Fenomena Theoria Paradoks

Fenomena Theoria Paradoks

Ke [1] Yang paling umum dikenal pada waktu kuliah filsafat ilmu adalah tentang Paradoks Curry, dinamai demikian karena penemunya, Haskell B. Curry, adalah paradoks dalam keluarga yang disebut paradoks referensi-diri (atau paradoks sirkularitas). Seperti paradoks pembohong (misalnya, 'kalimat ini salah') dan paradoks Russell, paradoks Curry menantang teori-teori naif yang sudah dikenal, termasuk teori kebenaran naif (skema-T yang tidak dibatasi) dan teori himpunan naif (aksioma abstraksi yang tidak dibatasi), masing-masing. 

Jika seseorang menerima teori kebenaran naif (atau teori himpunan naif), maka paradoks Curry menjadi tantangan langsung bagi teori seseorang tentang implikasi atau keterkaitan logis. Berbeda dengan paradoks pembohong dan Russell, paradoks Curry bebas negasi; itu dapat dihasilkan terlepas dari teori negasi seseorang.

Paradoks epistemik adalah teka-teki yang menghidupkan konsep pengetahuan (episteme adalah bahasa Yunani untuk pengetahuan). Biasanya, ada jawaban yang bertentangan, yang dipercaya dengan baik untuk pertanyaan-pertanyaan ini (atau pertanyaan semu). Dengan demikian teka-teki itu segera memberi tahu kita tentang ketidakkonsistenan. 

Dalam jangka panjang, teka-teki itu mendorong dan membimbing kita untuk mengoreksi setidaknya satu kesalahan yang mendalam - jika tidak secara langsung tentang pengetahuan, maka tentang konsep-konsep sejenisnya seperti pembenaran, keyakinan rasional, dan bukti.

Koreksi semacam itu menarik bagi epistemologis. Sejarawan menyebutkan asal usul epistemologi dengan munculnya skeptis. Seperti tampak dalam dialog Platon yang menampilkan Socrates, paradoks epistemik telah dibahas selama dua puluh lima ratus tahun.

Ke [2] Hampir semua yang kita ketahui tentang Zeno dari Elea dapat ditemukan di halaman pembuka Parmenides milik Plato. Di sana kita mengetahui   Zeno hampir berusia 40 tahun ketika Socrates masih muda, katakanlah 20. 

Sejak Socrates lahir pada 469 SM, kita dapat memperkirakan tanggal lahir untuk Zeno sekitar 490 SM. Di luar ini, yang benar-benar kita ketahui adalah   dia dekat dengan Parmenides (Plato melaporkan gosip   mereka adalah kekasih ketika Zeno masih muda), dan   dia menulis sebuah buku paradoks yang membela filosofi Parmenides. 

Sayangnya buku ini tidak selamat, dan apa yang kita ketahui tentang argumennya adalah barang bekas, terutama melalui Aristoteles dan komentatornya (di sini kita secara khusus menggambarkan Simplicius, yang, meskipun menulis seribu tahun setelah Zeno, tampaknya memiliki setidaknya beberapa karyanya atau buku).

Rupanya ada 40 'paradoks pluralitas', yang berusaha menunjukkan   pluralisme ontologis kepercayaan pada keberadaan banyak hal dan bukan hanya satu mengarah pada kesimpulan yang tidak masuk akal; dari paradoks-paradoks ini hanya dua yang pasti selamat, meskipun argumen ketiga mungkin dapat dikaitkan dengan Zeno. 

Aristotle berbicara tentang empat argumen lebih lanjut terhadap gerakan (dan dengan perubahan luas umumnya), yang semuanya ia berikan dan upayakan untuk membantah. Selain itu, Aristoteles menghubungkan dua paradoks lainnya dengan Zeno;

Ke [3] Theoria paradox lain adalah Paradoks pengetahuan Fitch (alias paradoks pengetahuan atau Paradox Fitch Gereja) menyangkut teori apa pun yang berkomitmen pada tesis bahwa semua kebenaran bisa diketahui. 

