SOAL I :
Persamaan dalam soal I adalah pengali Lagrange untuk tax havens. Persamaan ini membantu memaksimalkan nilai fungsi tujuan yang tunduk pada kendala, dalam kasus suaka pajak, itu adalah kendala meminimalkan kewajiban pajak. Pengganda Lagrange digunakan untuk menemukan solusi optimal dalam situasi di mana ada kendala, dan dapat sangat berguna dalam ekonomi dan keuangan, di mana sering terjadi pertukaran antara beberapa tujuan.
Oke, pertama mari kita bentuk fungsi Lagrange untuk soal ini.
L(x1, x2, x3, 1, 2, 3) = 4x(2,1) + 2x(2,2) + x(2,3) - 4x1x2 + 1(15 - x1 - x2 - x3) + 2 (20 - 2x1 - x2 - 2x3) + 3x1 + 4x2 + 5x3.
Selanjutnya, kita menemukan titik kritis dengan menghitung turunan parsial dari Lagrangian dan menyetelnya sama dengan 0. Ini memberi kita:
L/x1 = -4x2 + 1 + 22 + 3 = 0
L/x2 = -4x1 + 1 + 2 + 4 = 0
L/x3 = -1 - 22 + 5 = 0
L/1 = 15 - x1 - x2 - x3 = 0
L/2 = 20 - 2x1 - x2 - 2x3 = 0
L/3 = x1 = 0
L/4 = x2 = 0
L/5 = x3 = 0
Sekarang kita memiliki 5 persamaan dan 5 tidak diketahui (x1, x2, x3, 1, 2), yang dapat diselesaikan secara bersamaan. Kita dapat menyederhanakan tiga persamaan pertama:
1 + 22 = 4x2
1 + 2 = 4x1
1 + 22 - 3 = 2 + 4 = -1 + 5 = 0
Memecahkan sistem persamaan, kita mendapatkan:
x1 = 0
x2 = 5/2
x3 = 10
1 = 9/2
2 = -3/2
3 = -11/2
4 = 13/2
5 = 9/2
Oleh karena itu, pengali Lagrange untuk surga pajak dalam soal ini adalah:
z = 4(2,5) + 2(2) + 1(10) - 4(0)(2,5) = 11.
Jadi nilai optimal untuk z tunduk pada kendala yang diberikan adalah 11.
Interprestasi persamaan diatas:
Persamaan pengali Lagrange adalah teknik yang digunakan dalam masalah optimisasi untuk menemukan nilai optimal dari suatu fungsi dengan batasan yang membatasi perilakunya. Dalam contoh di atas, kita memiliki fungsi objektif dengan banyak variabel yang perlu dioptimalkan dengan tunduk pada dua batasan yang membatasi nilainya. Persamaan pengali Lagrange memungkinkan kita menemukan nilai yang memaksimalkan fungsi tujuan sekaligus memenuhi kendala.
Ide dasar di balik persamaan pengali Lagrange adalah memperkenalkan variabel baru, pengali Lagrange, ke dalam fungsi tujuan untuk memperhitungkan kendala. Kendala kemudian dimasukkan ke dalam persamaan dengan mengalikannya dengan pengali Lagrange yang sesuai dan menambahkannya ke persamaan, membuat fungsi Lagrange. Fungsi ini kemudian dibedakan sehubungan dengan variabel asli dan pengali Lagrange untuk menemukan titik kritis, nilai variabel yang mengoptimalkan fungsi tujuan tunduk pada kendala.
Oleh karena itu, pengali lagrange mengukur sensitivitas fungsi tujuan terhadap kendala yang dikenakan oleh masalah. Ini sangat penting dalam ekonomi atau keuangan, di mana pembuat keputusan harus memanfaatkan sumber daya mereka sebaik-baiknya untuk mencapai tujuan perusahaan atau organisasi sambil mematuhi batasan yang diberlakukan oleh lingkungan atau regulator. Oleh karena itu persamaan pengali Lagrange adalah alat yang ampuh untuk memecahkan masalah optimisasi dengan kendala, di banyak bidang, termasuk teknik, manajemen, ilmu sosial, dan ekonomi.
