Pemikiran Matematika Euclid

Pemikiran Matematika Euclid

Matematika adalah Gairah tak terhingga;"Kita memiliki, karena ketakutan pada kemungkinan yang tak terbatas, kecenderungan untuk membayangkan alam semesta sebagai "paradox kosmos", yaitu pada model tatanan tempat tinggal yang kita kenal, sekaligus tak mampu kita kenali" (Apollo, 2023)

Gagasan kekakuan dalam matematika telah mengalami berbagai bahaya selama berabad-abad, kadang-kadang menemukan dirinya di jantung pendekatan ahli matematika, kadang-kadang memainkan peran sekunder, atau bahkan hampir dikesampingkan. Beberapa orang akan dengan mudah berargumen   keberhasilan dalam matematika bertumpu pada keseimbangan yang menyenangkan antara intuisi dan ketelitian. Benar, Archimedes bisa dilihat sebagai ilustrasi cemerlang dari simbiosis yang bermanfaat ini.

Apakah kita berhasil menemukan teori atau teori pamungkas Alam Semesta atau tidak, fisika teoretis akan berhasil menyelesaikan program yang telah ditugaskan Plato kepada para astronom: "untuk menjaga penampilan", yaitu, untuk memperhitungkan fenomena.   Lahir dalam kontemplasi bintang-bintang, mungkin akan tiba, pada akhir abad ini, pada akhir hidupnya. Jika dia berhasil, pada saat itu, untuk sepenuhnya memecahkan misteri alam semesta dan galaksi-galaksinya yang jauh.

Pada akhir abad ke-20, fisika teoretis tampaknya mendekati puncaknya. Tetapi, secara paradoks, bukankah kesuksesannya menandai lenyapnya sains, dan kembalinya ke asal-usul filosofisnya? ? Ini adalah pertanyaan yang disarankan perspektif saat ini kepada banyak ahli teori. Pria itu selalu mengangkat matanya yang terpesona ke langit. Kontemplasi ruang, misteri bola berbintang membawanya, di luar mimpi, untuk mengenali keteraturan yang ditentukan oleh keteraturan pergerakan bintang-bintang.

 Ajaib, mitos, religius, metafisik, kemudian ilmiah, pemikiran manusia telah disusun baik oleh hubungan mereka dengan manusia lain maupun oleh hubungan mereka dengan alam. Dan jika elemen pertama geometri dan penomoran, yang mungkin muncul selama milenium ketiga sebelum era kita, dengan penemuan tulisan, tampaknya memenuhi kebutuhan praktis, matematika Babilonia, pada dasarnya aljabar, sudah menjadi saksi keasyikan yang jauh lebih abstrak dan untuk penelitian lebih berorientasi pada keinginan untuk pengetahuan daripada aplikasi. Pengamatan langit, keinginan untuk mendeskripsikan dunia dan memahaminya, kebutuhan akan abstraksi membuat para pemikir Yunani kuno menempa kosmogoni dan mengembangkan filosofi alam.

Hal ini terbukti menjadi sumber inspirasi yang kuat untuk konstruksi pemikiran ilmiah dan hambatan serius untuk pengembangannya. Ketiadaan alat matematika yang memadai tidak dapat, pada kenyataannya, diminta untuk menjelaskan mengapa hampir delapan belas abad berlalu antara penyusunan keinginan untuk mendeskripsikan dunia dan memahaminya, kebutuhan akan abstraksi membuat para pemikir Yunani kuno menempa kosmogoni dan mengembangkan filosofi alam. Ini terbukti menjadi sumber inspirasi yang kuat untuk konstruksi pemikiran ilmiah dan hambatan serius untuk pengembangannya. Ketiadaan alat matematika yang memadai tidak dapat, pada kenyataannya, diminta untuk menjelaskan mengapa hampir delapan belas abad berlalu antara penyusunan keinginan untuk mendeskripsikan dunia dan memahaminya, kebutuhan akan abstraksi membuat para pemikir Yunani kuno menempa kosmogoni dan mengembangkan filosofi alam. Ini terbukti menjadi sumber inspirasi yang kuat untuk konstruksi pemikiran ilmiah dan hambatan serius untuk pengembangannya. Ketiadaan alat matematika yang memadai tidak dapat, pada kenyataannya, diminta untuk menjelaskan mengapa hampir delapan belas abad berlalu antara penyusunan Elemen Euclid , puncak dari matematika Yunani, dan publikasi Dialog Galileo tentang Dua Sistem Besar Dunia , yang menandai kelahiran fisika.

