Pendahuluan
Bagi yang pernah belajar Ilmu Pengetahuan Alam khususnya Ilmu Fisika, ataupun listrik dan elektronika, pasti pernah mengenal istilah frekuensi. Meskipun istilah ini awalnya agak sulit dipahami, tetapi bagi orang yang bekerja di bidang perlistrikan dan elektronika, sudah menjadi hal yang tidak terpisahkan. Para siswa sekolah menengah juga berkenalan dengan istilah ini, meskipun penggunaannya sedikit berbeda. Penyajian frekuensi dihasilkan melalui proses transformasi Fourier. Di dalam bab-bab berikut ini kita mendiskusikan secara singkat mengenai transformasi ini.
Frekuensi
Sudah menjadi kebiasaan sebagian besar orang di Indonesia untuk mandi sekali setiap hari. Bagi banyak orang perkotaan, dikarenakan lebih banyak kesibukan dan perjalanan, mungkin dalam satu hari mandi 2 kali, di pagi dan sore hari. Dapat dikatakan bahwa kebiasaan mandi orang Indonesia dengan frekuensi 1 kali dalam sehari, atau 2 kali dalam sehari.
Jadi frekuensi adalah jumlah peristiwa yang terjadi dalam rentang atau periode waktu tertentu. Pada contoh mandi di atas, periode waktu yang digunakan adalah sehari atau harian. Orang bebas menentukan periode waktu yang digunakan, seperti harian, mingguan, bulanan, kuartal, tahunan, detik, dan seterusnya.
Di dalam bidang kelistrikan, frekuensi digunakan untuk menyebut jumlah siklus gelombang sinus untuk kembali ke posisi fase semula dalam rentang waktu satu detik. Gelombang sinus bersifat periodik, artinya memiliki pola sama, meskipun panjang atau periode, tinggi, dan fase gelombang bisa berbeda-beda.
Apabila dalam periode satu detik hanya terjadi satu siklus, berarti gelombang tersebut membutuhkan waktu satu detik untuk kembali ke fase semula. Gelombang sinus demikian disebut memiliki frekuensi 1. Bila dalam satu detik terjadi 2 siklus per detik (cycles per second, cps), berarti gelombang memiliki frekuensi 2 siklus per detik. Peristiwa satu siklus per detik ini disebut dengan satuan frekuensi 1 hertz. Bila dalam satu detik terjadi 1000 siklus, maka frekuensinya adalah 1 kilo hertz (1 khz).
Satuan hertz diambil dari nama seorang fisikawan Jerman peneliti elektromagnetik, Heinrich Rudolf Hertz, yang meninggal di usia 36 tahun pada tahun 1894. Penggunaan satuan hertz dimulai tahun 1930 oleh Komite Elektroteknik Internasional (IEC), dan ditetapkan sebagai salah satu satuan internasional pada tahun 1960.
Transformasi
Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) “transformasi” termasuk nomina (kata benda), artinya perubahan rupa (bentuk, sifat, fungsi, dan sebagainya). Sedang menurut kamus Merriam Webster, artinya perubahan variabel di mana fungsi variabel baru disubstitusikan untuk setiap variabel asli. Perubahan ini berlaku pula untuk perubahan koordinat dari asli ke yang baru.
Transformasi juga bisa dimaknai sebagai perubahan titik pandang atau sudut pandang atas objek tertentu. Contoh, sebuah objek bola apabila dilihat dari depan persis, berbentuk lingkaran, namun bila dilihat dari titik yang cukup jauh berubah menjadi titik saja. Sebuah objek sebuah gambar segi empat, apabila dilihat dari samping menjadi berbentuk garis saja.
Ada banyak transformasi, di antaranya diajarkan pada siswa-siswa di sekolah menengah, antara lain transformasi: geometri (translasi, rotasi, dilatasi, rotasi, refleksi), Laplace, Lorentz, Z, Fourier, dan sebagainya. Semua transformasi melibatkan formulasi matematika dari sederhana sampai dengan sangat rumit.
Sebagai contoh, sebuah bangun segi empat yang dikenakan operasi transformasi dilatasi, dengan cara masing-masing koordinat dikalikan dengan sebuah bilangan pengali terhadap titik pusatnya. Hasilnya adalah sebuah bangun segiempat lebih kecil atau lebih besar daripada aslinya tergantung pada faktor pengalinya.
Umumnya operasi transformasi dilakukan untuk mendapatkan bentuk atau cara pandang yang berbeda atas sebuah objek atau formasi tertentu.
Sejarah Transformasi Fourier
Cerita di belakang kesuksesan transformasi ini dimulai dari Jean-Baptiste Joseph Fourier, yaitu seorang matematikawan dan fisikawan Perancis. Semenjak muda dia, meskipun ia di sekolah militer dan belajar sastra, serta mencoba menjadi seorang imam, namun rupanya lebih menyenangi matematika. Dia sudah mengutak-atik deret berbasis pada kombinasi fungsi sinus dan cosinus untuk mencari solusi masalah tentang teori panas.
Pada tahun 1807 di usia 39-an tahun, di tengah profesinya sebagai pengajar di sebuah politeknik setelah kembali dari tugas militer di daerah Mesir, dia telah menyelesaikan makalah berkenaan dengan teori panas. Makalah tersebut sedianya akan disampaikan pada forum ilmiah di Paris Institut. Untuk itu sebuah tim reviu beranggotakan Lagrange, Laplace, Lacroix, dan Monge melakukan reviu atas makalah Fourier.
