Apa Itu Konsep Bilangan Matematika?

Apa Itu Konsep Bilangan?

Ernst Cassirer (28 Juli 1874 sd  13 April 1945) adalah salah satu figur besar dalam pengembangan idealisme filosofis di pertengahan pertama abad ke-20, seorang filsuf Yahudi Jerman. Menggunakan tradisi neo-Kantianisme Marburg, ia mengembangkan suatu filosofi budaya sebagai teori simbol yang ditemukan di fenomenologi pengetahuan. Anaknya, Heinz Cassirer,   penganut paham Kantianisme. Maka  Cassirer sering disebut sebagai Neo-Kantian;

Ernst Cassirer merangkum kemajuan historis dalam sains sebagai substitusi bertahap dari konsep-hubungan untuk konsep-benda. Cassirer memberikan pujian kepada John Stuart Mill karena dengan jelas menyatakan, untuk pertama kalinya, prosedur yang digunakan oleh sains dalam membangun konsepnya. Dia menegaskan  "dalam definisi matematika murni, bagaimanapun, sebagai penjelasan Mill sendiri menunjukkan, dunia hal-hal yang masuk akal dan presentasi tidak begitu banyak direproduksi sebagai diubah dan digantikan oleh urutan jenis lain".  

Apa yang   dapatkan dari konversi ini adalah sistem fungsi yang teratur yang tidak dapat diperoleh dengan abstraksi dari pengalaman atau data yang masuk akal. Dalam matematika, seperti dalam fisika teoretis, "realitas sensual yang konkret" tidak disalin dalam pemikiran tetapi digantikan oleh kompleks teoretis. 

Dalam kata-kata ini, oposisi langsung terhadap metode abstraksi Aristoteles dimanifestasikan. Menurut prosedur ini, konsep dibangun dengan memilih sifat-sifat umum dari sekumpulan objek yang disajikan dalam pengalaman. Seperti yang ditunjukkan Cassirer, jenis penjelasan ini mengacaukan bentuk-bentuk pengalaman kategoris, yang memungkinkan semua konten yang masuk akal, dengan konten itu sendiri.  

 Abstraksi Aristotelian melewatkan fakta  setiap hubungan dari anggota suatu deret dengan berbagi elemen yang sama diatur "oleh beberapa hukum umum pengaturan". Sehingga aturan yang mengikat anggota-anggota dari suatu himpunan itu sendiri bukanlah elemen dari deret itu sendiri, tetapi hukum perkembangannya yang tetap tidak berubah sepanjang. Prosedur ini paling baik ditangkap oleh konsep fungsi. Jadi, fungsi [F (a,b), F (b,c),... ,], di mana 'F' menyatakan hubungan antara anggota himpunan, misalnya 'a' ke 'z', tidak elemen dari seri, itu adalah aturan yang menurut yang terakhir hasil. Oleh karena itu, konsep tidak dideduksi dari unsur-unsur tetapi diandaikan dalam tindakan menganggapnya suatu keteraturan.

Dalam metode abstraksi klasik, universalitas konsep terletak pada penyajian sifat-sifat umum dari sekelompok objek tertentu. Sebaliknya, dalam pembacaan fungsional konsep, diberikan oleh validitas universal dari prinsip yang mengatur perkembangan deret. Di sini, bertentangan dengan apa yang terjadi dalam abstraksi, hubungan antara elemen-elemen dari suatu himpunan bukanlah sesuatu yang ada di dalamnya yang menunggu untuk ditemukan, tetapi itu diciptakan oleh aktivitas intelektual kita yang mengikat elemen-elemen ini melalui hukum inklusif.

Gagasan yang menjadi dasar dari jenis pembentukan konsep sebelumnya adalah tentang substansi. Di dalamnya sifat-sifat abstrak yang umum untuk sekelompok objek dianggap sebagai apa yang universal dan permanen. Alih-alih gagasan ini, konsep matematika fungsi mewakili hukum universal yang berisi kasus-kasus tertentu yang dicakupnya berdasarkan nilai-nilai yang dapat diambil oleh variabel-variabelnya

Cassirer menganalisis perkembangan konsep bilangan yang sentral dalam sejarah matematika. Sebagai konsep-hubungan, "penentuan logis" atau makna dari bilangan apa pun diberikan oleh tempatnya dalam sistem hubungan matematis.   Dalam bidang ini, seperti dalam ilmu alam, hubungan (sudut pandang atau titik awal), yang menghasilkan semua elemen deret adalah "asumsi asli".

 Jadi, dari konsep bilangan asli, melalui penerapan terus-menerus dari hukum penghubung dasar bilangan kardinal dan ordinal, jenis baru muncul sebagai negatif, irasional, dan transfinit. Matematika, kata Cassirer, adalah "ilmu murni tentang bentuk" karena semua fitur bilangan dapat disimpulkan dari prinsip-prinsip yang mendefinisikannya. Oleh karena itu, di sini "bukti tidak melampaui pemikiran itu sendiri ke bidang lain".

Dia melanjutkan untuk menganalisis konsep geometris ruang, di mana proses desubstansialisasi serupa telah terjadi. Geometri telah memahami urutan titik-titik dalam ruang sebagai urutan angka. Pertama banyak titik dan hubungan posisi tertentu di antara mereka didalilkan. 

Asumsi ini mengarah pada prinsip yang penerapan selanjutnya mengeluarkan seluruh alam semesta dari kemungkinan hubungan spasial. "Dalam hubungan ini, geometri proyektif dengan adil telah dikatakan sebagai ilmu ruang " a-priori " universal, yang ditempatkan di samping aritmatika dalam ketelitian dan kemurnian deduktif". Jadi, dimungkinkan untuk menafsirkan sistem geometris yang berbeda dengan mengubah aksioma dasar teori.

Deskripsi pembentukan konsep dalam matematika murni yang kami uraikan paling jelas diungkapkan dalam prosedur David Hilbert untuk eksposisi dan deduksi aksioma geometris. Berbeda dengan definisi Euclidian yang berangkat dari konsep tetap titik atau garis lurus, yang mereka anggap naif sebagai "data intuisi langsung", dalam metode Hilbert objek geometris didefinisikan oleh aksioma teori. Dengan cara ini, sifat-sifat elemen mengikuti "aturan koneksi" ini dan bukan sebaliknya, seperti dalam metode abstraksi. Titik dan garis lurus dipahami sebagai struktur yang hubungannya dengan orang lain ditentukan oleh prinsip-prinsip teori. 

Susunan sistematis dari unsur-unsur, bukan kumpulan sifat-sifatnya, yang membentuk esensinya. "Dalam arti ini, Cassirer menunjukkan  mungkin tampak penalaran melingkar untuk mendefinisikan secara aksiomatis isi konsep geometris, karena perumusan aksioma didasarkan pada asumsi gagasan tertentu. Kesulitan yang tampak ini akan hilang saat kita membedakan asal psikologis dari logika. 

Dalam pengertian psikologis "kita hanya dapat menyajikan makna dari hubungan tertentu dengan diri kita sendiri sehubungan dengan beberapa istilah tertentu, yang berfungsi sebagai 'fondasinya'".

 Akan tetapi, istilah-istilah ini, yang muncul dari intuisi indriawi, tidak memiliki keberadaan yang mutlak melainkan suatu yang dapat berubah. Mereka adalah titik awal hipotetis yang dapat ditentukan lebih lanjut ketika mereka muncul di berbagai kompleks relasional. Jadi, apa itu konten sementara diubah menjadi objek logis tetap. Hukum koneksi mewakili apa yang permanen, sedangkan elemen ("fondasi" representasi psikologis), yang pada pandangan pertama tampak seperti asal absolut, adalah apa yang dapat diubah. Aturan tanpa isi ini merupakan sumber logis dari geometri. Di sini kita memiliki penjelasan transendental tentang pembentukan konsep dan bukan petitio principi .

Dari perspektif empiris, sepertinya isi yang ditangkap oleh intuisi adalah keberadaan yang "terisolasi sendiri". Kesan palsu ini segera runtuh. Ketika konten ini masuk ke dalam penilaian, mereka ditransmutasikan menjadi jaring struktur terkait yang saling mendukung. Oleh karena itu, elemen individu adalah titik dalam sistem konsep dan penilaian. Dalam geometri dan aritmatika, manifold, bukan yang khusus, adalah " prius logis yang sebenarnya " atau asal teoretis. Dalam pengertian ini, fase logis terakhir dari setiap penyelidikan ilmiah adalah karakterisasi elemen individu. Ini dilakukan melalui "hubungan progresif hubungan universal".

Ilmu pengetahuan modern, kata Cassirer, memilih sejumlah elemen dan kemudian mengelompokkannya menjadi satu rangkaian di mana elemen-elemen tersebut saling menggantikan mengikuti suatu aturan. Selanjutnya, sifat individu benda ditentukan oleh posisinya di himpunan.  

Konsekuensi penting dari analisis sebelumnya adalah  ruang geometris dan persepsi tidak sama. Dalam pengalaman indrawi kita, lokasi spasial terhubung dengan sensasi tertentu, sehingga tempat yang berbeda sesuai dengan isi sensasi yang berlawanan. Istilah seperti "di atas", "di bawah", "kanan" dan "kiri", secara kualitatif berbeda karena terkait dengan rangkaian sensasi yang beragam. Oposisi ini menghilang ketika kita memasuki ruang geometris. Di sini elemen-elemen spasial, bagi dirinya sendiri, tidak memiliki konten individual karena semua maknanya berasal dari posisinya dalam sistem. Dengan demikian, homogenitas titik-titik spasial menghilangkan semua variasi di antara mereka, seperti antara di atas dan di bawah, yang ada hubungannya dengan hubungan hal-hal eksternal dengan tubuh kita.  

Kesimpulan yang ditarik Cassirer dari penjelasan konsep bilangan dan ruang adalah, dalam kata-katanya,  "sifat logis dari konsep fungsional murni menemukan ekspresinya yang paling jelas dan contoh yang paling sempurna dalam sistem matematika".  Objek matematika hanya memiliki keberadaan yang ideal dan sifat-sifatnya berasal dari hukum yang mengatur cara mereka dibangun. Dalam bidang ini pemikiran menampilkan aktivitas yang bebas dan universal.

Citasi:

1. Jeremy Heis., Arithmetic and Number in the Philosophy of Symbolic Forms., From the book The Philosophy of Ernst Cassirer ., https://doi.org/10.1515/9783110421811-006
2.  Cassirer.,(1899) Descartes: Kritik der Matematischen und Naturwissenschaftlichen Erkenntnis (dissertation at Marburg).