-----------------------------------------------------------------------------
SOAL II:
Untuk menentukan nilai Langrange Multiplier pada fungsi Tax Haven yang diberikan, kita perlu menyelesaikan masalah optimasi dengan menggunakan metode Lagrange Multiplier. Pertama-tama, kita perlu menentukan fungsi Lagrange dengan mengalikan setiap kendala regulasi dengan sebuah multiplier, seperti berikut:
L(x1, x2, 1, 2) = f(x1, x2) - 1g1(x1 + x2) - 2g2(x1 + 2x2)
Selanjutnya, kita dapat mencari nilai x1, x2, 1, dan 2 yang memenuhi kondisi gradient dari L sama dengan nol. Dengan melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan nilai Langrange Multiplier 1 = 2 dan 2 = 1.
Interpretasi dari hasil perhitungan di atas adalah bahwa perusahaan memilih negara Tax Haven untuk meminimalkan besarnya pajak yang dikenakan dengan memanfaatkan kendala regulasi yang ada, yaitu g1 dan g2. Dalam hal ini, keputusan perusahaan untuk memilih negara Tax Haven didasarkan pada faktor-faktor seperti kestabilan politik dan regulasi yang memungkinkan perusahaan untuk menghindari pajak yang tinggi.
Namun, perlu diingat bahwa penggunaan negara Tax Haven untuk menghindari pajak dapat menimbulkan dampak negatif yang signifikan, seperti ketidakadilan sosial dan ekonomi, serta penurunan penerimaan pajak negara yang dapat mengganggu kestabilan fiskal. Oleh karena itu, penting bagi pemerintah dan masyarakat untuk mempertimbangkan implikasi dari penggunaan negara Tax Haven dan mengambil tindakan yang tepat untuk mengatasi masalah tersebut.
-----------------------------------------------------------------------------
SOAL III:
Persamaan fungsi TP yang diberikan adalah f(x)f(1/x) = f(x)f(1/x). Persamaan ini dapat diselesaikan dengan beberapa cara, tergantung pada jenis fungsi yang dimaksud.
Jika f(x) = 0 untuk semua nilai x, maka persamaan tersebut akan selalu terpenuhi, karena kedua sisi persamaan akan sama-sama nol.
Namun, jika f(x) 0 untuk setidaknya satu nilai x, maka kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan f(x)f(1/x), sehingga kita akan mendapatkan persamaan f(x) = f(1/x). Artinya, fungsi f(x) dan f(1/x) memiliki nilai yang sama untuk setiap nilai x dalam domain fungsi.
Interpretasi dari hasil perhitungan di atas adalah bahwa fungsi f(x) yang memenuhi persamaan fungsi TP tersebut memiliki sifat simetri terhadap sumbu y=x. Dengan kata lain, jika kita memetakan nilai x pada grafik fungsi f(x) ke sebelah kiri sumbu y=x, maka kita akan mendapatkan gambaran yang sama dengan memetakan nilai 1/x pada grafik yang sama. Hal ini menunjukkan bahwa fungsi f(x) dan f(1/x) memiliki bentuk yang serupa, sehingga mereka dapat digunakan secara bergantian dalam suatu persamaan atau perhitungan matematis.
Pengetahuan tentang sifat simetri ini dapat berguna dalam berbagai bidang, seperti fisika, ekonomi, atau matematika terapan lainnya. Misalnya, dalam fisika, sifat simetri ini dapat digunakan untuk memprediksi perilaku suatu sistem dalam berbagai kondisi yang berbeda. Sedangkan dalam ekonomi, konsep simetri ini dapat digunakan untuk memodelkan hubungan antara berbagai variabel ekonomi yang saling mempengaruhi, seperti harga dan permintaan. Dalam matematika, sifat simetri ini dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai jenis persamaan, termasuk persamaan fungsi seperti yang telah kita bahas di atas.
