Produk Cartesian bertindak dengan baik sehubungan dengan persimpangan.  Perhatikan  dalam kebanyakan kasus pernyataan di atas tidak benar jika  mengganti persimpangan dengan serikat pekerja. Namun, untuk persimpangan dan persatuan itu berlaku untuk:  dan, produk n-ary. Produk Cartesian dapat digeneralisasikan ke produk Cartesian n-ary di atas n set X1,..., Xn: Ini adalah satu set n-tupel. Jika tuple didefinisikan sebagai pasangan bersarang, dapat diidentifikasi ke (X1 -... - Xn-1) - Xn.
Aturan tanda-tanda Descartes. Dalam matematika, aturan tanda-tanda Descartes, yang pertama kali dijelaskan oleh Ren Descartes dalam karyanya La Gomtrie, adalah teknik untuk menentukan jumlah akar nyata positif atau negatif dari suatu polinomial. Aturan memberi  jumlah terikat dari akar polinomial positif atau negatif. Ini bukan aturan deterministik, yaitu tidak menyebutkan jumlah pasti dari akar positif atau negatif.
Akar Positif. Aturan menyatakan  jika ketentuan polinomial variabel-tunggal dengan koefisien nyata diperintahkan oleh variabel eksponen menurun, maka jumlah akar positif polinomial sama dengan jumlah perbedaan tanda antara koefisien bukan nol berturut-turut, atau kurang dari itu dengan kelipatan 2. Beberapa akar dengan nilai yang sama dihitung secara terpisah. Root Negatif sebagai akibat wajar dari aturan, jumlah akar negatif adalah jumlah perubahan tanda setelah meniadakan koefisien dari istilah daya ganjil (jika tidak terlihat sebagai pengganti negasi dari variabel untuk variabel itu sendiri), atau lebih sedikit dari itu oleh beberapa dari 2.
Teorema Descartes. Dalam geometri, teorema Descartes, dinamai dari Rene Descartes, membangun hubungan antara empat ciuman, atau lingkaran yang saling bersinggungan. Teorema dapat digunakan untuk membuat lingkaran singgung lingkaran keempat menjadi tiga lingkaran singgung yang diberikan bersama. Jika empat lingkaran yang saling bersinggungan memiliki kelengkungan ki (untuk i = 1,..., 4), teorema Descartes mengatakan:
(1) Saat mencoba menemukan jari-jari lingkaran keempat bersinggungan dengan tiga lingkaran ciuman yang diberikan, persamaannya ditulis ulang sebagai:
(2) Tanda mencerminkan fakta  pada umumnya ada dua solusi. Mengabaikan kasus degenerasi garis lurus, satu solusi positif dan yang lainnya positif atau negatif; jika negatif, itu mewakili lingkaran yang membatasi tiga yang pertama (seperti yang ditunjukkan pada diagram di atas). Kriteria lain mungkin lebih menyukai satu solusi daripada solusi lain dalam masalah apa pun.
Geometri Analitik:Geometri analitik memiliki dua arti berbeda dalam matematika. Kecuali untuk bagian Modern analitik geometri, artikel ini memperlakukan makna klasik dan dasar, yang merupakan sinonim dari koordinat geometri. Arti modern dan lanjutan mengacu pada geometri varietas analitik, yang objeknya digambarkan di Bagian Modern analitik geometri, di bawah ini.
Koordinat Cartesius. Â Geometri analitik, juga dikenal sebagai geometri koordinat, geometri analitik, atau geometri Cartesius, adalah studi geometri menggunakan sistem koordinat dan prinsip-prinsip aljabar dan analisis. Ini kontras dengan pendekatan umum geometri Euclidean, yang memegang sejumlah konsep geometris sebagai primitif, dan menggunakan penalaran deduktif berdasarkan aksioma dan teorema mendapatkan fakta. Geometri analitik adalah dasar dari sebagian besar bidang geometri modern, termasuk geometri aljabar, geometri diferensial dan geometri dan perhitungan diskrit, dan banyak digunakan dalam fisika dan teknik.
Biasanya sistem koordinat Cartesius diterapkan untuk memanipulasi persamaan untuk bidang, garis, dan bujur sangkar, seringkali pengukuran dua dan kadang tiga dimensi. Geometri, sebuah studi tentang bidang Euclidean (14:00) dan ruang Euclidean (15:00). Seperti yang diajarkan dalam buku teks, analisis geometri dapat dijelaskan lebih sederhana: berkaitan dengan mendefinisikan bentuk geometris dan mendapatkan beberapa informasi dari perwakilannya. Output digital, bagaimanapun, juga bisa berupa vektor atau bentuk. Â aljabar bilangan real dapat digunakan untuk menghasilkan hasil tentang kontinum linear geometri bergantung pada aksioma Cantor-Dedekind.
Daftar Pustaka:
Bos, Henk J.M., 1981, "On the representation of curves in Descartes' Gomtrie," Archive for History of Exact Sciences 24: 295--338.
