Filsafat Matematika Descartes [3]

Setelah sekarang membuat klasifikasi umum kurva, mudah bagi saya untuk menunjukkan solusi yang telah saya berikan tentang masalah Pappus. Karena, pertama, saya telah menunjukkan [dalam Buku Satu] ketika hanya ada tiga atau empat baris persamaan yang berfungsi untuk menentukan poin yang diperlukan adalah dari tingkat kedua.

Oleh karena itu kurva yang mengandung titik-titik ini [yaitu, kurva Pappus] harus menjadi milik kelas pertama, karena persamaan tersebut menyatakan hubungan antara semua titik kurva Kelas I dan semua titik garis lurus tetap. Ketika tidak ada lebih dari delapan garis yang diberikan persamaan paling banyak merupakan biquadratic, dan oleh karena itu kurva [Pappus] yang dihasilkan milik Kelas II atau Kelas I. Ketika tidak ada lebih dari dua belas garis yang diberikan, persamaannya adalah derajat keenam atau lebih rendah, dan oleh karena itu kurva yang diperlukan milik Kelas III atau kelas bawah, dan seterusnya untuk kasus lain (G, 59).

Seperti ditunjukkan dalam bagian di atas, Descartes menetapkan dalam Buku Dua kurva Pappus jatuh ke dalam kelas-kelas kurva geometrik yang telah ditentukan, di mana kelas di mana kurva Pappus jatuh tergantung pada jumlah garis yang diberikan dalam masalah dan dengan demikian, pada tingkat persamaan di mana masalah berkurang.

Misalnya, ketika Descartes memperlakukan Pappus Problem empat-baris dalam Buku Dua, ia menunjukkan, dengan memvariasikan koefisien dari persamaan derajat kedua yang masalahnya telah dikurangi (melalui analisis Buku Satu), dapat membangun salah satu dari lingkaran, parabola, hiperbola, atau elips (G, 59-80). Artinya, dia menunjukkan kurva Pappus yang memecahkan masalah empat-baris adalah lingkaran atau salah satu dari bagian kerucut, kurva yang sangat "geometris" yang telah dia kelompokkan ke dalam Kelas I.

Dalam dua tahap, kemudian, Descartes telah menunjukkan solusi untuk Masalah Pappus umum. Dalam Buku Satu ia menawarkan analisis aljabar tentang masalah tersebut, dan dalam Buku Dua ia mengklaim untuk memberikan sintesis (atau demonstrasi) kurva yang memecahkan masalah umum adalah kurva geometri yang sah yang memenuhi standar yang dinyatakannya untuk ketepatan dan presisi geometris.

Dan dengan dua tahap ini selesai, Descartes mengklaim ke Mersenne enam bulan setelah La Geometrie diterbitkan perlakuannya terhadap Masalah Pappus umum adalah bukti metode barunya untuk pemecahan masalah geometris adalah peningkatan dari metode pendahulunya:

Saya tidak suka harus berbicara baik tentang diri saya sendiri, tetapi karena ada beberapa orang yang dapat memahami Geometri saya, dan karena Anda ingin saya memberi tahu Anda apa pandangan saya sendiri tentang itu, saya pikir sudah sepantasnya saya harus memberi tahu Anda itu sedemikian rupa sehingga saya tidak dapat berharap untuk memperbaikinya.

Dalam Optik dan Meteorologi saya hanya mencoba menunjukkan metode saya lebih baik daripada yang biasa; dalam Geometri saya, bagaimanapun, saya mengklaim telah menunjukkan ini. Tepat di awal saya memecahkan masalah yang menurut kesaksian Pappus tidak satupun dari orang dahulu berhasil memecahkan; dan dapat dikatakan tidak ada orang modern yang dapat menyelesaikannya juga, karena tidak ada dari mereka yang menulis tentang itu, meskipun yang paling pintar dari mereka telah mencoba untuk menyelesaikan masalah lain yang disebutkan Pappus di tempat yang sama dengan yang telah ditangani oleh orang dahulu.

Sebesar kepercayaan Descartes dalam pemecahannya untuk Masalah Pappus, ada pertanyaan yang melingkupi sintesisnya tentang masalah umum dalam Buku Dua.

Seperti ditunjukkan di atas, Descartes berupaya menetapkan melalui sintesisnya kurva yang menyelesaikan Masalah Pappus adalah "geometris" menurut standarnya sendiri, yaitu, kurva Pappus dapat dikonstruksi oleh gerakan "tepat dan tepat" yang diperlukan untuk membangun dengan benar kurva geometris. Namun, sama sekali tidak jelas Descartes telah membuktikan hal ini. Bahkan ketika membahas Masalah Pappus empat baris dasar dalam Buku Dua, Descartes tidak menarik bagi gerakan yang jelas dan berbeda saat ia membangun kurva Pappus yang memecahkan masalah (dalam hal ini, lingkaran, parabola, hiperbola, dan elips).

Sebaliknya, ia bergantung pada teori kerucut Apollonius, yang mengharuskan kerucut dipotong pada titik yang ditentukan di dalam pesawat, dan seperti yang dikatakan Bos, teknik Apollonia untuk membangun kerucut ini "bukanlah metode konstruksi yang segera menghadirkan dirinya ke pikiran. sebagai jelas dan berbeda ". Khususnya, karena tidak jelas bagi matematikawan pada saat itu apakah konstruksi yang membutuhkan penempatan kerucut di pesawat memenuhi standar yang tepat dan ketat dari penalaran geometris, perlakuan Descartes pada kurva Pappus dalam kasus empat baris ini tidak meyakinkan menunjukkan mereka. Status "geometrik". Kemudian di Buku Dua, ketika dia menangani Masalah Pappus lima baris, masalahnya menjadi lebih rumit.