Modul Ajar Geometri

MODUL GEOMETRI

INFORMASI UMUM

A. Identitas Modul

• Nama Penyusun: Zidna Fatha Nazhifa
• Nama Sekolah: SMPN 2 Tasikmadu
• Tahun Penyusunan: 2023
• Jenjang Sekolah: SMP
• Alokasi Waktu: 3 Jam 20 Menit Pelajaran (2 Pertemuan x 4 JP)
• Elemen: Geometri

B. Capaian Pembelajaran

Di akhir fase D peserta didik dapat membuat jaring-jaring bangun ruang (prisma, tabung, limas dan kerucut) dan membuat bangun ruang tersebut dari jaring-jaringnya.

C. Profil Pelajar Pancasila

Setelah mengikuti pembelajaran ini, Profil Pelajar Pancasila yang diharapkan muncul pada peserta didik adalah:

1. Mandiri, ditunjukkan dengan memiliki prakarsa untuk mengembangkan diri dan tidak tergantung pada orang lain.

2. Kreatif, ditunjukkan dengan keluwesan berpikir dalam mencari alternatif solusi permasalahan.

3. Bernalar kritis, ditunjukkan dengan memproses, mengolah, menganalisis, dan merefleksi pemikirannya sendiri.

4. Bergotong Royong, siswa bersama kelompok secara sukarela melakukan kegiatan penyelesaian tugas dapat dikerjakan dan berjalan lancar, mudah dan ringan. Masing-masing siswa dapat dengan mudah berkolaborasi, saling peduli dan berbagi.

D. Sarana & Prasarana

Sarana & Prasarana yang dibutuhkan pada saat belajar dengan modul ini antara lain:

1. Laptop/LCD Proyektor

2. Media ajar/Game

3. Lembar Job Sheet

4. Kertas Karton

E. Target Peserta Didik

Peserta didik reguler

F. Model Pembelajaran yang Digunakan

Ceramah dan Pembelajaran dengan Discovery Learning

KOMPONEN INTI

A. Tujuan Pembelajaran

Peserta didik diharapkan mampu:

1. Memahami jenis-jenis geometri, utamanya jaring jaring bangun ruang dan keberadaannya dalam kehidupan sehari hari.

2. Memahami jenis dan bagaimana sudut dan garis terbentuk.

3. Memahami bagaimana transisi geometri baik translasi, rotasi, refleksi dan dilatasi.

B. Pemahaman Bermakna

Meningkatkan pemahaman peserta didik terkait jenis, sifat, bentuk jari jari, rumus, dan penerapan pengukuran bangun ruang di dunia nyata, sehingga mampu menyelesaikan permasalahan yang dihadapi dalam kehidupan sehari-hari.

C. Pertanyaan Pemantik

1. Apa saja jenis geometri, bangun ruang dalam kehidupan sehari - hari.

2. Bagaimana sifat dan bentuk jaring jaring dari masing masing bangun ruang?

3. Bagaimana sudut dan garis dapat terbentuk?

4. Bagaimana transisi geometri baik translasi, rotasi, refleksi dan dilatasi?

D. Persiapan Pembelajaran

1. Membaca materi pembelajaran, menyiapkan perangkat, dan modul ajar.

2. Menyiapkan alat dan bahan

3. Jobsheet.

4. Menyiapkan materi pembelajaran dan modul ajar.

5. Menyiapkan perangkat pembelajaran. (alat dan bahan)

6. Membuat jobsheet pembelajaran.

E. Kegiatan Pembelajaran

Kegiatan Pembelajaran dalam Modul

F. Assesmen

• Penilaian Sikap
• Penilaian Kognitif 
• Penilaian Keterampilan

G. Refleksi Peserta didik dan guru

1. Apa ada kendala pada kegiatan pembelajaran?

2. Apakah semua peserta didik aktif selama mengikuti kegiatan pembelajaran?

3. Apa saja kesulitan yang dihadapi peserta didik selama mengikuti kegiatan pembelajaran?

4. Apakah kesulitan yang dialami peserta didik dapat teratasi?

5. Apa level pencapaian rata-rata peserta didik dalam kegiatan pembelajaran ini?

6. Apakah seluruh peserta didik dapat tuntas dalam pelaksanaan  pembelajaran?

7. Apa strategi yang harus dipilih supaya peserta didik dapat  menuntaskan kompetensi?

H. Pengayaan dan Remedial

1. Pengayaan : 

Diberikan untuk menambah wawasan kepada peserta didik mengenai materi pembelajaran yang dapat diberikan kepada peserta didik yang telah tuntas mencapai KKTP

