Filsafat Matematika Descartes [1]

Filsafat Matematika Descartes [1]

Rene Descartes lahir pada tanggal 31 Maret 1596, di kota megah Prancis selatan (Touraine, Prancis). Joachim Descartes   ayahnya adalah anggota dewan Kongres dan intelijen, dan memastikan  Descartes diberikan lingkungan yang sangat baik untuk belajar. Pada 1606, ketika Descartes mencapai usia 8 tahun, diterima di Jesuit College of Henry IV, di mana   belajar sastra, tata bahasa, sains, dan matematika selama delapan tahun. Dia biasanya dan sangat tidak sehat dan diizinkan untuk tidur larut malam setiap pagi. Namun, ia mempelajari ilmu klasik, logika dan filsafat. 

Dalam semua Descartes   matematika memuaskan untuk kebenaran ilmu pengetahuan alam. Pada 1614,   meninggalkan universitas untuk belajar hukum sipil dan kanon di Poitiers. Pada 1616,  menerima gelar sarjana muda dan lisensi. Derajat di luarnya, Descartes juga menghabiskan waktu mempelajari filsafat, teologi, dan kesehatan. Descartes menghabiskan beberapa tahun belajar matematika di Paris bersama teman-temannya, sebagai Messene. Seiring waktu, seorang pria untuk jenis pendidikan ini atau mendaftar di tentara atau gereja. Descartes memutuskan untuk mendaftar dalam tentara seorang bangsawan pada tahun 1617.

Selama layanan, dengan beberapa masalah geometris Descartes, masalah yang telah menjadi tantangan bagi semua orang untuk menyelesaikannya. Descartes menyelesaikannya hanya dalam beberapa jam. Belakangan, ia bertemu dengan seorang pria bernama Isaac Holland Beckman seorang ilmuwan yang menjadi teman Descartes. Tak lama setelah ia mengambil alih kekuasaan dalam matematika, tugas-tugas yang ada di ketentaraan akan tidak dapat diterima olehnya. Namun, ia masih berada di ketentaraan di bawah pengaruh keluarga dan tradisi.

Pada 1621, Descartes menyerahkan pasukan dan melakukan perjalanan yang luas untuk melakukan penelitian dalam matematika murni. Kemudian ia menetap di Paris pada tahun 1626, ia menemukan konstruksi Instrumen optik (mata). Akhirnya, pada tahun 1628, menjadi peneliti kebenaran tentang ilmu alam.

Selama periode ini, ia pindah ke Belanda. Dia terus tinggal di sana selama lebih dari dua puluh tahun. Selama periode ini, Descartes menerbitkan "filsafat meditasi pertamanya. Tidak lain dari karyanya sendiri,   menemukan frasa terkenalnya "Saya pikir saya ada. Itu bisa digunakan untuk menyebabkan ide-ide kompleks alam semesta dalam ide sederhana itu benar. Jadi Descartes melanjutkan pekerjaannya di bidang matematika.

Pada 1638, aspek geometri Descartes menjadi terkenal dalam sejarah matematika, seperti yang ia lakukan pada penemuan geometri analitik. Meskipun pekerjaan ini telah dilakukan sebelumnya oleh matematikawan lain dan sejarah matematika, memperkenalkan teori Descartes Mengidentifikasi titik dalam bidang pasangan bilangan real (pasangan berurut). Ini disebut delta Cartesian.

Pada 1649, Ratu Descartes diundang ke Swedia untuk bekerja di bidang matematika. Dikatakan  sang ratu ingin bekerja dalam matematika di dini hari. Jadi Descartes harus bangun pagi untuk pergi ke istana. Karena iklim yang dingin, mereka menderita pneumonia setelah hanya beberapa bulan dan meninggal pada 11 Februari 1650.