Contoh-contoh historis dari teori-teori semacam itu bisa dibilang termasuk antirealisme semantik Michael Dummett (yaitu, pandangan bahwa kebenaran dapat dibuktikan), konstruktivisme matematika (yaitu, pandangan bahwa kebenaran rumus matematika tergantung pada konstruksi mental yang digunakan para ahli matematika untuk membuktikan rumus-rumus itu).

Kemudian realisme internal Hilary Putnam (yaitu, pandangan kebenaran adalah apa yang kita yakini dalam keadaan epistemik ideal), teori pragmatis Charles Sanders Peirce tentang kebenaran (yaitu, bahwa kebenaran adalah apa yang akan kita setujui pada batas penyelidikan), positivisme logis (yaitu, pandangan bahwa makna memberi dengan syarat-syarat verifikasi), idealisme transendental Kant (yaitu, bahwa semua pengetahuan adalah pengetahuan tentang penampilan), dan idealisme George Berkeley (yaitu, menjadi adalah harus dapat dipahami).

Konsep operatif dari "pengetahuan" tetap sulit dipahami tetapi dimaksudkan untuk jatuh di antara menyamakan kebenaran secara tidak resmi dengan apa yang Tuhan tahu dan menyamakan kebenaran secara naif dengan apa yang sebenarnya diketahui manusia. 

Menyamakan kebenaran dengan apa yang Tuhan tahu tidak meningkatkan kejelasan, dan menyamakannya dengan apa yang sebenarnya diketahui manusia gagal menghargai obyektivitas dan penemuan kebenaran. Jalan tengah, apa yang kita sebut antirealisme moderat , dapat dicirikan secara logis di suatu tempat di stadion baseball dari prinsip keterandalan:

Ke [4] Paradoks sorites berasal dari sebuah teka-teki kuno yang tampaknya dihasilkan oleh istilah-istilah yang tidak jelas, yaitu, persyaratan dengan batas aplikasi yang tidak jelas ("buram" atau "kabur"). 'Botak', 'tumpukan', 'tinggi', 'tua', dan 'biru' adalah contoh utama dari istilah yang tidak jelas: tidak ada garis yang jelas yang membagi orang yang botak dari orang yang tidak, atau benda biru dari hijau (karenanya bukan biru ), atau orang tua dari usia paruh baya (karenanya tidak tua). 

Karena predikat 'timbunan' memiliki batas yang tidak jelas, tampaknya tidak ada sebutir gandum yang dapat membuat perbedaan antara sejumlah biji-bijian yang, dan jumlah yang tidak, membuat tumpukan. 

Oleh karena itu, karena satu butir gandum tidak membuat tumpukan, itu berarti bahwa dua butir tidak; dan jika dua tidak, maka tiga tidak; dan seterusnya. Alasan ini mengarah pada kesimpulan yang tidak masuk akal bahwa tidak ada butir gandum yang menumpuk.

Bentuk penalaran yang sama akrab dalam kehidupan sehari-hari. Dorothy Edgington mengamati: Ada 'paradoks maana': tugas yang tidak disukai yang perlu dilakukan, tetapi selalu menjadi masalah acuh tak acuh apakah itu dilakukan hari ini atau besok; Paradoks dieter: Saya tidak peduli sama sekali tentang perbedaan berat badan saya satu cokelat akan membuat

Ke [5]paradox Berbohong. Ada yang aneh dengan mengatakannya, seperti yang sudah diketahui sejak zaman kuno. Untuk melihat alasannya, ingatlah bahwa semua kebohongan tidak benar. Apakah kalimat pertama itu benar? 

Jika ya, maka itu bohong, jadi itu tidak benar. Sebaliknya, anggaplah itu tidak benar. Kami (yaitu, para penulis) telah mengatakannya, dan biasanya hal-hal dikatakan dengan maksud untuk dipercaya. Mengatakan sesuatu seperti itu ketika itu tidak benar adalah dusta. Tapi kemudian, mengingat apa yang dikatakan kalimat itu, itu memang benar!