• Pengayaan dapat ditagihkan atau tidak ditagihkan sesuai kesepakatan peserta didik 

• Berdasarkan hasil analisis penilaian, peserta didik yang sudah mencapai ketuntasan belajar diberikan kegiatan pembelajaran pengayaan untuk perluasan dan pendalaman materi (kompetensi) 

• 
  

1. Remedial : 

Diberikan kepada peserta didik yang capaian KKTP nya belum tuntas 

• Guru memberikan semangat kepada peserta didik yang belum tuntas 

• Guru memberikan tugas bagi peserta didik yang belum tuntas dalam bentuk pembelajaran ulang dengan belajar kelompok dan pemanfaatan tutor sebaya bagi peserta didik yang belum mencapai ketuntasan belajar sesuai hasil analisis penilaian.

• Guru memberikan beberapa tugas terkait dasar dasar materi geometri.

LAMPIRAN

A. Bahan Bacaan Guru dan Peserta Didik

Terlampir

B. Glosarium

1. Apersepsi adalah penghayatan tentang segala sesuatu yang menjadi dasar untuk menerima ide- ide baru.

2. Asesmen adalah proses penilaian untuk menilai pemahaman dan pencapaian peserta didik dalam materi pembelajaran.

3. Discovery Learningadalah proses pembelajaran yang dilakukan mulai dari memahami konsep, arti, dan hubungan melalui proses intuitif untuk akhirnya sampai kepada suatu kesimpulan.

C. Referensi

https://www.defantri.com/2022/01/pembahasan-garis-sudut-matematika-smp.html 

MATERI AJAR

A. Jari - jari Bangun Ruang

Jaring jaring ialah bidang datar yang berupa gabungan dari bangun datar yang menyusun sebuah bangun ruang seperti balok, kubus, limas dan lain-lain. Jaring-jaring dapat diperoleh dengan cara membelah sebuah bangun ruang dengan mengikuti rusuk-rusuknya. Untuk pertama kalinya mari kita coba membuat jaring - jaring kubus. Kubus terdiri atas enam buah bangun datar persegi atau bujur sangkar. Berikut ini penampakan dari gambar bangun kubus.

1. Kubus

Gambar di atas adalah gambar sebuah kubus yang akan kita cari jaring-jaringnya, Warna hijau merupakan tutup sedangkan warna biru merupakan alasnya. Dari gambar diatas dapat terbentuk 11 bentuk jaring - jaring kubus yang berbeda. Cara membuat Jaring Jaring Kubus

• Sediakan pensil, penggaris, dan gunting.

• Gambarkan jaring-jaring kubus sesuai gambar yang di atas pada kardus maupun kertas karton.

• Setelah gambar jadi, sekarang tinggal gunting gambar jaring-jaringnya.

• Setelah digunting, sekarang bagian yang bergaris masing-masing ditekuk.

• Setelah ditekuk-tekuk, tinggal hubungkan saja masing-masing tekukannya maka akan terbentuk kubus.

• Jaring-jaring kubus yang sudah jadi seperti di atas.

1. Balok

Jaring-jaring balok lebih banyak dan variatif jika kita bandingkan dengan jaring-jaring pada kubus, Hal ini dikarenakan balok sisi-sisinya terdiri atas bangun datar persegi panjang. Sama seperti pada jaring-jaring kubus jaring-jaring balok juga didapat dengan membuka bangun ruang balok sehingga diperoleh seluruh permukaan balok. Berikuti ini adalah contoh gambar jaring-jaring balok, silahkan anda perhatikan.