Bagi warga negara rata-rata, terutama secara terang-terangan dalam pengalaman sekolah mereka sendiri, matematika sering dianggap sebagai inti dari kekakuan intelektual, paradigma pendekatan argumentatif. Perasaan seperti itu bersumber pada karya-karya Yunani kuno, di mana orang menemukan beberapa arketipe paling halus dari gagasan revolusi matematika. Para matematikawan dari "Mazhab Yunani" memang telah menunjukkan ketelitian yang ekstrim dan dengan rela tunduk pada formalisme yang ketat, yang dipengaruhi oleh salah satu rekan mereka yang paling terkenal, sonuf Aristoteles (384/ 322 ), kepada siapa kami berutang kodifika jika mengetahuinya yang dikembangkan dalam kerangka apa yang disebut sistem hypothetico-deductive.

Pengetahuan matematika, menurut Aristoteles, didasarkan pada sejumlah konsep primitif yang "fakta" tertentu diakui secara bebas: ini adalah sistem aksioma atau postulat. Dari sana, pernyataan tertentu tentang konsep-konsep ini, atau tentang objek yang lebih kompleks yang didefinisikan darinya, ditetapkan menggunakan unjuk rasa berdasarkan "aturan logika" yang diterima sebagai penalaran yang valid: ini mengarah ke teorema sistem. Contoh tipikal dari method demonstrative semacam itu adalah risalah Euclid (kira-kira ~325 -- ~265) yang dikenal dengan judul The Elements, di mana pengetahuan matematika pada masanya, dalam geometri dan teori bilangan, menjadi subjek dari penyajian yang sistematis dan hampir lengkap.

Menarik untuk dicatat   pengaruh Aristoteles dirasakan bahkan beberapa abad kemudian. Jadi, "metode Aristoteles" dalam menunjukkan pengetahuan adalah yang disukai oleh Isaac Newton (1643-1727) dalam karyanya yang terkenal Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (lihat boks). Lebih dekat ke rumah, matematikawan (polycephalic) Nicolas Bourbaki 1 ingin, sedikit seperti Euclid pada masanya, untuk menawarkan presentasi yang lengkap dan teliti dari semua pengetahuan matematika pada abad ke- 20.

Euklides, Eukleides, atau Euclid Yunani,  (berkembang c. 300 SM,  Alexandria, Mesir), ahli matematika paling terkemuka zaman kuno Yunani Romawi, terkenal karena risalahnya tentang geometri, Elemen.  Tentang kehidupan Euclid tidak ada yang diketahui kecuali apa yang dilakukan oleh filsuf YunaniProclus (c.410/485 CE ) melaporkan dalam "ringkasan" ahli matematika Yunani yang terkenal. Menurutnya, Euclid mengajar di Aleksandria pada masa Ptolemeus I Soter,  yang memerintah Mesir dari tahun 323 hingga 285 SM. Penerjemah dan editor abad pertengahan sering bingung membedakannya dengan filsuf Eukleides dari Megara,  sezaman dengan Plato sekitar satu abad sebelumnya, dan karena itu memanggilnya Megarensis. Proclus mendukung kencannya untuk Euclid dengan menulis "Ptolemeus pernah bertanya kepada Euclid apakah tidak ada jalan yang lebih pendek menuju geometri daripada konteks melaluiElemen dan Euclid menjawab   tidak ada jalan kerajaan menuju geometri." Hari ini beberapa lawan bicara yang menantang Euclid lebih tua dari Archimedes(c.290/212/211 SM ).

Karya fenomenal, "The Elements" , yang diserahkan kepada kita oleh Euclid , menjadi dasar semua geometri selama lebih dari 2000 tahun. Setelah Alkitab, itu adalah karya yang memiliki edisi terbanyak. Sebuah ensiklopedia nyata, terdiri dari 13 buku, yang membahas tentang figur geometris, poligon bertuliskan dan dibatasi pada lingkaran, proporsi, geometri dalam ruang serta angka. Dua buku lainnya akan diselesaikan nanti oleh Archimedes (lingkaran, silinder, Apollonius ( kerucut, kerucut: elips, parabola, hiperbola ).

Demonstrasi pertama membuat karya ini inovatif untuk saat itu. Euclid memberikan definisi yang ketat dan menunjukkan teorema besar nenek moyangnya, seperti Thales of Miletus (-624; -548) dan Pythagoras of Samos (-569; -475) misalnya.

