Filsafat Matematika Descartes [3]

Dalam Buku Dua, diterjemahkan non-geometris. Mancosu mendukung kasusnya dengan bukti dari korespondensi Descartes yang menunjukkan, bagi Descartes, dalam beberapa kasus memang mungkin untuk memahami secara jelas dan jelas hubungan antara garis lurus dan lingkaran, suatu hubungan yang dia anggap tidak tepat di La Geometrie . Yaitu, dalam surat 1638 untuk Mersenne, Descartes menulis,

Anda bertanya kepada saya apakah saya pikir bola yang berputar di pesawat menggambarkan garis yang sama dengan kelilingnya, yang saya balas ya, menurut salah satu prinsip yang saya tulis, yaitu apa pun yang bayangkan dengan jelas dan jelas adalah benar. Karena saya memahami dengan baik garis yang sama kadang-kadang bisa lurus dan kadang-kadang melengkung, seperti string.

Di La Geometrie, hubungan antara garis lurus dan kurva dianggap tidak tepat karena, sebagaimana Descartes katakan, "rasio antara garis lurus dan kurva tidak diketahui, dan saya percaya tidak dapat ditemukan oleh pikiran manusia" (G, 91). Descartes yang kemudian mengakui dengan jelas dan jelas memahami hubungan seperti itu menunjukkan, menurut Mancosu, kriteria yang dinyatakan untuk kurva geometris yang disajikan dalam La Geometrie hanya mengungkapkan sebagian dari agenda matematika Descartes. Potret yang lebih lengkap harus, Mancosu berpendapat, memperhitungkan komitmen Descartes terhadap ketidakmungkinan mengkuadratkan lingkaran.

Apakah Descartes memiliki agenda tersembunyi yang disarankan Mancosu, klaim eksplisit yang digunakan untuk mendefinisikan program pemecahan masalah yang disajikan dalam La Geometrie menunjukkan keterbatasan matematika Descartes. Seperti yang telah lihat di atas, fokus utama Descartes adalah pada standar untuk "ketepatan penalaran" geometri yang terikat pada gerakan yang jelas dan berbeda untuk konstruksi dan pada persamaan hingga untuk merepresentasikan kurva yang dibangun sedemikian.

Akibatnya, tidak ada ruang dalam program La Geometrie untuk menggunakan tak terhingga dalam konstruksi kurva atau untuk merawat kurva yang diwakili oleh persamaan tak terbatas. Karena itu, Descartes menghilangkan dari program geometrisnya unsur-unsur penalaran matematis dan geometris yang memungkinkan bagi Newton dan Leibniz untuk mengembangkan kalkulus pada akhir abad ketujuh belas.

Meskipun demikian, mengingat betapa cepatnya Descartes mengasah keterampilan matematika dan seberapa cepat ia mengembangkan program inovatif untuk geometri, tidak akan terlalu berisiko untuk menerima penilaian diri Descartes dan mempertahankan keyakinan kalkulus akan berada dalam jangkauannya seandainya ia mempertimbangkan infinitesimal dan infinite:

Setelah menentukan seperti yang saya lakukan [di La Geometrie ] semua yang dapat dicapai dalam setiap jenis masalah dan menunjukkan cara untuk melakukannya, saya mengklaim orang-orang seharusnya tidak hanya percaya saya telah mencapai lebih dari para pendahulu saya tetapi juga harus diyakinkan anak cucu tidak akan pernah menemukan apa pun dalam subjek ini yang tidak mungkin saya temukan dengan baik jika saya repot-repot mencarinya.

Daftar Pustaka:

Bos, Henk J.M., 1981, "On the representation of curves in Descartes' Gomtrie," Archive for History of Exact Sciences 24: 295--338.

__, 2001, Redefining Geometrical Exactness: Descartes' Transformation of the Early Modern Concept of Construction. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag.

Descartes, Rene, 1637, The Geometry of Rene Descartes with a facsimilie of the first edition, translated by David E. Smith and Marcia L. Latham. New York: Dover Publications, Inc., 1954. [cited as G followed by page number]