1. Kerucut

Kerucut adalah sebuah bangun ruang dengan sisi lengkung yang menyerupai bangun limas segi n beraturan dengan alas yang berbentuk lingkaran. Definisi lainnya; kerucut adalah bangun ruang yang mempunyai alas berbentuk lingkaran dan diselimuti oleh irisan dari lingkaran. Jaring-jaring bangun ruang yang satu ini tidak banyak, karena kerucut merupakan bangun ruang dengan bentuk yang sangat relatif. Berikut ini merupakan salah satu contoh jaring-jaring pada kerucut.

1. Prisma

Sama seperti pada jaring-jaring bangun ruang yang lain, jaring-jaring prisma diperoleh dengan mengiris beberapa rusuk prisma sehingga bangun ruang prisma tersebut bisa kita direbahkan pada bidang datar. Sebagai contoh kita akan membuat jaring-jaring dari bangun prisma segitiga. Berikut ini contoh alur pembuatan jaring-jaring pada prisma segitiga.

Jika diperhatikan dari jaring-jaring yang selesai dibuat pada gambar diatas, dapat disimpulkan jaring-jaring prisma segitiga mempunyai dua buah sisi alas yang berbentuk segitiga siku-siku serta tiga buah sisi tegak yang berbentuk persegi panjang. Jika Anda mengiris rusuk-rusuk prisma yang berbeda anda akan memperoleh jaring-jaring yang berbeda pula dari bangun ini.

1. Limas

Sama seperti mencari jaring-jaring bangun ruang yang lain, jaring-jaring limas segitiga didapat dengan mengiris beberapa rusuk limas sehingga bangun ruang limas tersebut dapat direbahkan pada bidang datar. Jaring-jaring limas segitiga sama sisi diperoleh dengan cara mengiris beberapa rusuk limas kemudian merebahkannya, maka akan diperoleh jaring-jaring seperti contoh dibawah ini.

Jaring jaring Limas Segitiga, Sama Sisi, Sama Kaki, Siku-siku dan Sembarang Gambar diatas tersebut merupakan proses pembentukan jaring-jaring limas segitiga sama sisi, Sebenarnya ada beberapa jaring-jaring yang bisa anda buat dari bangun ini.

1. Tabung

Tabung merupakan bangun ruang dengan sisi lengkung. Tabung terdiri atas dua buah lingkaran yang kongruen dan sebuah persegi panjang sebagai selimutnya. Cara membuat bentuk dari jaring-jaring tabung adalah sama dengan yang dilakukan pada bangun ruang jenis lainnya, seperti jaring-jaring pada bangun ruang kubus, jaring-jaring pada bangun ruang balok, jaring-jaring pada bangun ruang prisma dan jaring-jaring pada bangun ruang limas, yakni dengan cara membuka sisi-sisinya kemudian merebahkannya.

Pada bangun ruang tabung pun demikian, cara membuat jaring-jaring tabung bisa dilakukan dengan cara membuka sisi-sisi tabung kemudian merebahkannya. Untuk lebih jelasnya tentang jaring-jaring tabung silahkan anda perhatikan gambar dibawah ini!

B. Hubungan Antar Sudut

Garis transversal adalah sebuah garis yang memotong dua buah atau lebih garis yang berada pada satu bidang dan memiliki dua titik potong atau lebih sedangkan garis-garis sejajar adalah garis-garis yang berada pada satu bidang dan tidak memiliki titik potong. Untuk itu ada beberapa hubungan pasangan sudut yang perlu juga untuk kita ketahui sebelumnya.

SUDUT YANG BERSEBELAHAN

Sudut yang bersebelahan adalah sudut yang memiliki titik pusat sama dan memiliki salah satu sisi yang sama. Misal pada gambar berikut ini sudut a dan sudut b dapat dikatakan sudut yang bersebelahan karena memiliki titik pusat yang sama dan satu sisi yang sama.

SUDUT PADA SATU TITIK

Sudut pada satu titik adalah sudut yang terbentuk oleh beberapa garis (2 garis atau lebih) dan jumlah keseluruhan sudut adalah 360. Misal pada gambar berikut ini sudut a, sudut b, sudut c dan sudut d dapat dikatakan sudut pada satu titik karena terbentuk oleh beberapa garis (2 garis atau lebih) dan a + b + c + d = 360.

