Archimedes Ukuran Lingkaran

Archimedes dan Ukuran Lingkaran

Archimedes dari Syracuse (c. 287 SM - c. 212 SM) Archimedes, membuat Teorema I   "Ukuran lingkaran" Archimedes".  Dalam panorama Ilmu Pengetahuan Yunani abad ketiga SM, sosok Archimedes (287-212) menonjol.

 Kontribusi fundamentalnya untuk Geometri dan Aritmatika, untuk Mekanika dan Hidrostatika, memberinya arti penting dalam Sejarah Ilmu Pengetahuan. Bersama dengan Euclid (c.300) dan Apollonius (270-190), mereka membentuk apa yang disebut Zaman Keemasan Matematika Yunani.

Mempertahankan kekakuan Euclidean,  Archimedes memberikan karyanya niat yang jelas untuk menghitung dan mengukur. 

Mungkin ini karena asal-usulnya - dia adalah putra Phidias sang astronom - dan tanda-tanda zamannya - dia sezaman dengan Aristarchus dari Samos, dan Eratosthenes (276-194), astronom dan pustakawan Alexandria, penulis dari Pada ukuran Bumi,  di mana kita mewariskan perhitungan jari-jari Bumi yang terkenal.

 Dalam konteks itu, Archimedes menulis bukunya tentang Ukuran Lingkaran .

Dalam Teorema I karya itu, Archimedes menawarkan kepada kita "persegi panjang" yang indah dari lingkaran dengan metode kelelahannya; dan dalam Teorema III ia memperoleh perkiraan yang terkenal dari bilangan (perbandingan antara panjang keliling dan diameternya!), pecahan 22/17. 

Pengaruh besar yang diberikan oleh karya Archimedean pada komunitas ilmiah di seluruh Abad Pertengahan Arab dan Latin, serta di Renaisans Italia, memiliki Ukur lingkaran yang paling efektif dan perwakilan awal, baik karena daya tarik lingkaran,  serta untuk kesederhanaan pernyataan teorema dan pengembangan ahli buktinya.

Dari semua risalah Archimedean yang bertahan, ini adalah salah satu yang paling terkenal. Itu tidak didahului oleh prolog dan terdiri dari tiga teorema, yang kedua tidak relevan. Para sarjana karya Archimedes sebagian besar setuju   itu adalah fragmen dari karya yang lebih besar. 

Bagaimanapun, bersama dengan On the sphere dan silinder, itu adalah karya yang paling banyak dikutip di zaman kuno dan salah satu dari lima karya Archimedean yang sampai ke tangan Eutocio, seorang komentator abad ke-6. Itu dikenal dan dipelajari oleh matematikawan abad pertengahan, Arab dan Latin.

Teorema "Luas lingkaran sama dengan luas segitiga siku-siku yang kakinya adalah jari-jari dan panjang keliling lingkaran itu sendiri." Biarkan ABCD menjadi lingkaran yang diberikan dan K adalah segitiga yang dijelaskan. Jadi jika lingkaran tidak sama dengan K, itu akan lebih besar atau lebih kecil.

Misalkan, jika mungkin,   lingkaran lebih besar dari K. Mari kita buat persegi ABCD dan buat titik tengah busur AB,BC,CD,DA. Mari kita lanjutkan proses bagi dua ini (jika perlu) sampai sisi-sisi poligon bertulisan yang simpul-simpulnya adalah titik-titik pembagian subtender segmen lingkaran yang jumlahnya kurang dari kelebihan luas lingkaran di atas K. 

Jadi, luas poligon yang diperoleh akan lebih besar dari K. Biarkan AE menjadi sisinya dan ON tegak lurus terhadap AE dari pusat O. Kemudian ON lebih kecil dari jari-jari lingkaran dan, oleh karena itu, kurang dari satu kaki segitiga K.   keliling poligon lebih kecil dari keliling lingkaran, yaitu kurang dari kaki lainnya. Akibatnya, luas poligon kurang dari K; yang bertentangan dengan hipotesis;

Tetapi bagaimana cara menemukan teorema, yang tersembunyi di bawah demonstrasi sempurna dengan metode kelelahan? Untuk berpikir   Archimedes dapat mencapai hasil melalui heuristik, penggunaan teknik sangat kecil, "menambahkan" segitiga sama kaki tak terbatas dengan sisi sama dengan jari-jari lingkaran dan dengan segmen dasar sangat kecil yang akan bingung dengan busur lingkaran yang sangat kecil.