Descartes telah membuat banyak kontribusi terkenal dan terkenal untuk matematika. Pada 1618, ketika Descartes melakukan perjalanan ke Belanda untuk akhirnya menetap di sana, ia bertemu seorang mahasiswa kedokteran berusia tiga puluh tahun, Isaac Beeckman, setelah beberapa minggu ke depan. Teman baru Descartes ini tercengang dengan kemampuan Descartes di bidang matematika. Selama beberapa minggu berikutnya, Descartes menunjukkan kepada Beeckman fakta-fakta berikut:

Bagaimana menerapkan aljabar dan matematika pada banyak masalah. Matematika dapat diterapkan pada jarak dan penyetelan sengatan kecapi yang lebih tepat, Formula aljabar yang diusulkan untuk menentukan kenaikan level air ketika benda berat ditempatkan di dalam air.

Buat grafik geometris yang menunjukkan cara memprediksi kecepatan akselerasi pensil yang jatuh dalam ruang hampa setiap saat selama periode dua jam. Bagaimana gasing berputar tetap tegak dan bagaimana ini dapat digunakan untuk membantu manusia menjadi mengudara.

Pada akhir 1618, Descartes sudah menerapkan persamaan aljabar untuk memecahkan masalah geometris. Saat itulah, tidak lebih dari yang dikatakan oleh banyak sumber, dia menemukan geometri analitik.

Descartes berusaha memberikan landasan filosofis untuk fisika mekanistik baru yang berkembang dari karya Copernicus dan Galileo. Ia membagi semua hal menjadi dua kategori - pikiran dan materi   dan mengembangkan sistem filosofi dualistik di mana, meskipun pikiran tunduk pada kehendak dan tidak mengikuti hukum fisik, semua materi harus mematuhi hukum mekanistik yang sama

Sistem filosofis yang dikembangkan Descartes, yang dikenal sebagai filsafat Cartesian, didasarkan pada skeptisisme dan menegaskan  semua pengetahuan yang dapat diandalkan harus dibangun dengan menggunakan akal melalui analisis logis. Filsafat Cartesian berpengaruh dalam keberhasilan akhir Revolusi Ilmiah dan memberikan fondasi yang mendasari pemikiran filosofis selanjutnya.

Descartes menerbitkan berbagai risalah tentang filsafat dan matematika. Pada tahun 1637 Descartes menerbitkan karya besarnya, Discourse on Method of reasoning well and Finding Truth in the Sciences. Dalam Wacana, Descartes berusaha menjelaskan semuanya dalam hal materi dan gerak. Wacana berisi tiga lampiran, satu di optik, satu di meteorologi, dan satu berjudul La Gometrie (The Geometry). Di La Geometrie, Descartes menggambarkan apa yang sekarang dikenal sebagai sistem Koordinat Cartesian, atau koordinat geometri. Dalam sistem koordinat Descartes, geometri dan aljabar disatukan untuk pertama kalinya untuk menciptakan apa yang dikenal sebagai geometri analitik.

Gagasan sistem ini dikembangkan pada 1637 dengan dua karya Descartes dan secara independen oleh Pierre de Fermat, meskipun Fermat menggunakan temuan tiga dimensi dan tidak dipublikasikan. Pada bagian kedua dari metode ceramahnya, Descartes memperkenalkan ide baru untuk menentukan lokasi suatu titik atau objek di permukaan, menggunakan dua sumbu berpotongan sebagai panduan pengukuran. La Geometrie, ia terus mengeksplorasi konsep yang disebutkan di atas.

Mungkin menarik untuk dicatat  beberapa orang telah menunjukkan  penguasa Renaissance menggunakan kisi, dalam bentuk jaring, sebagai alat untuk memecahkan bagian-bagian penyusun mata pelajaran mereka, mereka menambahkan warna. Descartes hanya dapat memengaruhi spekulasi. Pengembangan sistem koordinat Cartesian memungkinkan pengembangan perhitungan Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz.

Sistem koordinat Cartesian menentukan setiap titik secara unik dalam sebuah pesawat oleh sepasang koordinat numerik, yang merupakan jarak yang ditandatangani dari titik ke dua garis terarah tegak lurus, diukur dalam satuan panjang yang sama.