SUDUT BERPELURUS (SUDUT SUPLEMEN)

Sudut yang berpelurus adalah dua buah sudut yang membentuk sudut 180. Masing-masing sudut tersebut saling berpelurus satu dengan yang lainnya. Misal pada gambar pertama ini sudut a dan sudut b adalah sudut bersebelahan pada sebuah garis lurus dapat dikatakan saling berpelurus sehingga a + b = 180

Pada gambar kedua ini sudut a dan sudut c atau sudut b dan sudut d adalah sudut-sudut yang berlawanan pada tali busur sebuah bangun segi empat dikatakan saling berpelurus, sehingga a + c = 180 atau b + d = 180.

Pada gambar ketiga ini sudut a dan sudut b adalah sudut-sudut yang terletak di antara 2 garis sejajar yang berpotongan dengan garis transversal adalah sudut berpelurus, sehingga a + b = 180.

SUDUT BERPENYIKU (SUDUT KOMPLEMEN)

Sudut yang saling berpenyiku adalah dua buah sudut yang membentuk sudut 90. Masing-masing sudut tersebut saling berpenyiku satu dengan yang lainnya. Misal pada gambar ini sudut a dan sudut b adalah sudut berpenyiku.Jika sebuah sudut 90 dibagi menjadi dua bagian, maka masing-masing sudut tersebut disebut sudut penyiku dan dalam sebuah segitiga siku-siku, sudut a dan sudut b adalah sudut penyiku, sehingga a + b = 90.

SUDUT BERSEBERANGAN

Sudut yang bersebrangan adalah sudut yang terbentuk secara berlawanan pada suatu garis transversal yang berada di antara dua buah garis sejajar. Besar sudut yang berseberangan adalah sama. Sudut berseberangan dapat dibagi dalam dua jenis yaitu : 

• Sudut berseberangan dalam adalah d dan sudut q atau p dan sudut c sehingga d = q dan p = c.

• Sudut berseberangan luar adalah a dan sudut r atau b dan sudut s sehingga a = r dan b = s

SUDUT BERTOLAK BELAKANG (SUDUT BERLAWANAN)

Sudut bertolak belakang atau sudut berlawanan adalah sudut dengan sisi-sisi yang bertolak belakang pada sebuah titik potong dari dua buah garis, dan besar kedua sudut yang bertolak belakang ini adalah sama. Misal pada gambar berikut ini sudut a bertolak belakang dengan sudut b sehingga a = c dan sudut b bertolak belakang dengan sudut d sehingga b = d.

Pada dua garis sejajar yang dipotong oleh garis transversal terdapat juga sudut bertolak belakang.

SUDUT SEPIHAK

Saat dua garis sejajar dipotong garis ketiga dapat kita peroleh sudut sepihak. Ada dua jenis sudut sepihak yaitu sudut sepihak dalam dan sudut sepihak luar. Sudut luar sepihak adalah sudut yang berada di sisi luar dan berada pada sisi yang sama. Sedangkan sudut dalam sepihak adalah sudut yang berada di sisi dalam dan berada pada sisi yang sama.

C. Transformasi Tunggal

Pengertian Transformasi Geometri

Sebelum mengetahui pengertian dari transformasi geometri. Kita jabarkan lebih dulu apa itu arti transformasi dan apa itu geometri. Transformasi berarti perubahan sebuah struktur menjadi bertambah, berkurang atau tertata kembali unsurnya. Sedangkan geometri berarti cabang matematika yang menjelaskan soal sifat garis, sudut, bidang, dan ruang. Berdasarkan dua definisi tersebut transformasi geometri dapat disimpulkan sebagai perubahan bentuk dari sebuah garis, sudut, ruang, dan bidang.

Dalam kehidupan sehari-hari, transformasi geometri ini biasanya dimanfaatkan untuk pembuatan karya-karya seni dan desain arsitektur.

Jenis-jenis Transformasi Geometri

Transformasi geometri itu sendiri terdiri dari empat jenis, yaitu translasi, rotasi, refleks, dan dilatasi.