Dalam "The Elements" , kita menemukan khususnya lima postulat yang menemukan dasar-dasar geometri. "Postulat" berasal dari bahasa Latin "postulare = bertanya". Postulat adalah prinsip yang diminta untuk diterima, yang diakui untuk membangun demonstrasi atau untuk mengejar teori.

Bagian pertama (buku I-IV) menjelaskan dengan baik dasar-dasar geometri bidang dan beberapa penerapannya. Namun, ini diikuti oleh teori proporsi abstrak (manipulasi rasio: buku V) dan oleh aplikasi geometris yang terakhir (kriteria kesamaan segitiga, teori bentuk serupa: buku VI). Berikutnya adalah eksposisi teori bilangan yang paling diartikulasikan di seluruh korpus. Matematika Yunani (teori rasio numerik, bilangan prima, barisan geometri: buku VII-IX). Presentasi ini diikuti oleh klasifikasi garis irasional yang tampak mengerikan (ini adalah kuantitas yang dapat direpresentasikan, dalam bahasa aljabar dan dengan cara yang sangat mendekati, dengan jumlah atau perbedaan dari dua atau beberapa radikal: buku X   dalam semua 115 proposisi.

Dalam Buku XIII, Euclid  mempelajari lima polihedra beraturan (dikenal sebagai milik Plato). Dia menunjukkan   ada lima dan hanya lima di antaranya: tetrahedron, oktahedron, ikosahedron, kubus, dan dodecahedron. (Wajah polihedron beraturan semuanya adalah poligon beraturan yang identik.)

Buku VII, VIII dan IX tentang aritmatika (ilmu bilangan). Euclid bekerja khususnya pada bilangan prima (bilangan yang tidak memiliki pembagi selain 1 dan dirinya sendiri) dan membuktikan antara lain   jumlahnya tidak terbatas. Dia tidak menegaskannya dengan cara ini karena orang Yunani Kuno menolak gagasan apa pun tentang gagasan tak terhingga saat ini. Dia menyatakan:
"Bilangan prima lebih banyak daripada banyak bilangan prima yang diusulkan.
Demonstrasinya menuju ke arah ini. Pertimbangkan bilangan prima: 7 misalnya. Mari kita tunjukkan   ada yang lebih besar. Mari kita bentuk perkalian bilangan prima kurang dari atau sama dengan ditambah 1, yaitu 2x3x5x7+1. Bilangan ini tidak habis dibagi 2, atau 3, 5 atau 7. Oleh karena itu bilangan prima dan lebih besar dari 7.Penalaran ini dapat direproduksi dengan bilangan prima apa pun.

Tiga buku berikut secara berturut-turut menawarkan ringkasan geometri dalam ruang (buku XI), penentuan hubungan antara bangun ruang tertentu (silinder berukuran tiga kali silinder kerucut dengan alas yang sama dan tinggi yang sama, dll.: book XII), , konstruksi lima polihedra beraturan dan perbandingan ujung-ujungnya (buku XIII).

Sekarang mari beralih ke apa yang sebenarnya kita ketahui tentang Euclid. Faktanya, file biografi yang berkaitan dengan Euclid terdiri dari beberapa anekdot yang diceritakan oleh penulis yang hidup berabad-abad setelahnya. Asal usul kisah-kisah ini tidak dapat dikendalikan; kemungkinan besar mereka dibuat dengan tepat untuk menutupi kekurangan data biografis. Fenomena ini tidak spesifik untuk Antiquity: setiap era menulis novel ilmiah dengan caranya sendiri. Kita, zaman popularisasi dan kebenaran politik, dapat menawarkan kita spekulasi tak berdasar seperti Euclid, pendeta tinggi berkulit hitam.

Kita dapat membandingkan situasi ini dengan banyaknya anekdot tentang kehidupan Archimedes, yang hampir sezaman dengan Euclid: jumlah mereka yang banyak sebagian dijelaskan oleh fakta   Syracusan adalah satu-satunya ahli matematika Yunani yang biografinya telah kami tulis tak lama setelah kematiannya.