Archimedes, menempatkan teorema ini di awal risalahnya, mengedipkan mata pada topik mengkuadratkan lingkaran. Dengan mencapai kesetaraan antara lingkaran dan segitiga (yang tentu saja merupakan angka kuadrat!) masalah yang terkenal dan sulit tampaknya akan terpecahkan; tetapi segitiga K tidak dapat dibuat dengan penggaris dan kompas, karena salah satu kaki persis panjang kelilingnya. 

Apa yang telah dicapai Archimedes adalah untuk "mengurangi" masalah mengkuadratkan lingkaran menjadi masalah meluruskan keliling, yaitu, pada konstruksi penggaris dan kompas dari bilangan. Pada spiralia memperoleh perbaikan keliling melalui kurva spiral yang ia temukan, kurva yang bersifat mekanis dan tidak dapat dibangun dengan penggaris dan kompas.

Oleh karena itu dimungkinkan untuk menuliskan nama Archimedes di antara mereka yang "mengkuadratkan lingkaran" dengan cara yang tidak ortodoks; tetapi sangat mungkin   dia mengetahui ketidakmungkinan melakukannya dengan penggaris dan kompas, serta kondisi irasional dari angka,  dan ini akan menjelaskan perkiraan perhitungannya yang dengannya dia akan menutup risalahnya tentang lingkaran.

Sangat menarik, dalam kaitannya dengan studi perkembangan masalah pelik ketidakterbatasan matematika sepanjang sejarah, untuk mengamati apa yang dilakukan Archimedes, salah satu matematikawan terbesar yang pernah hidup, dengan konsep itu. 

Dalam karyanya, kata "tak terbatas" (apeiros) hanya disebutkan dua kali, dan ini terjadi di awal Arenario, ketika Archimedes mencoba membantah tesis   jumlah butiran pasir yang ada di dunia tidak terbatas. 

Keinginan yang teguh untuk secara nominal menyembunyikan konsep yang memainkan peran penting dalam karya Archimedean (bukan kebetulan Archimedes dianggap sebagai pelopor kalkulus yang sangat kecil) menanggapi persyaratan "akademik" Alexandrian, Euclidean, yang bersama-sama dengan teori dan persyaratan yang ketat. konten ketat dipaksa untuk menghindari tak terhingga, dinyatakan oleh Aristotle.

Eudoxus adalah ahli matematika Yunani yang hebat yang tahu bagaimana menghindari dan, dengan cara tertentu, mendominasi ketidakterbatasan saat ini. Idenya adalah menghapus kuantitas "sangat kecil" dan "besar tak terhingga" dari pertimbangan matematis, dan dia mencapai ini dengan pernyataan yang diberikan Euclid sebagai definisi 4 Buku V Elemen:

"Dua besaran dikatakan memiliki perbandingan satu sama lain jika salah satunya memiliki kelipatan yang lebih besar dari yang lain."

Artinya, jika a dan b adalah besaran yang "benar" di antara keduanya, pasti ada bilangan asli m dan n sedemikian rupa sehingga ma > b dan nb > a. Tetapi proposisi atau lemma yang digunakan Euclid di seluruh Buku XII untuk memperoleh hasil-hasilnya pada bidang-bidang dan volume-volume melalui prosedur kelelahan, merupakan konsekuensi langsung dari definisi ini; adalah PROPnya. 1 dari Buku X:

"Mengingat dua besaran yang tidak sama, jika dari yang lebih besar kita kurangi besaran yang lebih besar dari setengahnya, dari yang tersisa kita kurangi besaran yang lebih besar dari setengahnya dan, jika kita mengulangi proses ini terus menerus, kita akan sampai pada besaran yang akan lebih kecil dari besaran awal yang lebih kecil.

Archimedes mengangkat gagasan Eudoxus ke dalam aksioma, dengan sedikit memodifikasi pernyataannya dan menempatkannya di awal banyak bukunya, Aksioma Eudoxus-Archimedes :"pada dua besaran yang tidak sama, garis, permukaan, atau padatan, perbedaan antara yang lebih besar dan lebih kecil, ditambahkan ke dirinya sendiri beberapa kali, dapat melebihi besarnya yang diberikan (dari jenis yang sama seperti yang dibandingkan)".