Bahwa ada semacam teka-teki yang dapat ditemukan dengan kalimat-kalimat seperti yang pertama dari esai ini telah sering dicatat sepanjang sejarah filsafat. Itu dibahas di zaman klasik, terutama oleh Megaria, tetapi juga disebutkan oleh Aristoteles dan oleh Cicero. Sebagai salah satu insolubilia, itu adalah subjek investigasi yang luas oleh ahli logika abad pertengahan seperti Buridan. Baru-baru ini, bekerja pada masalah ini telah menjadi bagian integral dari pengembangan logika matematika modern, dan telah menjadi subjek penelitian yang luas dalam dirinya sendiri.

Paradoks ini kadang-kadang disebut 'Epimenides paradox' karena tradisi mengaitkan kalimat seperti yang pertama dalam esai ini dengan Epimenides dari Kreta, yang konon mengatakan bahwa semua orang Kreta selalu pembohong. Bahwa beberapa Cretan telah mengatakan demikian berakhir dalam sumber tidak kurang dari Perjanjian Baru  

Berbohong adalah masalah yang rumit, tetapi apa yang membingungkan tentang kalimat seperti yang pertama dari esai ini pada dasarnya tidak terkait dengan niat, norma sosial, atau hal seperti itu. Sebaliknya, tampaknya ada hubungannya dengan kebenaran, atau setidaknya, beberapa gagasan semantik terkait dengan kebenaran. Teka-teki ini biasanya dinamai 'the Liar paradox', meskipun ini benar-benar nama keluarga paradoks yang terkait dengan jenis kalimat membingungkan kami. Keluarga secara tepat dinamai salah satu dari paradoks, karena mereka tampaknya mengarah pada kesimpulan yang tidak jelas, seperti: "semuanya benar". 

Memang, Pembohong tampaknya memungkinkan kita untuk mencapai kesimpulan semacam itu berdasarkan logika, ditambah beberapa prinsip yang sangat jelas yang kadang-kadang dianggap sebagai prinsip logika. Jadi, kita memiliki situasi yang agak mengejutkan dari sesuatu yang dekat atau seperti logika saja yang menuntun kita ke inkoherensi. Ini barangkali merupakan strain paradoks yang paling mematikan, dan menanganinya merupakan tugas penting dalam logika selama ada logika.

Dalam esai ini, kami akan meninjau anggota penting dari keluarga paradoks Liar, dan beberapa ide penting tentang bagaimana paradoks ini mungkin diselesaikan. Beberapa ribu tahun terakhir telah menghasilkan sejumlah besar proposal, dan kami tidak akan dapat memeriksa semuanya; alih-alih, kami akan fokus pada beberapa yang, dalam diskusi baru-baru ini, terbukti penting

Ke [6] Theoria Bertrand Russell (1872-1970) yang telah membingungkan banyak orang selama beberapa dekade. Ada desa terpencil yang hanya memiliki satu tukang cukur. Di desa ini beberapa orang pergi ke tukang cukur, dan beberapa memotong rambut mereka sendiri. Desa memiliki aturan berikut yang secara ketat ditegakkan: setiap orang harus memotong rambut mereka; selanjutnya, jika Anda memotong rambut Anda sendiri, maka Anda tidak pergi ke tukang cukur; dan jika kamu tidak memotong rambutmu sendiri, kamu pergi ke tukang cukur. Itu satu atau yang lain. 

Sementara aturan yang tampaknya tidak berbahaya ini berlaku bagi sebagian besar orang di desa, ada satu warga desa yang menyebabkan masalah besar bagi pihak berwenang. Tanyakan pada diri Anda pertanyaan: Siapa yang memotong rambut tukang cukur? Jika tukang cukur memotong rambutnya sendiri, maka, karena aturan itu, dia tidak bisa pergi ke tukang cukur: tetapi dia adalah tukang cukur! 

Jika, di sisi lain, tukang cukur pergi ke tukang cukur, maka dia memotong rambutnya sendiri, melanggar aturan. Dua hasil ini menghadirkan kontradiksi. Kontradiksinya adalah tukang cukur harus memotong rambutnya sendiri dan tidak boleh memotong rambutnya sendiri.