Demikian pula, seseorang harus mempertimbangkan sebagai dugaan belaka representasi Euclid yang mengajar matematika dalam kerangka kegiatan didaktik yang akan dilaksanakan di Museum Alexandria yang terkenal. Penanggalan tradisional Euclid (awal abad ke-3 SM dan dokumen yang paling dapat diandalkan tentang tanggal pendirian Museum membuat hipotesis ini menjadi tidak mungkin. Terlebih lagi, tidak ada kesaksian yang memungkinkan kami untuk menegaskan   pada periode Hellenistik, Museum adalah pusat kegiatan pendidikan apa pun.

Kurangnya data biografi menghasilkan mitos lain, yang satu ini benar-benar modern: Euclid hanya akan menjadi nama pena dari tim penulis-penyusun. Hipotesis ini, sebenarnya pertama kali diajukan pada tahun 1950-an, hanya dapat tampak masuk akal bagi seseorang yang tidak memiliki gagasan sedikit pun tentang klaim sengit kepengarangan yang menjadi ciri semua sastra Yunani, dan bidang matematika pada khususnya.

Karena semua alasan inilah sejarawan lebih suka mengambil sebagai objek studi kumpulan tulisan yang dikaitkan dengan Euclid daripada kehidupan dan niat penulisnya. Ini   mengapa, secara lebih umum, sangat sulit bagi kita untuk menempatkan matematika Yunani ke dalam konteks, sejauh semesta wacana mereka merujuk pada diri sendiri.

Tulisan-tulisan Euclid berada di dasar genre sastra yang dibentuk oleh semua risalah matematika Yunani. Mereka bermain, di mata ahli matematika dan ekseget kemudian, peran referensi bekerja baik dari sudut pandang konten dan praktik gaya. Mereka telah mengalami operasi editorial yang sama dengan produk sastra Yunani mana pun dari periode Helenistik hingga Zaman Kuno Akhir: mereka telah diberi catatan, dikomentari, ditinjau, diselesaikan oleh generasi ahli matematika dan cendekiawan. Untuk ini, Euclid memberikan "ukuran yang adil". Oleh karena itu mereka sering mengabdikan diri untuk secara retrospektif membenarkan "pilihan" mereka, terkadang berdebat dengan para kritikus, seperti halnya dengan Apollonius atau Geminos.

Dalam kasus-kasus di mana korpus Euclid dianggap menghadirkan "kesenjangan", tradisi ilmiah mengambil tugas mendalilkan keberadaan risalah yang mungkin mengisinya: ini adalah kasus yang disebut risalah Euclidean dalam empat buku pada bagian Keberadaannya memiliki keutamaan yang sangat mencurigakan untuk menjelaskan ciri-ciri tertentu dari risalah pada bagian berbentuk kerucut oleh Apollonius, seorang penulis yang hidup setelah Euclid. Ini mungkin mengejutkan pembaca, tetapi bahkan dengan seorang penulis yang dikenal sebagai Euclid, masih ada pekerjaan yang harus dilakukan oleh seorang sejarawan. Berikut adalah daftar tugas penting:

1. Menganalisis transmisi karya ilmiah dan ornamen yang telah dilestarikan oleh tradisi : komentar, anotasi pinggir (dikenal sebagai scholia). Tugasnya adalah mengidentifikasi kemungkinan penambahan (yang disebut interpolasi) atau perubahan karena tulisan tangan setelah tulisan aslinya, apakah itu kalimat sederhana, proposisi atau lemma. Kompilasi berbagai bukti yang terkandung dalam berbagai cabang tradisi manuskrip menjelaskan fenomena, yang sebelumnya kita temukan sendiri,   ada, dalam teks yang diterima dari Elemen, banyak bukti alternatif. Selama dekade terakhir, pentingnya terjemahan bahasa Arab telah dipahami, dalam hal Elemen, menyajikan teks yang lebih keras yang tidak terlalu terpengaruh oleh interpolasi.  dimungkinkan, sekali lagi berkat perantara sumber-sumber berbahasa Arab, untuk sepenuhnya menyusun kembali isi, jika bukan demonstrasi, dari risalah tentang Pembagian.

2. Mencari potongan tulisan Euclidean yang tersisa di sumber sekunder, meskipun itu bukan teks matematika strico sensu. Ini, misalnya, kasus komentator akhir pada karya Aristoteles, yang menggunakan repertoar contoh kanonik untuk memperjelas bagian dari Stagirite. Dan memiliki kasus yang menarik tentang hal ini dengan Pseudaria , di mana dua proposisi baru-baru ini telah diidentifikasi dalam komentar Alexander dari Aphrodisias Topik Aristoteles.