Berikut adalah pemaparan lengkap masing-masing jenis transformasi geometri:

1. Translasi (Pergeseran)

Translasi atau pergeseran merupakan jenis dari transformasi geometri di mana terjadi perpindahan atau pergeseran dari suatu titik ke arah tertentu di dalam sebuah garis lurus bidang datar. Akibatnya, setiap bidang yang ada di garis lurus tersebut juga akan digeser dengan arah dan jarak tertentu. Translasi pada dasarnya hanya mengubah posisi, bukan bentuk dan ukuran dari bidangnya.

Contoh sederhana dari translasi adalah peristiwa yang terjadi di perosotan. Dimana orang yang sama dengan sebuah bidang berpindah posisi dari titik awal (awal perosotan) dan titik akhir (ujung perosotan). Contoh lainnya adalah kendaraan yang berjalan di jalan lurus, dari kejadian itu bisa dilihat bahwa kendaraan yang merupakan objek tidak mengalami perubahan ukuran tetapi hanya berpindah tempat.

Rumus dari translasi itu sendiri adalah:

(x',y') = (a,b) + (x,y)

Keterangan:

x', y' = titik bayangan

x,y = titik asal

a,b = vektor translasi

Contoh soal transformasi geometri jenis translasi

Tentukan titik bayangan jika titik A adalah (2, 4) dan ditranslasikan menjadi (6, 3)

Jawab:

(x', y') = (x +a, y+b)

(x', y') = (2+6, 4+3)

(x', y') = (8, 7)

Maka titik bayangannya ada di (8, 7)

1. Rotasi (Perputaran)

Rotasi atau juga dikenal dengan perputaran dalam transformasi geometri sesuai dengan namanya berarti sebuah perputaran yang ditentukan oleh titik pusat rotasi, arah rotasi, dan juga besar dari sudut rotasi. Prinsipnya adalah memutar terhadap sudut dan titik pusat yang memiliki jarak yang sama dengan titik yang diputar. Karena hanya berputar, maka transformasi ini tidak mengubah bentuk atau ukuran dari sebuah bidang.

Contoh sederhananya adalah cara kerja dari bianglala di mana lingkaran memutari titik tengah. Contoh lainnya adalah dalam gangsing. Cara kerja gangsing nyaris sama dengan bianglala karena berputar mengitari titik tengah.

Ada beberapa Rumus dari rotasi, yaitu:

Rotasi 90 derajat dengan pusat (a, b): (x,y) maka (-y + a + b, x -- a + b)

Rotasi 180 derajat dengan pusat (a,b) : (x,y) maka (-x -2a, -y +2b)

Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (a, b) : (x, y) maka (y -- b + a, -x + a + b)

Rotasi sebesar 90 derajat dengan pusat (0, 0) : (x, y) maka (-y,x)

Rotasi 180 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (-x, -y)

Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (y, -x)

Contoh soal transformasi geometri jenis rotasi

Sebuah titik A (3,2) dirotasikan terhadap titik O (0,0) sejauh 90 derajat searah dengan jarum jam. Tentukanlah bayangan dari titik A.

Jawab:

(x', y') = (cos90o sin 90o, --sin 90o cos 90o) (3,2)

(x', y') = (0 1 , -1 0) (3,2)

(x', y') = (-2,3)

1. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi atau pencerminan dalam transformasi geometri berarti perubahan dengan memindahkan titik dengan sifat dari suatu cermin datar. Ada dua sifat yang dimiliki dalam transformasi refleksi. Pertama adalah jarak titik ke cermin sama dengan jarak bayangan titik ke cermin. Kedua adalah geometri yang dicerminkan saling berhadapan satu sama lain. Contoh sederhana dari refleksi ini tentunya adalah ketika kita sedang bercermin.

Rumus umum dari refleksi antara lain:

Refleksi terhadap sumbu -x : (x,y) maka (x, -y)

Refleksi terhadap sumbu -y : (x,y) maka (-x, y)

Refleksi terhadap garis y = x : (x, y) maka (y, x)

Refleksi terhadap garis y = -x : (x, y) maka (-y, -x)

Refleksi terhadap garis x = h : (x, y) maka (2h, -x,y)

Refleksi terhadap garis y = K : (x. y) maka (x, 2k -- y)

Contoh soal transformasi geometri jenis refleksi

Tentukanlah koordinat bayangan dari titik A jika Titik A (4, -2) dicerminkan terhadap sumbu x.

