungkinan yang tersisa: apakah ada bukti  p dan t adalah sama - atau hubungan mereka satu sama lain  tidak dapat dibuktikan.