Kisah kecil yang menggugah pikiran ini adalah contoh prototip dari sebuah paradoks. Artinya, ini adalah eksperimen pemikiran di mana ide diasumsikan dan kontradiksi secara logis berasal darinya.

 Apa yang salah dengan kontradiksi? Kontradiksi adalah proposisi (yaitu, pernyataan)   keduanya adalah sesuatu, dan itu bukan. Kita juga dapat mengatakan   kontradiksi adalah proposisi yang benar dan salah. Tidak ada kontradiksi di dunia fisik. Di alam semesta fisik, sesuatu tidak dapat menjadi dan tidak menjadi; atau, proposisi itu benar atau salah. 

Apa artinya sesuatu menjadi benar dan salah? Kita tidak bisa membayangkan alam semesta dengan kontradiksi. Karena kontradiksi tidak dapat dipertahankan, pasti ada yang salah dengan asumsi dari mana kontradiksi berasal. Dalam arti tertentu, paradoks adalah cara untuk menunjukkan   asumsi yang diberikan bukan bagian dari alasan. 

Para filsuf, ilmuwan, matematikawan, dan ahli logika semuanya menggunakan paradoks untuk menunjukkan validitas atau asumsi, dan untuk menunjukkan keterbatasan alasan. Mereka mengasumsikan sebuah ide, dan jika sebuah kontradiksi atau kepalsuan diturunkan darinya, maka anggapannya salah. Kalau tidak, asumsi itu sah secara logis.

Banyak yang memberikan solusi sederhana untuk paradoks: tukang cukur itu botak, atau istri tukang cukur memotong rambutnya, atau tukang cukur itu berhenti dari pekerjaannya sebagai tukang cukur dan kemudian memotong rambutnya sebelum mengambil pekerjaannya kembali, dll. Semua ini 'solusi' hanya menyelinap di sekitar masalah. Di desa kami setiap orang perlu memotong rambutnya; tidak ada orang lain - bahkan istri tukang cukur - yang diizinkan memotong rambut orang lain, dan tukang cukur tunggal tidak dapat berhenti sementara.

Kenyataannya, ide-ide ini adalah bayangan dari resolusi sejati terhadap paradoks tukang cukur, yaitu untuk menyadari   desa yang digambarkan dengan aturan ketatnya tidak mungkin ada. Alam semesta fisik tidak akan mengizinkan keberadaan desa seperti itu, karena menyiratkan kontradiksi. 

Ada banyak desa yang terisolasi dengan satu tukang cukur, tetapi di dalamnya aturan itu dapat dilanggar dalam banyak cara: tukang cukur dari kota lain mungkin mengunjungi, atau tukang cukur itu bisa botak, atau tukang cukur meminta istrinya untuk memotong rambutnya, atau tukang cukur memotong rambutnya sendiri (sehingga aturan tidak berlaku), dll. Semua skenario yang berbeda ini dapat terjadi untuk memastikan   tidak ada kontradiksi di alam semesta. Singkatnya, asumsi paradoks tukang cukur adalah   desa dengan aturan ini ada. Anggapan ini salah.

Ada paradoks lain yang diketahui oleh setiap penggemar fiksi ilmiah. Paradoks perjalanan waktu atau paradoks kakek adalah tentang penjelajah waktu yang kembali ke masa lalu dan membunuh kakeknya sebelum dia bertemu neneknya. Tindakan ini memastikan   ayah penjelajah waktu tidak akan pernah dilahirkan, dan karenanya penjelajah waktu itu sendiri tidak akan pernah dilahirkan. 

Jika dia tidak pernah dilahirkan, dia tidak akan pernah bisa kembali ke masa lalu dan membunuh kakek bujangnya; jadi, jika dia membunuh kakek bujangannya, maka dia tidak akan membunuh kakek bujangnya; dan jika dia tidak membunuh kakek bujangannya, maka dia dapat kembali dan membunuh kakek bujangnya. Sekali lagi ini adalah kontradiksi.

