Matematika Infinity

Hampir semua matematikawan mengharapkan  hubungan antara p dan t tidak dapat ditentukan. Untuk ini mereka harus menunjukkan  masalahnya tidak bergantung pada hukum matematika. Tapi mereka tidak berhasil. Perbandingan p dan t tetap belum terselesaikan selama beberapa dekade berikutnya. Malliaris dan Shelah menemukan solusi untuk masalah ini ketika mereka mencari sesuatu yang sama sekali berbeda.

Penjelasan untuk p dan t. Subset bilangan asli yang besar tak berhingga adalah, misalnya, bilangan genap {2, 4, 6, 8, ...} atau bilangan prima {2, 3, 5, 7, ...}. p dan t mengukur jumlah himpunan bagian yang tak terhingga banyaknya. 

Namun, himpunan bagian ini harus memenuhi dua kondisi yang rumit. Pertama, masing-masing dari mereka harus memiliki tumpang tindih tak terbatas dengan himpunan bagian lainnya. 

Misalnya, ini berlaku untuk bilangan prima {2, 3, 5, 7, 11, ...} dan bilangan ganjil {1, 3, 5, 7, 9, ...} - kecuali untuk nomor 2 , semua bilangan prima bilangan genap. 

Namun, himpunan bagian tidak boleh terlalu mirip: Jika Anda melihat tumpang tindih semua himpunan bagian, itu tidak boleh terdiri dari jumlah angka yang tak terbatas. Jadi hanya bilangan prima dan bilangan ganjil yang tidak cocok karena terlalu mirip.

Matematikawan telah menemukan banyak cara untuk menghasilkan banyak himpunan bagian yang memenuhi sifat-sifat ini. p dan t hitung jumlah himpunan bagian untuk setiap kemungkinan ini dan pilih angka terkecil. Tetapi t menempatkan kondisi tambahan pada himpunan bagian: Ini hanya mengizinkan himpunan bagian yang dapat dipesan. 

Misalnya, salah satu urutannya adalah mengklasifikasikan bilangan prima menjadi lebih kecil dari bilangan ganjil (bahkan jika, menurut Cantor, bilangan tersebut mengandung jumlah elemen yang sama).  

Kondisi tambahan pada t ini membatasi pilihan himpunan bagian yang mungkin. Jadi ada lebih sedikit kemungkinan dari mana t dapat memilih jumlah himpunan bagian terkecil. Oleh karena itu, matematikawan berasumsi  t kemungkinan besar akan lebih besar dari p.

Ukuran kompleksitas. Pada saat yang sama ketika Paul Cohen melarang hipotesis kontinum dari matematika yang dapat diuji, Howard Jerome Keisler mengembangkan pendekatan baru dalam bidang matematika dari teori model.

 Bagi seorang ahli teori model, teori hanyalah seperangkat aksioma atau aturan yang mendefinisikan domain matematika. Teori model mengklasifikasikan teori matematika - ia meneliti akar matematika. "Saya pikir orang tertarik untuk mengkategorikan teori karena mereka ingin memahami apa yang memicu hal-hal tertentu dalam bidang matematika yang sangat berbeda," kata Keisler, profesor emeritus matematika di University of Wisconsin.

Pada tahun 1967 ia memperkenalkan "urutan Keisler" yang dinamai menurut namanya, yang mengklasifikasikan berbagai teori matematika menurut kompleksitasnya. Dia mengusulkan metode untuk mengukur kompleksitas dan mampu membuktikan  teori matematika dapat dibagi menjadi setidaknya dua kelas: teori kompleks minimal dan maksimal. "Itu adalah awal yang baik, tetapi saya merasa  harus ada jumlah kelas kompleksitas yang tak terbatas," kata Keisler.