Jawab:

A : (a,b) maka A' (a, -b)

Maka A (4, -2) maka A' (-4, -2)

1. Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi merupakan transformasi atau perubahan ukuran dari sebuah objek. Dalam dilatasi terdapat dua konsep, yaitu titik dan faktor dari dilatasi. Titik dari dilatasi menentukan posisi dari dilatasi. Titik ini menjadi tempat pertemuan dari semua garis lurus yang menghubungkan antara titik dalam suatu bangunan ke titik hasil dilatasi. Sedangkan faktor dilatasi adalah faktor perkalian dari suatu bangun yang sudah didilatasikan.

Contoh sederhana dari dilatasi adalah miniatur. Miniatur biasanya dalam bentuk mainan, seperti mobil-mobilan. Mainan merupakan pengecilan dari sebuah objek besar. Contoh lainnya adalah ketika kita mencetak sebuah foto. Foto tersebut bisa dicetak dengan ukuran-ukuran tertentu tetapi tidak mengubah bentuk dari foto tersebut, mulai dari 23, 34, sampai 46 fotonya tetap sama, hanya ukurannya yang berbeda.

Rumus umum dari dilatasi antara lain:

Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) maka (kx, ky)

Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) maka (kx = k(x-a) + a, (k(y-b) + b))

Contoh soal transformasi geometri jenis dilatasi

Titik A (2,4) akan didilatasikan sebesar tiga kali, dengan pusat yang berada di (-4,2), maka tentukanlah titik A

Jawab:

(x, y) = k(x-a) + a, K(y -- b) + b

(2, 4) = 6(2 -- (-4)) + (-4), 6(4 -- 2) + 2

(2, 4) = (32, 14)

Maka letak titik A dari (2, 4) dengan dilatasi (-4,2) adalah (32, 14)

Materi Ajar Pendukung

LKPD

Mengenal Jaring Jaring

Tujuan

Melalui pembelajaran menggunakan Lembar Kegiatan Peserta Didik ini, diharapkan peserta didik dapat mencapai:

1. Penemuan dan pemahaman konsep jaring -  jaring di kehidupan sehari hari.

Petunjuk Penggunaan

1. Baca LKPD dengan cermat dan teliti

2. Cari referensi dari buku paket atau buku perpustakaan untuk membantu menyelesaikan permasalahan dalam LKPD ini. 

3. Diskusikan permasalahan dalam LKPD ini dengan teman sebangku.

4. Selesaikan permasalahan yang diberikan dengan waktu seminggu kedepan. 

Pendukung

Jaring--jaring bangun ruang merupakan pembelahan sebuah bangun datar yang berkaitan dan jika digabungkan akan menjadi sebuah bangun ruang tertentu.

Menemukan Jaring Jaring di Kehidupan Sehari -  hari

Coba perhatikan lingkungan disekitar kalian, jika kalian sedang berada di dalam kelas coba lihat bukankah kalian sedang ada di dalam bangun ruang? Berbentuk apa bangun ruang tersebut? Setiap bangun ruang pasti memiliki jaring jaring. Jaring jaring adalah sisi penyusun suatu bangun itu. Berbeda dengan bangun datar yang hanya memiliki 1 bidang.  

Permasalahan 1

Bayangkan jika kalian ingin membuat dadu mainan sendiri menggunakan kertas karton. Bagaimana cara kalian untuk menyelesaikan keinginan tersebut? Apa yang pertama kali kalian lakukan jika ingin membuat dadu? Coba buatlah dadu anda sendiri!

Permasalahan 2

Sore ini kalian akan berkunjung ke acara ulang tahun teman. Kalian berpikir akan membawa sebuah barang untuk dibawa ke acara itu sebagai hadiah. Kotak hadiah berbentuk balok dengan ukuran panjang rusuk, 30 cm (panjang), 20 cm (lebar), dan 15 cm (tinggi). Berapa luas kertas kado minimal yang akan kalian gunakan untuk menutupi kotak hadiah tersebut?

INSTRUMEN PENILAIAN (dalam modul)

LEMBAR REFLEKSI (dalam modul)

LEMBAR OBSERVASI (dalam modul)