Setiap garis referensi disebut sumbu koordinat atau hanya poros sistem, dan titik di mana mereka bertemu adalah asalnya. Koordinat juga dapat didefinisikan sebagai posisi proyeksi tegak lurus titik ke dua sumbu, dinyatakan sebagai jarak yang ditandatangani dari titik asal.

Ilustrasi pesawat koordinat Kartesius. Empat titik ditandai dan dilabeli dengan koordinatnya: (2,3) berwarna hijau, ('3,1) berwarna merah, (a'1,5, '2,5) berwarna biru, dan titik asal (0,0) berwarna ungu .

Seseorang dapat menggunakan prinsip yang sama untuk menentukan posisi suatu titik dalam ruang tiga dimensi oleh tiga koordinat Kartesius, jarak yang ditandatanginya dengan tiga bidang yang saling tegak lurus (atau, yang setara, dengan proyeksi tegak lurus ke tiga garis yang saling tegak lurus). Secara umum, seseorang dapat menentukan titik dalam ruang dimensi apa saja dengan menggunakan koordinat Cartesian, jarak yang ditandatangani dari n bidang hiper yang saling tegak lurus.

Sistem koordinat Cartesian dengan lingkaran jari-jari 2 berpusat pada titik asal ditandai dengan warna merah. Persamaan lingkaran adalah x2 + y2 = r2.

Penemuan koordinat Cartesian pada abad ke-17 oleh Ren Descartes merevolusi matematika dengan menyediakan hubungan sistematis pertama antara geometri Euclidean dan aljabar. Menggunakan sistem koordinat Cartesius, bentuk-bentuk geometris (seperti kurva) dapat digambarkan dengan persamaan Cartesius: persamaan aljabar yang melibatkan koordinat titik-titik yang terletak pada bentuk. Misalnya, lingkaran jari-jari 2 dapat digambarkan sebagai himpunan semua titik yang koordinatnya x dan y memenuhi persamaan x2 + y2 = 22.

Koordinat kartesius adalah dasar dari geometri analitik, dan memberikan interpretasi geometri yang mencerahkan untuk banyak cabang matematika lainnya, seperti aljabar linier, analisis kompleks, geometri diferensial, kalkulus multivariat, teori grup, dan banyak lagi. Contoh yang umum adalah konsep grafik suatu fungsi. Koordinat kartesius juga merupakan alat penting untuk sebagian besar disiplin ilmu terapan yang berhubungan dengan geometri, termasuk astronomi, fisika, teknik, dan banyak lagi. Mereka adalah sistem koordinat yang paling umum digunakan dalam grafik komputer, desain geometri berbantuan komputer, dan pemrosesan data terkait geometri lainnya.

Formula Cartesian untuk pesawat: pada Jarak antara dua titik. Jarak Euclidean antara dua titik pesawat dengan koordinat Cartesian (x1, y1) dan (x2, y2) adalah versi Teorema Pythagoras versi Cartesian. Dalam ruang tiga dimensi, jarak antara titik (x1, y1, z1) dan (x2, y2, z2).

 Kategori  Descartes adalah entitas kompleks dalam matematika yang digunakan untuk menyediakan kerangka kerja umum untuk teori pertama. Mereka diformalkan dalam situasi yang berbeda dan geometri aljabar, di mana gambar terbalik (atau tarik-mundur) objek sebagai bundel vektor dapat ditentukan. Sebagai contoh, untuk setiap ruang topologi dapat dihilangkan dalam ruang vektor, dan untuk semua peta kontinu dari ruang topologis X ke ruang topologis Y adalah kombinasi bundel fungsional bundel mundurnya jenis Y sistem X. Tujuan fisik meliputi fungsi normalisasi dan kontras gambar. Pengaturan yang sama muncul dalam berbagai samaran dalam matematika, terutama aljabar, geometri, yaitu konteks di mana tubuh tipe awalnya muncul. Fibrasi juga memainkan peran penting dalam teori klasifikasi kategori dan teori ilmu komputer, terutama dalam model teoretis tergantung

Gagasan Cartesian, dalam matematika, produk Cartesian (atau set produk) adalah produk langsung dari dua set. Produk Cartesian dinamai Ren Descartes, yang formulasi geometri analitiknya memunculkan konsep ini.

