Namun, pada satu kesempatan di tahun 1925, ketika ia membaca sebuah makalah milik Einstein, matanya tertuju pada catatan kaki Einstein yang tertulis; ‘kontribusi yang sangat penting’ oleh de Broglie. Ia begitu terkesan sekaligus penasaran, sehingga setelah itu ia berusaha untuk mencari salinan makalah de Broglie yang dilampirkan atau disinggung Einstein dalam makalah terbarunya. Louise de Broglie adalah seorang bangsawan Perancis yang menerbitkan makalah - yang tidak lain adalah disertasi untuk gelar PhDnya – yang menjelaskan bahwa jika gelombang elektromagnetik dapat berperilaku sebagai partikel seperti apa yang dijelaskan Einstein dalam efek fotolistrik, maka sebaliknya dalam kondisi tertentu partikel harus berperilaku seperti gelombang.Â
Setelah membaca makalah de Broglie, Schrodinger terkesan dan kemudian merenung bahwa jika memang demikian maka harus ada persamaan (rumus) gelombang yang mewakili evolusi dari gelombang materi melalui ruang, dan juga harus ada sebuah ‘fungsi gelombang’ yang mewakili gelombang itu sendiri.
Beberapa hari sebelum Natal 1925, Schrodinger meninggalkan Zurich untuk liburan singkat di Pegunungan Alpen Swiss. Karena hubungan dengan istrinya yang selalu berada pada titik terendah di setiap waktu, maka ia lebih memilih mengundang seorang pacar lama dari Wina untuk menemaninya, lalu meninggalkan istrinya di Zurich - dia juga membawa catatannya tentang tesis de Broglie. Tidak ada yang tahu persis siapa pacar lamanya itu, atau pengaruh apa yang mungkin dia berikan kepada Schrodinger, hanya saja ketika Schrodinger kembali pada 8 Januari 1926, ia telah menemukan mekanika gelombang.
Persamaan gelombang Schrodinger merupakan sebuah persamaan atau rumus fisika yang sederhana nan elegan. Persamaan ini, ‘mustahil’ untuk diturunkan secara ketat dari fisika klasik, dan bahkan lebih fundamental dari persamaan gerak Newton. Justru sebaliknya, persamaan mekanika klasik Newton yang berfungsi mendeskripsikan perilaku objek dalam fisika klasik, dapat diturunkan dari persamaan Schrodinger. Jadi, semua objek beserta sifat dan perilakunya, baik klasik maupun kuantum - selama objek-objek tersebut tidak bergerak dengan kecepatan cahaya (non relativistik) – memenuhi persamaan gelombang Schrodinger.
Salah satu fisikawan terkenal yang disebut-sebut sebagai 1 dari 10 fisikawan terbaik sepanjang masa, Richard Feynman, mengatakan bahwa persamaan Schrodinger yang dipatuhi oleh semua sistem non-relativistik di alam semesta, tidak bisa diturunkan dari prinsip fisika lain yang lebih mendasar. Persamaan ini keluar begitu saja dari insting dan kejeniusan seorang Schrodinger. Karena persamaan Schrodinger adalah persamaan yang fundamental, maka kita tidak bisa menurunkan persamaan ini, melainkan kita hanya dapat mengikuti jalan pikiran Schrodinger dalam hal bagaimana ia merumuskan persamaan ini.
Schrodinger beranjak dari pemikiran tentang bagaimana caranya untuk mendapatkan sebuah persamaan gelombang yang didasari dari hasil kerja de Broglie, yang dapat menggambarkan perilaku dari sebuah elektron dalam atom sederhana, yaitu atom Hidrogen. Titik awalnya adalah menggunakan persamaan gelombang klasik; yaitu persamaan yang menghubungkan ketergantungan ruang dan waktu dari setiap bentuk gelombang yang dijelaskan oleh fungsi gelombang. Ke dalam persamaan gelombang klasik ini, Schrodinger memasukkan sisi berlawanan dari dualitas gelombang-partikel. Dengan kata lain, ia mensubstitusikan hubungan antara massa partikel - lebih tepatnya momentum partikel - dengan panjang gelombang yang telah dideduksi oleh de Broglie, dan berakhir pada sebuah persamaan gelombang yang sederhana untuk elektron. Persamaan gelombang Schrodinger ini mendeskripsikan gelombang-partikel elektron yang bergetar dalam orbit di sekitar nukleus atau inti atom.
Demi kesederhanaan atau kemudahan, maka dalam usahanya yang pertama ini Schrodinger masih menggunakan pendekatan persamaan gelombang berdiri, bukan persamaan gelombang berjalan. Sederhananya, persamaan gelombang berdiri adalah persamaan untuk gelombang yang tidak memperhitungkan faktor waktu (gelombang yang diam), sedangkan gelombang berjalan adalah gelombang yang merambat (ber-evolusi terhadap waktu), jadi dalam hal ini persamaan gelombangnya bergantung waktu.
Solusi dari persamaan gelombang dalam karya Schrodinger yang pertama ini masing-masing menghasilkan energi gelombang yang berbeda, dan setiap energi tersebut berhubungan dengan gelombang berdiri dalam mode getaran yang berbeda. Setiap mode getaran yang berbeda ini ditafsirkan oleh Schrodinger sebagai keadaan stasioner. Jadi, elektron yang mengorbit dalam atom menunjukkan serangkaian keadaan kuantum yang berbeda, masing-masing dengan energi yang berbeda, karena setiap keadaan mewakili kemungkinan osilasi yang berbeda dari gelombang elektron.
Selanjutnya, Schrodinger juga menunjukkan bahwa bilangan kuantum yang diperkenalkan secara ad hoc oleh Bohr, muncul secara alami, sama seperti bilangan bulat yang menentukan jumlah simpul dalam senar atau tali yang bergetar. Jadi, pekerjaan Schrodinger ini benar-benar berbeda dengan apa yang dicetuskan oleh Heisenberg, dkk., di Göttingen. Karya ini kemudian dipublikasikan dalam bentuk makalah yang diserahkan ke Annalen der Physik pada 27 Januari 1926.
Dalam publikasinya yang kedua, Schrodinger memperkenalkan waktu sebagai ‘variabel yang mempengaruhi’ sehingga ia memperoleh persamaan yang lebih umum untuk perambatan gelombang. Persamaan ini yang kemudian dikenal sebagai persamaan Schrödinger; sebuah persamaan yang umum ditemukan di hampir setiap buku teks fisika kuantum, dan menjadi inti dari mekanika baru – mekanika kuantum gelombang. Persamaan ini sepenuhnya berlaku untuk jenis masalah dinamika yang sama seperti mekanika kuantum matriks yang abstrak dari Göttingen.Â
Persamaan Schrodinger adalah sebuah persamaan diferensial (turunan) parsial, artinya sebuah persamaan yang melibatkan turunan parsial untuk sebuah fungsi yang tidak diketahui yang disebut sebagai fungsi gelombang. Fungsi gelombang ini umumnya dinotasikan dengan huruf Yunani ψ (baca: psi). Persamaan ini mirip dengan persamaan gelombang untuk cahaya dan gelombang elektromagnetik lainnya yang ditemukan Maxwell di abad ke-19. Dengan kata lain, persamaan gelombang Schrodinger ini bisa disebut sebagai anggota dari keluarga yang sama dari persamaan gelombang yang menggambarkan gelombang yang kita lihat sehari-hari seperti gelombang pada permukaan laut, gelombang suara, gelombang radio ataupun gelombang cahaya.
