Waktu pertama dan paling sederhana kita menemukan kontradiksi dalam matematika adalah di sekolah dasar, ketika kita diberitahu  kita dapat membagi angka dengan angka lain apa pun kecuali nol. Adalah tabu untuk membagi angka dengan nol karena jika kita membagi dengan nol, kita dapat memperoleh kontradiksi. Pertimbangkan pernyataan yang benar 0 2 = 0 3. Jika kita membagi kedua sisi dengan nol untuk 'membatalkan' nol, kita dibiarkan dengan 2 = 3.Â
Jadi dengan membaginya dengan nol kita mendapat kontradiksi: 2 2. Jadi sementara paradoks fisik menunjukkan kepada kita  objek atau proses tertentu tidak dapat ada, paradoks dalam matematika menunjukkan kepada kita  meskipun kita dapat melakukan operasi tertentu, kita tidak boleh, jangan sampai kita sampai pada kontradiksi.
Matematikawan (dan juga filsuf) dapat menggunakan fakta  kontradiksi tidak diizinkan untuk membuktikan teorema. Ini disebut pengurangan ke absurd atau bukti oleh kontradiksi : jika Anda ingin membuktikan  pernyataan tertentu itu benar, anggap itu salah dan turunkan kontradiksi. Karena tidak mungkin ada kontradiksi, asumsi kepalsuan pasti salah dan karenanya pernyataan asli itu benar. Bukti seperti itu memainkan peran utama dalam matematika modern.
Mari kita lihat contoh dari dunia set. Set adalah koleksi benda, dan mereka datang dalam berbagai bentuk: ada set apel hijau di lemari es saya; set sel dalam tubuh saya; set semua bilangan real, dll. Ada juga set yang berisi set. Misalnya, sekolah dapat dianggap sebagai satu set kelas. Setiap kelas, pada gilirannya, dapat dianggap sebagai satu set siswa. Jadi sekolah bisa menjadi satu set set siswa.
Hidup menjadi menarik ketika kita memikirkan set yang mengandung diri mereka sendiri. Ada contoh nyata dari set tersebut. Pertimbangkan serangkaian ide yang terkandung dalam artikel ini. Himpunan itu berisi sendiri: himpunan gagasan yang terkandung dalam artikel ini adalah gagasan yang terkandung dalam artikel ini. Himpunan semua set yang memiliki lebih dari satu elemen juga mengandung dirinya sendiri. Himpunan semua hal yang tidak merah mengandung dirinya sendiri.
Russell mengembangkan paradoks lain, kali ini tentang perangkat. Pertimbangkan semua set yang tidak mengandung diri mereka sendiri. Â Mari kita sebut koleksi itu R. Sekarang ajukan pertanyaan: apakah R mengandung R? Jika R memang mengandung R, maka sebagai anggota R, yang didefinisikan sebagai hanya berisi set yang tidak mengandung dirinya sendiri, R tidak mengandung R. Di sisi lain, jika R tidak mengandung dirinya sendiri, maka, menurut definisi, itu memang milik R. Sekali lagi kita sampai pada kontradiksi. Ini disebut paradoks Russell.
Sekarang kita sudah cukup akrab dengan paradoks untuk mengetahui  metode yang jelas untuk menyelesaikan paradoks Russell adalah dengan hanya menyatakan  set R tidak ada. Namun, semuanya tidak begitu sederhana di sini. Mengapa kumpulan elemen yang kami sebut R tidak ada? Kami memberikan pernyataan yang tepat tentang jenis objek yang dikandungnya: 'set yang tidak mengandung diri mereka sendiri'. Namun kami telah menyatakan  koleksi ini bukan set yang sah dan tidak dapat digunakan dalam diskusi matematika. Matematikawan diizinkan membahas apel hijau di lemari es saya, tetapi tidak diizinkan menggunakan set R, karena set R akan membawa kita ke kontradiksi.
Contoh terakhir kami menggunakan paradoks dalam matematika adalah salah satu teorema terpenting dalam matematika abad kedua puluh: Teorema Ketidaklengkapan Godel. Dalam matematika, setiap pernyataan yang dapat dibuktikan secara definisi harus benar, karena di sini bukti berarti 'secara matematis terbukti benar'. Sebelum Kurt Godel (1906-78) muncul, matematikawan berasumsi  pernyataan matematika apa pun yang benar juga dapat dibuktikan. Godel menunjukkan asumsi ini salah dengan merumuskan pernyataan matematika yang mirip dengan pernyataan pembohong, yang pada dasarnya mengatakan tentang dirinya sendiri 'Pernyataan matematika ini tidak dapat dibuktikan'.
Mari kita pikirkan sejenak. Jika pernyataan matematis 'Pernyataan matematis ini tidak dapat dibuktikan' tidak dapat dibuktikan, maka itu benar. Atau, jika 'Pernyataan matematis ini tidak dapat dibuktikan' terbukti, maka itu salah. Tetapi bagaimana membuktikannya menuntun kita pada pernyataan yang salah? Itu adalah kontradiksi, karena semua bukti matematis adalah bukti definisi dari pernyataan yang benar. Kita harus menyimpulkan  pernyataan Godel benar dan tidak dapat dibuktikan. Sebuah paradoks telah membawa kita pada batasan kekuatan matematika: ada pernyataan dalam matematika yang benar, tetapi tidak pernah bisa dibuktikan.
Kami telah melihat tiga jenis paradoks dan resolusi mereka. Beberapa paradoks adalah tentang jagad fisik dan karena kontradiksi tidak dapat eksis di jagad fisik, paradoks semacam itu menunjukkan keterbatasan pada apa yang secara fisik dapat eksis. Sebaliknya, beberapa paradoks adalah tentang bahasa manusia yang penuh dengan kontradiksi, dan kita dapat mengabaikan kontradiksi. Akhirnya, ada paradoks dalam matematika, di mana kita harus hati-hati mengawasi langkah kita sehingga kita tidak sampai pada kontradiksi. Bagian yang sangat besar dari keterbatasan akal berasal dari tiga kategori paradoks ini.
Daftar Pustaka:
Aikin, K. Scott, 2011, Epistemology and the regress problem, London: Routledge.