Secara khusus, produk Cartesian dari dua set X (misalnya titik pada sumbu x) dan Y (misalnya titik pada sumbu y), dilambangkan X -Y, adalah set dari semua pasangan yang mungkin dipesan yang pertama kali komponen adalah anggota X dan komponen kedua adalah anggota Y (mis., seluruh bidang xy). Sebagai contoh, produk Cartesian dari set 13-elemen peringkat kartu bermain standar {Ace, King, Queen, Jack, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} dan set empat elemen setelan kartu {a , a , , a } adalah set 52-elemen dari semua kartu bermain yang mungkin: peringkat -suit = {(Ace, a ), (King, ) , ..., (2, a ), (Ace, ), ..., (3, a ), (2, a )}. Produk Cartesian yang sesuai memiliki 52 = 13 A-4 elemen. Produk Cartesian dari suit -rank masih akan menjadi 52 pasangan, tetapi dalam urutan yang berlawanan {( , Ace), ( , Raja), ...}. Pasangan yang dipesan (semacam tuple) memiliki pesanan, tetapi set tidak teratur. Urutan di mana unsur-unsur himpunan terdaftar tidak relevan; Anda dapat mengocok kartu dan masih set kartu yang sama.

Sebuah produk Cartesian dari dua set hingga dapat diwakili oleh sebuah tabel, dengan satu set sebagai baris dan yang lainnya sebagai kolom, dan membentuk pasangan yang terurut, sel-sel tabel, dengan memilih elemen set dari baris dan kolom.

Dalam kasus di mana dua set input tidak sama, produk Cartesian tidak komutatif karena pasangan yang dipesan terbalik.  Meskipun elemen dari masing-masing pasangan terurut dalam set akan sama, pasangan akan berbeda.  Sebagai contoh:

{1,2} x {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

{3,4} x {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

Satu pengecualian adalah dengan set kosong, yang bertindak sebagai "nol", dan untuk set yang sama, dan, seandainya G, T adalah himpunan dan G = T. Sebenarnya, produk Cartesian tidak asosiatif.

Produk Cartesian bertindak dengan baik sehubungan dengan persimpangan.  Perhatikan  dalam kebanyakan kasus pernyataan di atas tidak benar jika   mengganti persimpangan dengan serikat pekerja. Namun, untuk persimpangan dan persatuan itu berlaku untuk:  dan, produk n-ary. Produk Cartesian dapat digeneralisasikan ke produk Cartesian n-ary di atas n set X1,..., Xn: Ini adalah satu set n-tupel. Jika tuple didefinisikan sebagai pasangan bersarang, dapat diidentifikasi ke (X1 -... - Xn-1) - Xn.

Aturan tanda-tanda Descartes. Dalam matematika, aturan tanda-tanda Descartes, yang pertama kali dijelaskan oleh Ren Descartes dalam karyanya La Gomtrie, adalah teknik untuk menentukan jumlah akar nyata positif atau negatif dari suatu polinomial. Aturan memberi   jumlah terikat dari akar polinomial positif atau negatif. Ini bukan aturan deterministik, yaitu tidak menyebutkan jumlah pasti dari akar positif atau negatif.