Memang, seseorang tidak perlu menjadi pembunuh untuk mendapatkan hasil seperti itu. Yang harus dilakukan pelancong adalah kembali ke waktu dua menit sebelum dia masuk ke mesin waktu dan memastikan   dirinya sebelumnya tidak masuk ke mesin. Menghentikan diri sebelumnya dari memasuki mesin waktu untuk menghentikan dirinya memasuki mesin akan memastikan   ia tidak dapat menghentikan dirinya dari memasuki mesin. Sekali lagi, sebuah kontradiksi. 

Sebagian besar tindakan memengaruhi tindakan lain. Seorang penjelajah waktu memiliki kemampuan unik untuk melakukan suatu tindakan yang memengaruhi dirinya sendiri. Suatu paradoks muncul jika seorang penjelajah waktu melakukan suatu tindakan yang meniadakan dirinya sendiri.

Paradoks perjalanan waktu diselesaikan dengan mudah: asumsi   perjalanan mundur dalam waktu adalah mungkin adalah salah; atau bahkan jika perjalanan waktu mundur dimungkinkan, tetap saja penjelajah waktu tidak akan dapat kembali dan melakukan tindakan yang bertentangan dengan dirinya sendiri. Tidak mungkin alam semesta akan membiarkan seorang penjelajah waktu membunuh kakek bujangnya sendiri.

Kedua paradoks itu diselesaikan dengan cara yang sama. Kami sampai pada suatu kontradiksi dengan mengasumsikan   objek atau proses fisik tertentu ada. Begitu kita meninggalkan asumsi ini, kita bebas dari kontradiksi. Paradoks-paradoks ini menunjukkan keterbatasan dunia fisik: desa tertentu tidak bisa ada, atau tindakan penjelajah waktu dibatasi. Ada banyak contoh serupa dari paradoks fisik semacam itu, dan semuanya diselesaikan dengan cara yang sama.

Kontradiksi tidak ada di alam semesta fisik. Namun ada tempat-tempat di mana kontradiksi memang ada: dalam pikiran dan bahasa kita. Ini membawa kita pada tipe paradoks kedua kita. Berbeda dengan alam semesta, pikiran manusia bukanlah mesin yang sempurna. Itu penuh dengan kontradiksi, dengan keinginan dan prediksi yang saling bertentangan. Kami menginginkan hal-hal yang saling bertentangan. Kita mencintai hal-hal yang kita tahu akan berdampak buruk bagi kita, dan kita memiliki cita-cita yang saling bertentangan dalam hidup kita. 

Demikian pula, bahasa kita, yang mengekspresikan ide-ide pikiran, juga mengekspresikan kontradiksi. Kita dapat mengatakan "Aku mencintainya!" Dan "Dia membuatku gila!" Dalam beberapa detik satu sama lain. Remaja mana pun dapat dengan mudah menuliskan semua pernyataan kontradiktif yang pernah keluar dari mulut orang tua mereka. Ketidaksempurnaan ini dalam apa yang kita pikirkan dan katakan merupakan kelas paradoks kita berikutnya.

Paradoks yang paling terkenal dalam bahasa adalah paradoks pembohong.  Pernyataan sederhana 'Pernyataan ini salah' ternyata benar dan salah. Jika itu benar, maka itu menyatakan   itu salah; di sisi lain, jika itu salah, maka karena dikatakan itu salah, itu benar. Kebanyakan pernyataan deklaratif - yaitu, pernyataan yang menegaskan sesuatu - benar atau salah. Di sini, pernyataan itu benar dan salah. Itu adalah kontradiksi.

Apa yang bisa dilakukan dengan paradoks pembohong? Beberapa filsuf mengatakan   'Pernyataan ini salah' bukan pernyataan deklaratif yang sah. Sebenarnya tidak menyatakan apa pun tentang apa pun. Pernyataan yang menghasilkan masalah semacam ini secara harfiah tidak masuk akal. Beberapa pemikir ingin membatasi jenis pernyataan yang bisa kita gunakan agar paradoks tidak muncul.

Banyak orang menemukan tidak ada alasan untuk kehilangan tidur karena paradoks pembohong. Lagi pula, banyak yang keluar dari mulut kita adalah omong kosong. Jadi, katakan   pernyataan pembohong itu tidak benar atau salah. Alih-alih mencoba menyelesaikan paradoks dengan menghindari kontradiksi, kita mengabaikan paradoks sebagai bahasa yang 'tidak masuk akal'. Ini hanyalah ucapan manusia tanpa makna.

Paradoks bahasa lain disebut paradoks pria botak. Pertimbangkan seorang pria yang sama sekali tidak memiliki rambut di kepalanya. Kita semua bisa sepakat   pria ini harus disebut 'botak'. Bagaimana jika seorang pria memiliki rambut soliter di kepalanya? Sebagian besar dari kita masih akan setuju   menambahkan rambut soliter tunggal tidak akan mengubah deskripsi, dan dia akan tetap dianggap botak. Dari sini kita dapat membuat aturan yang lebih umum: jika seorang pria dianggap botak, maka menambahkan satu rambut soliter tidak mengubah statusnya, dan ia masih dianggap botak. 

Dengan menggunakan aturan ini berulang-ulang, kami menyimpulkan seorang pria dengan dua rambut botak, seorang pria dengan tiga rambut botak, seorang pria dengan empat rambut botak. .. seorang pria dengan 100.000 rambut botak. Tetapi kita tahu   pernyataan terakhir itu salah. Jadi kita punya kontradiksi. Di satu sisi, kita dapat membuktikan   pria dengan rambut berapapun jumlahnya botak; dan di sisi lain, kita tahu   ada beberapa pria yang tidak botak. Apa yang salah di sini?

Sekali lagi, resolusi untuk paradoks ini (karena alasan historis dikenal sebagai paradoks sorites ) sederhana. Ini untuk mengakui   tidak ada definisi pasti dari kata 'botak', jadi tidak ada batasan yang pasti antara botak dan tidak botak. Kata 'botak' adalah penemuan manusia yang tidak memiliki definisi pasti. Demikian pula, kata-kata samar lainnya   'tinggi,' 'pendek,' 'pintar', dll - tidak memiliki arti yang tepat. (Sebaliknya, frasa 'lebih dari enam kaki' memang memiliki makna yang tepat.) 

Karena itu kita dapat menggunakan solusi yang sama untuk paradoks pria botak seperti yang dilakukan beberapa orang untuk paradoks pembohong: abaikan saja. Manusia telah berhasil menggunakan kata-kata yang tidak jelas untuk waktu yang lama. Kita dapat mengabaikan paradoks manusia botak karena ini tentang bahasa manusia, yang secara inheren cacat.

Sejauh ini kita telah melihat   beberapa paradoks menunjukkan kepada kita   ada objek atau proses fisik yang tidak dapat ada, sementara paradoks lainnya adalah tentang bahasa dan dapat diabaikan. Namun, ada paradoks kelas ketiga yang berasal dari bahasa yang tidak bisa diabaikan.

Matematika adalah bahasa yang digunakan manusia untuk memahami dunia. Karena matematika adalah bahasa, ia berpotensi mengandung kontradiksi. Namun, karena kita ingin menggunakan matematika dalam sains untuk berbicara tentang alam semesta fisik, yang tidak memiliki kontradiksi, kita harus memastikan   bahasa matematika tidak memiliki kontradiksi, karena kita harus memastikan   prediksi ilmiah kita tidak datang ke kesimpulan yang kontradiktif. 

Jika kita menyimpulkan   proses kimia hanya akan menghasilkan karbon monoksida, maka sebaiknya kita pastikan perhitungan kita tidak mengatakan   proses tersebut akan menghasilkan karbon dioksida. Atau jika ada dua cara untuk menghitung berapa lama proyektil untuk kembali ke Bumi, kita harus memastikan   kedua metode menghasilkan hasil yang sama. Untungnya, mudah untuk melihat bagaimana menghindari kontradiksi dalam matematika.

Waktu pertama dan paling sederhana kita menemukan kontradiksi dalam matematika adalah di sekolah dasar, ketika kita diberitahu   kita dapat membagi angka dengan angka lain apa pun kecuali nol. Adalah tabu untuk membagi angka dengan nol karena jika kita membagi dengan nol, kita dapat memperoleh kontradiksi. Pertimbangkan pernyataan yang benar 0 2 = 0 3. Jika kita membagi kedua sisi dengan nol untuk 'membatalkan' nol, kita dibiarkan dengan 2 = 3. 

Jadi dengan membaginya dengan nol kita mendapat kontradiksi: 2 2. Jadi sementara paradoks fisik menunjukkan kepada kita   objek atau proses tertentu tidak dapat ada, paradoks dalam matematika menunjukkan kepada kita   meskipun kita dapat melakukan operasi tertentu, kita tidak boleh, jangan sampai kita sampai pada kontradiksi.

Matematikawan (dan juga filsuf) dapat menggunakan fakta   kontradiksi tidak diizinkan untuk membuktikan teorema. Ini disebut pengurangan ke absurd atau bukti oleh kontradiksi : jika Anda ingin membuktikan   pernyataan tertentu itu benar, anggap itu salah dan turunkan kontradiksi. Karena tidak mungkin ada kontradiksi, asumsi kepalsuan pasti salah dan karenanya pernyataan asli itu benar. Bukti seperti itu memainkan peran utama dalam matematika modern.

Mari kita lihat contoh dari dunia set. Set adalah koleksi benda, dan mereka datang dalam berbagai bentuk: ada set apel hijau di lemari es saya; set sel dalam tubuh saya; set semua bilangan real, dll. Ada juga set yang berisi set. Misalnya, sekolah dapat dianggap sebagai satu set kelas. Setiap kelas, pada gilirannya, dapat dianggap sebagai satu set siswa. Jadi sekolah bisa menjadi satu set set siswa.

Hidup menjadi menarik ketika kita memikirkan set yang mengandung diri mereka sendiri. Ada contoh nyata dari set tersebut. Pertimbangkan serangkaian ide yang terkandung dalam artikel ini. Himpunan itu berisi sendiri: himpunan gagasan yang terkandung dalam artikel ini adalah gagasan yang terkandung dalam artikel ini. Himpunan semua set yang memiliki lebih dari satu elemen juga mengandung dirinya sendiri. Himpunan semua hal yang tidak merah mengandung dirinya sendiri.

Russell mengembangkan paradoks lain, kali ini tentang perangkat. Pertimbangkan semua set yang tidak mengandung diri mereka sendiri.  Mari kita sebut koleksi itu R. Sekarang ajukan pertanyaan: apakah R mengandung R? Jika R memang mengandung R, maka sebagai anggota R, yang didefinisikan sebagai hanya berisi set yang tidak mengandung dirinya sendiri, R tidak mengandung R. Di sisi lain, jika R tidak mengandung dirinya sendiri, maka, menurut definisi, itu memang milik R. Sekali lagi kita sampai pada kontradiksi. Ini disebut paradoks Russell.

Sekarang kita sudah cukup akrab dengan paradoks untuk mengetahui   metode yang jelas untuk menyelesaikan paradoks Russell adalah dengan hanya menyatakan   set R tidak ada. Namun, semuanya tidak begitu sederhana di sini. Mengapa kumpulan elemen yang kami sebut R tidak ada? Kami memberikan pernyataan yang tepat tentang jenis objek yang dikandungnya: 'set yang tidak mengandung diri mereka sendiri'. Namun kami telah menyatakan   koleksi ini bukan set yang sah dan tidak dapat digunakan dalam diskusi matematika. Matematikawan diizinkan membahas apel hijau di lemari es saya, tetapi tidak diizinkan menggunakan set R, karena set R akan membawa kita ke kontradiksi.