Dengan demikian, kita akan menyimpulkan   dalam Ukuran lingkaran dua aspek produksi ilmiah Archimedean diilustrasikan: di satu sisi, Teorema 1, di mana Archimedes menggabungkan intuisi penemuan dengan keahlian demonstrasi Euclidean, sehingga diperoleh hasil penuh konsekuensi: 

[a] Ini membuka kemungkinan lain untuk mengkuadratkan lingkaran dengan penggaris dan kompas dengan memperbaiki keliling. [b] Ini adalah konfirmasi yang mengagumkan   konstanta yang mengikat panjang keliling dengan diameter, dan luas lingkaran dengan kuadrat jari-jari, adalah sama (angka !).

dan {c]  Hal ini adalah embrio dari hasil luar biasa lainnya: "luas permukaan bola empat kali lipat dari salah satu lingkaran besarnya." 

Archimedes menjelaskan dalam prolog Metode Mekanikbagaimana, dengan alasan yang analog dengan hasil Teorema I, Archimedes menyimpulkan volume bola sama dengan kerucut dengan luas alas sama dengan permukaan bola dan tinggi sama dengan jari-jari bola; yang, bersama-sama dengan teorema 34 dari_ Pada bola dan silinder, yang mengatakan: 

"volume bola empat kali lipat dari kerucut dengan alas lingkaran besar dan tinggi jari-jari bola", mengarah ke hasil yang mengejutkan sebelumnya . Archimedes jelas Platon is dalam menyatakan   penemuan luas permukaan bola ini "secara alami melekat pada bola, tetapi tetap tersembunyi dari mereka yang telah mempelajari geometri sebelum saya."

Hasil seperti ini membuatnya mendapat julukan yang membuatnya dikenal sampai zaman Galileo: "Archimedes ilahi." 

Lebih manusiawi, atau setidaknya lebih dekat dengan kepentingan duniawi, adalah Teorema III-nya, yaitu perkiraan angka,  yang akan terus digunakan -tidak ditingkatkan- selama lebih dari satu milenium (  hasil yang mengagumkan karena keterampilan dalam menangani angka dan karena aritmatika kalkulatifnya untuk tujuan praktis sangat jauh dari kepentingan Platon is-Euclidean Akademi). 

Teorema ini, untuk beberapa kontribusi Archimedean yang paling relevan untuk Sains di masa depan, dapat mewakili segi lain -asli dalam semangat matematika Yunani-, yaitu pendekatan Matematika terhadap realitas sosial-budaya, ditempatkan pada layanan The teknik.

Perangkat mekanis luar biasa yang dirancang oleh Archimedes untuk membela tanah airnya di Syracusan, yang diperbesar oleh penulis seperti Plutarch, memperkuat imajinasi populer selama berabad-abad visi matematika sebagai disiplin yang mampu mengendalikan fenomena Alam: fisika Galilea kemudian metode matematika akan berutang banyak pada karya brilian Archimedes.

Mengenai lokasi Pengukuran Lingkaran dalam kronologi karya archimedean, semua spekulasi mungkin terjadi. Kita tahu dari prolog ke beberapa karyanya   Archimedes memberikan waktu untuk berlalu antara pekerjaan penelitiannya dan "publikasinya", yaitu, sampai dia mengirimkan hasil tersebut ke beberapa anggota komunitas matematika Aleksandria. 

Sangat mungkin   Teorema 1, karena kesederhanaannya dan penggunaan teknik Euclidean, merupakan pencapaian pemuda; tetapi kami berpikir   hasil Teorema III, terlepas dari waktu diperolehnya, dipublikasikan oleh Archimedes yang matang di akhir karirnya, ketika pasti akumulasi pengalaman dan intuisinya yang tajam membuatnya curiga terhadap realitas angka (?),  yang hanya dapat kita akses kira-kira. 

Dan di sana diakui kebesaran dan kesengsaraan dari keterbatasan kita.

Citasi:

• Corfield, D., 2003, Towards a Philosophy of 'Real' Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
• Freudenthal, H., 1975, Mathematics as an Educational Task, Dordrecht: Reidel.