Filsafat Matematika Descartes [3]

Mungkin penjelasan nyata dari penolakan geometer kuno untuk menerima kurva lebih kompleks daripada bagian kerucut terletak pada kenyataan kurva pertama yang menarik perhatian mereka terjadi adalah spiral, quadratrix, dan kurva serupa, yang benar-benar menjadi milik hanya untuk mekanik, dan bukan di antara kurva yang saya pikir harus dimasukkan di sini, karena mereka harus dipahami seperti yang dijelaskan oleh dua gerakan terpisah yang hubungannya tidak mengakui penentuan yang tepat (G, 44).

Descartes secara eksplisit menyebut spiral dan quadratrix sebagai kurva yang konstruksinya "harus dipahami seperti yang dijelaskan oleh dua gerakan terpisah yang hubungannya tidak mengakui penentuan yang tepat." Kemudian dalam Buku Dua ia menjelaskan mengapa deskripsi seperti itu gagal dipahami dengan jelas dan jelas:

geometri seharusnya tidak termasuk garis yang seperti string, dalam arti kadang-kadang lurus dan kadang-kadang melengkung, karena rasio antara garis lurus dan kurva tidak diketahui, dan saya percaya tidak dapat ditemukan oleh pikiran manusia, dan karena itu tidak ada kesimpulan berdasarkan rasio tersebut dapat diterima sebagai ketat dan tepat (G, 91).

Dengan pernyataan ini, masalah mendasar dari spiral, quadratrix, dan "garis yang seperti string" adalah konstruksi mereka memerlukan pertimbangan rasio, atau hubungan, antara lingkaran dan garis lurus. Pertimbangkan spiral. Seperti yang lihat di atas, konstruksinya melibatkan dua gerakan yang seragam: gerakan bujursangkar yang seragam dari suatu titik di sepanjang segmen dan gerakan melingkar seragam dari segmen di se r titik.

Kedua gerakan ini harus dipertimbangkan secara simultan agar jalur titik bergerak untuk menggambarkan spiral, dan ini, bagi Descartes, adalah yang pada akhirnya bermasalah. Pikiran manusia dapat berpikir tentang gerakan simultan bujursangkar dan melingkar, tetapi tidak dapat melakukannya dengan kejelasan dan perbedaan yang diperlukan untuk memenuhi standar geometri yang tepat dan ketat.

Setelah menyajikan kriteria konstruksinya untuk kurva geometris, Descartes mengembangkan koneksi novelnya antara konstruksi geometris dan representasi aljabar kurva ini. Sedangkan dalam Buku Satu Descartes merinci bagaimana menggunakan aljabar untuk menetapkan solusi masalah geometris ada, di sini, di Buku Dua, Descartes mengusulkan hubungan yang lebih kuat antara aljabar dan geometri dan terkenal mengklaim setiap kurva geometris yang sah dapat diwakili oleh persamaan:

Di sini saya bisa memberikan beberapa cara lain untuk melacak dan membayangkan serangkaian garis lengkung, masing-masing kurva lebih kompleks daripada yang sebelumnya, tetapi saya pikir cara terbaik untuk mengelompokkan semua kurva tersebut dan kemudian mengklasifikasikannya dalam urutan, adalah dengan mengenali fakta semua titik kurva yang dapat sebut "geometris," yaitu, yang mengakui pengukuran yang tepat dan tepat, harus menanggung hubungan yang pasti dengan semua titik dari garis lurus, dan hubungan ini harus dinyatakan dengan sarana dari persamaan tunggal (G, 48).

Dia kemudian mulai mengklasifikasikan kurva "geometris" ini sesuai dengan derajat persamaan yang sesuai, mengklaim:

Jika persamaan [kurva] tidak mengandung istilah dengan tingkat yang lebih tinggi dari [produk] segi empat dua kuantitas yang tidak diketahui, atau kuadrat dari satu, kurva milik kelas pertama dan paling sederhana, yang hanya berisi lingkaran, parabola, hiperbola , dan elips; tetapi ketika persamaan mengandung satu atau lebih istilah dari tingkat ketiga atau keempat, dalam satu atau kedua dari dua kuantitas yang tidak diketahui (untuk itu membutuhkan dua jumlah yang tidak diketahui untuk mengekspresikan hubungan antara dua titik) kurva milik kelas kedua; dan jika persamaan tersebut mengandung istilah tingkat kelima atau keenam dalam salah satu atau kedua kuantitas yang tidak diketahui, kurva tersebut termasuk kelas ketiga, dan seterusnya tanpa batas waktu (G, 48).

Poin yang sama dibuat kemudian dalam Buku Dua, di mana Descartes menekankan "tidak peduli bagaimana menyusun kurva untuk dijelaskan, asalkan itu salah satu yang saya sebut geometris," akan selalu mungkin untuk menemukan persamaan yang menentukan semua poin kurva (G, 56). Dia menegaskan kurva geometris dapat diklasifikasikan sesuai dengan persamaan mereka, tetapi juga menunjukkan dalam kelas tertentu, kesederhanaan kurva harus diberi peringkat sesuai dengan gerakan yang diperlukan untuk konstruksi. Misalnya, meskipun lingkaran milik kelas yang sama dengan elips, hiperbola, dan parabola, kurva terakhir ini adalah "sama-sama kompleks" sedangkan lingkaran "jelas merupakan kurva yang lebih sederhana" dan dengan demikian akan lebih berguna dalam pembangunan masalah ( G, 56).

Seperti dalam Buku Satu, Descartes menggunakan Masalah Pappus untuk menggambarkan kekuatan kalkulus geometrisnya, di mana dalam Buku Dua, tujuannya adalah untuk menunjukkan bagaimana klasifikasi aljabar kurva-nya membuatnya mudah "untuk menunjukkan solusi yang [dia] telah berikan masalah Pappus "(G, 59). Tujuan khusus di sini adalah untuk menetapkan kurva yang memecahkan Masalah Pappus umum adalah kurva geometris yang sah, yaitu, untuk menunjukkan kurva Pappus memenuhi standar konstruksi geometri yang tepat dan ketat yang baru saja ia susun. Diskusi Descartes tentang Masalah Pappus dalam Buku Dua dimulai sebagai berikut: