Apa Itu Konsep Bilangan Matematika?

Dia melanjutkan untuk menganalisis konsep geometris ruang, di mana proses desubstansialisasi serupa telah terjadi. Geometri telah memahami urutan titik-titik dalam ruang sebagai urutan angka. Pertama banyak titik dan hubungan posisi tertentu di antara mereka didalilkan. 

Asumsi ini mengarah pada prinsip yang penerapan selanjutnya mengeluarkan seluruh alam semesta dari kemungkinan hubungan spasial. "Dalam hubungan ini, geometri proyektif dengan adil telah dikatakan sebagai ilmu ruang " a-priori " universal, yang ditempatkan di samping aritmatika dalam ketelitian dan kemurnian deduktif". Jadi, dimungkinkan untuk menafsirkan sistem geometris yang berbeda dengan mengubah aksioma dasar teori.

Deskripsi pembentukan konsep dalam matematika murni yang kami uraikan paling jelas diungkapkan dalam prosedur David Hilbert untuk eksposisi dan deduksi aksioma geometris. Berbeda dengan definisi Euclidian yang berangkat dari konsep tetap titik atau garis lurus, yang mereka anggap naif sebagai "data intuisi langsung", dalam metode Hilbert objek geometris didefinisikan oleh aksioma teori. Dengan cara ini, sifat-sifat elemen mengikuti "aturan koneksi" ini dan bukan sebaliknya, seperti dalam metode abstraksi. Titik dan garis lurus dipahami sebagai struktur yang hubungannya dengan orang lain ditentukan oleh prinsip-prinsip teori. 

Susunan sistematis dari unsur-unsur, bukan kumpulan sifat-sifatnya, yang membentuk esensinya. "Dalam arti ini, Cassirer menunjukkan  mungkin tampak penalaran melingkar untuk mendefinisikan secara aksiomatis isi konsep geometris, karena perumusan aksioma didasarkan pada asumsi gagasan tertentu. Kesulitan yang tampak ini akan hilang saat kita membedakan asal psikologis dari logika. 

Dalam pengertian psikologis "kita hanya dapat menyajikan makna dari hubungan tertentu dengan diri kita sendiri sehubungan dengan beberapa istilah tertentu, yang berfungsi sebagai 'fondasinya'".

 Akan tetapi, istilah-istilah ini, yang muncul dari intuisi indriawi, tidak memiliki keberadaan yang mutlak melainkan suatu yang dapat berubah. Mereka adalah titik awal hipotetis yang dapat ditentukan lebih lanjut ketika mereka muncul di berbagai kompleks relasional. Jadi, apa itu konten sementara diubah menjadi objek logis tetap. Hukum koneksi mewakili apa yang permanen, sedangkan elemen ("fondasi" representasi psikologis), yang pada pandangan pertama tampak seperti asal absolut, adalah apa yang dapat diubah. Aturan tanpa isi ini merupakan sumber logis dari geometri. Di sini kita memiliki penjelasan transendental tentang pembentukan konsep dan bukan petitio principi .

Dari perspektif empiris, sepertinya isi yang ditangkap oleh intuisi adalah keberadaan yang "terisolasi sendiri". Kesan palsu ini segera runtuh. Ketika konten ini masuk ke dalam penilaian, mereka ditransmutasikan menjadi jaring struktur terkait yang saling mendukung. Oleh karena itu, elemen individu adalah titik dalam sistem konsep dan penilaian. Dalam geometri dan aritmatika, manifold, bukan yang khusus, adalah " prius logis yang sebenarnya " atau asal teoretis. Dalam pengertian ini, fase logis terakhir dari setiap penyelidikan ilmiah adalah karakterisasi elemen individu. Ini dilakukan melalui "hubungan progresif hubungan universal".

Ilmu pengetahuan modern, kata Cassirer, memilih sejumlah elemen dan kemudian mengelompokkannya menjadi satu rangkaian di mana elemen-elemen tersebut saling menggantikan mengikuti suatu aturan. Selanjutnya, sifat individu benda ditentukan oleh posisinya di himpunan.  

Konsekuensi penting dari analisis sebelumnya adalah  ruang geometris dan persepsi tidak sama. Dalam pengalaman indrawi kita, lokasi spasial terhubung dengan sensasi tertentu, sehingga tempat yang berbeda sesuai dengan isi sensasi yang berlawanan. Istilah seperti "di atas", "di bawah", "kanan" dan "kiri", secara kualitatif berbeda karena terkait dengan rangkaian sensasi yang beragam. Oposisi ini menghilang ketika kita memasuki ruang geometris. Di sini elemen-elemen spasial, bagi dirinya sendiri, tidak memiliki konten individual karena semua maknanya berasal dari posisinya dalam sistem. Dengan demikian, homogenitas titik-titik spasial menghilangkan semua variasi di antara mereka, seperti antara di atas dan di bawah, yang ada hubungannya dengan hubungan hal-hal eksternal dengan tubuh kita.  

Kesimpulan yang ditarik Cassirer dari penjelasan konsep bilangan dan ruang adalah, dalam kata-katanya,  "sifat logis dari konsep fungsional murni menemukan ekspresinya yang paling jelas dan contoh yang paling sempurna dalam sistem matematika".  Objek matematika hanya memiliki keberadaan yang ideal dan sifat-sifatnya berasal dari hukum yang mengatur cara mereka dibangun. Dalam bidang ini pemikiran menampilkan aktivitas yang bebas dan universal.

Citasi:

1. Jeremy Heis., Arithmetic and Number in the Philosophy of Symbolic Forms., From the book The Philosophy of Ernst Cassirer ., https://doi.org/10.1515/9783110421811-006
2.  Cassirer.,(1899) Descartes: Kritik der Matematischen und Naturwissenschaftlichen Erkenntnis (dissertation at Marburg).