Contoh terakhir kami menggunakan paradoks dalam matematika adalah salah satu teorema terpenting dalam matematika abad kedua puluh: Teorema Ketidaklengkapan Godel. Dalam matematika, setiap pernyataan yang dapat dibuktikan secara definisi harus benar, karena di sini bukti berarti 'secara matematis terbukti benar'. Sebelum Kurt Godel (1906-78) muncul, matematikawan berasumsi   pernyataan matematika apa pun yang benar juga dapat dibuktikan. Godel menunjukkan asumsi ini salah dengan merumuskan pernyataan matematika yang mirip dengan pernyataan pembohong, yang pada dasarnya mengatakan tentang dirinya sendiri 'Pernyataan matematika ini tidak dapat dibuktikan'.

Mari kita pikirkan sejenak. Jika pernyataan matematis 'Pernyataan matematis ini tidak dapat dibuktikan' tidak dapat dibuktikan, maka itu benar. Atau, jika 'Pernyataan matematis ini tidak dapat dibuktikan' terbukti, maka itu salah. Tetapi bagaimana membuktikannya menuntun kita pada pernyataan yang salah? Itu adalah kontradiksi, karena semua bukti matematis adalah bukti definisi dari pernyataan yang benar. Kita harus menyimpulkan   pernyataan Godel benar dan tidak dapat dibuktikan. Sebuah paradoks telah membawa kita pada batasan kekuatan matematika: ada pernyataan dalam matematika yang benar, tetapi tidak pernah bisa dibuktikan.

Kami telah melihat tiga jenis paradoks dan resolusi mereka. Beberapa paradoks adalah tentang jagad fisik dan karena kontradiksi tidak dapat eksis di jagad fisik, paradoks semacam itu menunjukkan keterbatasan pada apa yang secara fisik dapat eksis. Sebaliknya, beberapa paradoks adalah tentang bahasa manusia yang penuh dengan kontradiksi, dan kita dapat mengabaikan kontradiksi. Akhirnya, ada paradoks dalam matematika, di mana kita harus hati-hati mengawasi langkah kita sehingga kita tidak sampai pada kontradiksi. Bagian yang sangat besar dari keterbatasan akal berasal dari tiga kategori paradoks ini.

Daftar Pustaka:
Aikin, K. Scott, 2011, Epistemology and the regress problem, London: Routledge.

Buridan, John, 1982, John Buridan on Self-Reference: Chapter Eight of Buridan's 'Sophismata', G. E. Hughes (ed. & tr.), Cambridge: Cambridge University Press.

Carnap, Rudolf, 1950, The Logical Foundations of Probability, Chicago: University of Chicago Press.

Feyerabend, Paul, 1988, Against Method, London: Verso.

Hacking, Ian, 1975, The Emergence of Probability, Cambridge: Cambridge University Press.

Harman, Gilbert, 1973, Thought, Princeton: Princeton University Press.

Hawthorne, John, 2004, Knowledge and Lotteries, Oxford: Clarendon Press.

Hein, Piet, 1966, Grooks, Cambridge: MIT Press.

Hintikka, Jaakko, 1962, Knowledge and Belief, Ithaca: Cornell University Press.

 Hughes, G. E., 1982, John Buridan on Self-Reference, Cambridge: Cambridge University Press.

Kvanvig, Jonathan L., 1998, "The Epistemic Paradoxes", Routledge Encyclopedia of Philosophy, London: Routledge.

Kyburg, Henry, 1961, Probability and the Logic of Rational Belief, Middletown: Wesleyan University Press.

Peirce, Charles Sanders, 1931--1935, The Collected Works of Charles Sanders Peirce, Charles Hartshorne and Paul Weiss (eds.), Cambridge, MA: Harvard University Press.

Plato, Plato: The Complete Works, John M. Cooper (ed.), Indianapolis: Hackett, 1997.

Quine, W. V., "Epistemology Naturalized", in Ontological Relativity and Other Essays, New York: Columbia University Press.

 Sainsbury, R. M., 1995, Paradoxes, Cambridge: Cambridge University Press.

Salerno, Joseph, 2009, New Essays on the Knowability Paradox, New York: Oxford University Press.

Williamson, Timothy, 2000, Knowledge and its Limits, Oxford: Oxford University Press.