Archimedes Ukuran Lingkaran

"Dua besaran dikatakan memiliki perbandingan satu sama lain jika salah satunya memiliki kelipatan yang lebih besar dari yang lain."

Artinya, jika a dan b adalah besaran yang "benar" di antara keduanya, pasti ada bilangan asli m dan n sedemikian rupa sehingga ma > b dan nb > a. Tetapi proposisi atau lemma yang digunakan Euclid di seluruh Buku XII untuk memperoleh hasil-hasilnya pada bidang-bidang dan volume-volume melalui prosedur kelelahan, merupakan konsekuensi langsung dari definisi ini; adalah PROPnya. 1 dari Buku X:

"Mengingat dua besaran yang tidak sama, jika dari yang lebih besar kita kurangi besaran yang lebih besar dari setengahnya, dari yang tersisa kita kurangi besaran yang lebih besar dari setengahnya dan, jika kita mengulangi proses ini terus menerus, kita akan sampai pada besaran yang akan lebih kecil dari besaran awal yang lebih kecil.

Archimedes mengangkat gagasan Eudoxus ke dalam aksioma, dengan sedikit memodifikasi pernyataannya dan menempatkannya di awal banyak bukunya, Aksioma Eudoxus-Archimedes :"pada dua besaran yang tidak sama, garis, permukaan, atau padatan, perbedaan antara yang lebih besar dan lebih kecil, ditambahkan ke dirinya sendiri beberapa kali, dapat melebihi besarnya yang diberikan (dari jenis yang sama seperti yang dibandingkan)".

Dengan demikian, kita akan menyimpulkan   dalam Ukuran lingkaran dua aspek produksi ilmiah Archimedean diilustrasikan: di satu sisi, Teorema 1, di mana Archimedes menggabungkan intuisi penemuan dengan keahlian demonstrasi Euclidean, sehingga diperoleh hasil penuh konsekuensi: 

[a] Ini membuka kemungkinan lain untuk mengkuadratkan lingkaran dengan penggaris dan kompas dengan memperbaiki keliling. [b] Ini adalah konfirmasi yang mengagumkan   konstanta yang mengikat panjang keliling dengan diameter, dan luas lingkaran dengan kuadrat jari-jari, adalah sama (angka !).

dan {c]  Hal ini adalah embrio dari hasil luar biasa lainnya: "luas permukaan bola empat kali lipat dari salah satu lingkaran besarnya." 

Archimedes menjelaskan dalam prolog Metode Mekanikbagaimana, dengan alasan yang analog dengan hasil Teorema I, Archimedes menyimpulkan volume bola sama dengan kerucut dengan luas alas sama dengan permukaan bola dan tinggi sama dengan jari-jari bola; yang, bersama-sama dengan teorema 34 dari_ Pada bola dan silinder, yang mengatakan: 

"volume bola empat kali lipat dari kerucut dengan alas lingkaran besar dan tinggi jari-jari bola", mengarah ke hasil yang mengejutkan sebelumnya . Archimedes jelas Platon is dalam menyatakan   penemuan luas permukaan bola ini "secara alami melekat pada bola, tetapi tetap tersembunyi dari mereka yang telah mempelajari geometri sebelum saya."

Hasil seperti ini membuatnya mendapat julukan yang membuatnya dikenal sampai zaman Galileo: "Archimedes ilahi." 

Lebih manusiawi, atau setidaknya lebih dekat dengan kepentingan duniawi, adalah Teorema III-nya, yaitu perkiraan angka,  yang akan terus digunakan -tidak ditingkatkan- selama lebih dari satu milenium (  hasil yang mengagumkan karena keterampilan dalam menangani angka dan karena aritmatika kalkulatifnya untuk tujuan praktis sangat jauh dari kepentingan Platon is-Euclidean Akademi).