3. Untuk mempelajari keturunan risalah Euclidean, baik di dunia Yunani maupun dalam tradisi matematika Arab dan di Abad Pertengahan Latin. Keturunan seperti itu mungkin hanya terdiri dari beberapa penyebutan di antara para filsuf.   

4. Tawarkan deskripsi konten dan praktik gaya yang sebebas mungkin dari prasangka epistemologis, matematis, atau filosofis. Jika hal ini tidak selalu memungkinkan, setidaknya sejarawan harus membekali dirinya dengan kesadaran historiografis yang mampu membuatnya menghargai masalah. Sebagai contoh, perspektif eksegetis yang menyajikan teorema-teorema Buku II Unsur-unsur sebagai aljabar terselubung baru-baru ini telah ditinggalkan. Tak perlu dikatakan   tugas terakhir adalah yang paling sulit untuk dipenuhi.

Konstruksi matematika Euklides, Eukleides, atau Euclid;  Membangun figur terdiri dari, kecuali diinstruksikan sebaliknya, dalam menentukan titik-titik yang membentuknya hanya dengan menggunakan dua instrumen ini, penggaris dan kompas, yang diwarisi dari tradisi Platonis. Penggaris di sini terlihat sebagai cara untuk menghubungkan dua titik (yang sudah ditentukan) menjadi satu. Ini digunakan untuk menggambar segmen atau garis lurus: karena itu tidak lulus. Kompas digunakan untuk menggambar lingkaran yang pusat dan titiknya sudah ditentukan. Ini juga akan digunakan untuk menempatkan titik sebagai perpotongan dua lingkaran.

Penggunaan penggaris dan jangka saja dalam suatu konstruksi membutuhkan refleksi, penalaran, tetapi tidak harus wajib atau sistematis. Keakuratan yang disebut instrumen ini sangat dipertanyakan.
Di sekolah, tujuan konstruksi adalah untuk mengevaluasi pengetahuan siswa tentang pengetahuan baru dan sifat geometris yang luar biasa dari pengetahuan ini (misalnya, untuk membangun garis bagi suatu segmen, mengikuti karakterisasinya ). Namun, seseorang hanya dapat meminta penggunaan penggaris dan kompas yang tidak lulus. Kalau tidak, kita akan berbicara tentang menggambar daripada membangun. Dan di sana, semua alat diperbolehkan.

Penggunaan penggaris ukur, busur derajat, bujur sangkar, secarik kertas, bahkan kalkulator saat ini, dll., umumnya akan muncul dalam kasus di mana konstruksi gambar hanya merupakan pendukung visual dari masalah yang dipelajari dan tidak sebuah tujuan.

Kekaguman yang hampir mistis terhadap garis lurus dan lingkaran yang diinduksi oleh Plato (427 SM - 348 SM) menjelaskan gagasan konstruksi geometris yang dapat diterima hanya dengan menggunakan kompas dan penggaris. Ini tidak diragukan lagi merupakan rem pada pengembangan matematika melalui geometri Euclidean.

Memang, perpotongan garis lurus dan lingkaran memberikan paling banyak dua titik; akibatnya, mitra aljabar dari dogma konstruksi ini terbatas pada persamaan kuadrat dan memberikan solusi hanya untuk masalah kuadrat, dan karena itu dapat dibangun.
Masalah konstruktibilitas dalam arti Euclid mempesona dan menghantui ahli matematika hingga abad ke-19. Pembagian tiga sudut, kuadrat lingkaran dan duplikasi kubus adalah yang paling terkenal dari masalah matematika terkenal yang belum terpecahkan ini.

The French Wantzel (1814-1848) memperluas karya Gauss (1777-1855), diterbitkan pada tahun 1837 kriteria non-constructibility dengan penggaris dan kompas (teorema Gauss-Wantzel). Dengan demikian mengakhiri 2.000 tahun penelitian sia-sia dengan menunjukkan kemustahilan dari tiga masalah yang terkenal (membagi tiga, mengkuadratkan dan duplikasi).

Namun, tidak ada yang sia-sia dalam sejarah umat manusia. Para matematikawan Yunani dipenuhi dengan imajinasi dan kejeniusan dalam tekad mereka untuk memecahkan masalah-masalah halus seperti penggandaan kubus, evaluasi, pembagian tiga sudut atau kuadrat lingkaran. Studi tentang bagian kerucut dan teori proporsi, misalnya, dikembangkan untuk tujuan ini.