Akar Positif. Aturan menyatakan  jika ketentuan polinomial variabel-tunggal dengan koefisien nyata diperintahkan oleh variabel eksponen menurun, maka jumlah akar positif polinomial sama dengan jumlah perbedaan tanda antara koefisien bukan nol berturut-turut, atau kurang dari itu dengan kelipatan 2. Beberapa akar dengan nilai yang sama dihitung secara terpisah. Root Negatif sebagai akibat wajar dari aturan, jumlah akar negatif adalah jumlah perubahan tanda setelah meniadakan koefisien dari istilah daya ganjil (jika tidak terlihat sebagai pengganti negasi dari variabel untuk variabel itu sendiri), atau lebih sedikit dari itu oleh beberapa dari 2.

Teorema Descartes. Dalam geometri, teorema Descartes, dinamai dari Rene Descartes, membangun hubungan antara empat ciuman, atau lingkaran yang saling bersinggungan. Teorema dapat digunakan untuk membuat lingkaran singgung lingkaran keempat menjadi tiga lingkaran singgung yang diberikan bersama. Jika empat lingkaran yang saling bersinggungan memiliki kelengkungan ki (untuk i = 1,..., 4), teorema Descartes mengatakan:

(1) Saat mencoba menemukan jari-jari lingkaran keempat bersinggungan dengan tiga lingkaran ciuman yang diberikan, persamaannya ditulis ulang sebagai:

(2) Tanda mencerminkan fakta  pada umumnya ada dua solusi. Mengabaikan kasus degenerasi garis lurus, satu solusi positif dan yang lainnya positif atau negatif; jika negatif, itu mewakili lingkaran yang membatasi tiga yang pertama (seperti yang ditunjukkan pada diagram di atas). Kriteria lain mungkin lebih menyukai satu solusi daripada solusi lain dalam masalah apa pun.

Geometri Analitik:Geometri analitik memiliki dua arti berbeda dalam matematika. Kecuali untuk bagian Modern analitik geometri, artikel ini memperlakukan makna klasik dan dasar, yang merupakan sinonim dari koordinat geometri. Arti modern dan lanjutan mengacu pada geometri varietas analitik, yang objeknya digambarkan di Bagian Modern analitik geometri, di bawah ini.

Koordinat Cartesius.  Geometri analitik, juga dikenal sebagai geometri koordinat, geometri analitik, atau geometri Cartesius, adalah studi geometri menggunakan sistem koordinat dan prinsip-prinsip aljabar dan analisis. Ini kontras dengan pendekatan umum geometri Euclidean, yang memegang sejumlah konsep geometris sebagai primitif, dan menggunakan penalaran deduktif berdasarkan aksioma dan teorema mendapatkan fakta. Geometri analitik adalah dasar dari sebagian besar bidang geometri modern, termasuk geometri aljabar, geometri diferensial dan geometri dan perhitungan diskrit, dan banyak digunakan dalam fisika dan teknik.

Biasanya sistem koordinat Cartesius diterapkan untuk memanipulasi persamaan untuk bidang, garis, dan bujur sangkar, seringkali pengukuran dua dan kadang tiga dimensi. Geometri, sebuah studi tentang bidang Euclidean (14:00) dan ruang Euclidean (15:00). Seperti yang diajarkan dalam buku teks, analisis geometri dapat dijelaskan lebih sederhana: berkaitan dengan mendefinisikan bentuk geometris dan mendapatkan beberapa informasi dari perwakilannya. Output digital, bagaimanapun, juga bisa berupa vektor atau bentuk.  aljabar bilangan real dapat digunakan untuk menghasilkan hasil tentang kontinum linear geometri bergantung pada aksioma Cantor-Dedekind.

Daftar Pustaka:

Bos, Henk J.M., 1981, "On the representation of curves in Descartes' Gomtrie," Archive for History of Exact Sciences 24: 295--338.

__, 2001, Redefining Geometrical Exactness: Descartes' Transformation of the Early Modern Concept of Construction. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag.

Descartes, Rene, 1637, The Geometry of Rene Descartes with a facsimilie of the first edition, translated by David E. Smith and Marcia L. Latham. New York: Dover Publications, Inc., 1954. [cited as G followed by page number]