Sayang, tim reviu di atas menyimpulkan bahwa ide penguraian masalah persamaan matematika di dalam makalah tersebut, di mana penguraian menjadi berbentuk deret fungsi sinus dan cosinus, tidak bisa diterima. Dengan demikian makalah tidak layak atau ditolak untuk disampaikan di dalam forum ilmiah tersebut.
Pada tahun 1811, Fourier mengajukan kembali makalah sebelumnya, ditambah dengan beberapa makalah lain untuk mengikuti kompetisi berhadiah di bidang matematika. Meskipun makalah Fourier sempat mendapatkan hadiah, sayang tim peninjau sekali lagi tidak merekomendasikan bahwa makalah layak untuk diterbitkan.
Setelah ikut serta melaksanakan tugas pasukan di daerah Mesir di tengah pergolakan politik Perancis, dia kembali lagi ke Perancis. Singkat cerita, pada tahun 1822 Fourier terpilih menjadi Sekretaris Matematika pada Akademi Sains Perancis menggantikan D’Alembre yang meninggal dunia. Tanpa diketahui oleh Fourier, ternyata tim D’Alembre telah mempersiapkan menerbitkan makalah Fourier yang telah memenangkan hadiah sebelumnya yang pernah ditolak untuk diterbitkan sebelumnya.
Setelah makalah Fourier diterbitkan, Biot dan Poisson tetap mempertanyakan keabsahan uraian persamaan matematika sebelumnya. Mereka mengklaim bahwa sangat sulit membuktikan keabsahan penguraian persamaan tersebut. Masalah ini tetap menjadi kontroversi selama lebih dari 150 tahun, bagaimana mungkin sembarang bentuk sinyal bisa diuraikan menjadi deret fungsi sinus dan cosinus. Seandainya benar, para penentang mempertanyakan bagaimana cara menghitungnya sebab di dalamnya melibatkan persamaan rumit yang sangat panjang.
Pada tahun 1965, JW Cooley dari IBM bersama John Tukey dari Universitas Princeton menerbitkan makalah yang mengusulkan algoritma Transformasi Fourier Cepat (Fast Fourier Transform, FFT). FFT bekerja pada ranah diskret, bukan pada fungsi kontinu seperti ide dari Fourier. Namun dengan modifikasi fungsi deret tersebut ke ranah digital, ternyata bisa diaplikasikan untuk menghitung transformasi yang diusulkan Fourier lebih dari 150 tahun sebelumnya. FFT ini dapat diaplikasikan karena telah tersedia komputer digital yang mampu melakukan perhitungan rumit dengan sangat cepat.
Dengan menggunakan FFT maka transformasi atau perubahan sinyal dari ranah waktu (waveform) ke ranah frekuensi menjadi sangat cepat. Peralatan Osiloskop merupakan salah satu implementasi dari FFT ini dan menjadi alat standar bagi berbagai pekerjaan elektronik.
Deret dan Transformasi Fourier
Suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi deret fungsi sinus dan cosinus dengan amplitudo dan periode gelombang yang berbeda. Fungsi sinus dan cosinus itu sendiri merupakan fungsi periodik. Jadi suatu fungsi periodik merupakan superposisi (penjumlahan) dari kedua jenis fungsi ini. Pembentuk fungsi periodik berupa rangkaian fungsi sinus dan sinus ini belakangan disebut sebagai Deret Fourier.
Sebuah fungsi sinus dengan suatu periode (T) dan tinggi (A) gelombang tertentu, dapat ditransformasi pada ranah frekuensi menjadi sebuah garis pada dengan ketinggian sama dengan tinggi (A) gelombang sinus, dan pada frekuensi sama dengan seper periode (1/T).
Fourier di dalam makalahnya menjabarkan tidak saja fungsi periodik, tetapi sebarang fungsi dapat diuraikan ke dalam bentuk deret fungsi sinus dan cosinus dengan amplitudo dan periode (atau frekuensi) yang berbeda. Pernyataan ini di awal sangat sulit dibuktikan karena tidak tersedia bantuan peralatan yang sanggup menghitung secara cepat. Perubahan dari ranah waktu bagi sebarang bentuk sinyal ke ranah atau spektrum frekuensi inilah kemudian yang disebut dengan Transformasi Fourier.
Dengan menggunakan persamaan Euler, fungsi sin dan cos dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial bilangan kompleks. Antara fungsi ranah waktu dan frekuensi dalam bentuk saling berpasangan.
Dengan menggambarkan plot amplitudo pada ranah frekuensi akan terlihat lebih jelas spektrum frekuensi penyusun dari sebuah gelombang. Manipulasi dapat dilakukan pada ranah frekuensi, misalnya dengan menghilangkan beberapa frekuensi tertentu. Selanjutnya dari ranah frekuensi dapat dikembalikan lagi ke ranah waktu untuk mendapatkan kembali informasi semula.
Pada saat ini aplikasi dari Transformasi Fourier dengan menerapkan FFT dapat ditemukan pada teknologi telekomunikasi memberikan kecepatan transmisi data. Contoh aplikasi lain adalah di dalam pengolahan citra (image processing) untuk restorasi atau manipulasi gambar.
Penutup
Transformasi Fourier menjadi salah satu contoh dari sebuah penemuan yang membutuhkan waktu yang sangat panjang dari awal usulan sampai dengan pemanfaatannya. Pada awal pengusulan penemuan yang menimbulkan kontroversi meski di kalangan para ahli sekalipun. Ini sekadar memberikan contoh, bahwa beberapa penemuan di bidang ilmu pengetahuan bisa jadi mendahului zamannya, sekalipun juga terjadi di tengah pergolakan politik negara, dalam hal ini di Perancis.
Berbagai penemuan di dunia sains saling berkait satu dengan yang lain sedemikian rupa pada akhirnya memberikan manfaat bagi umat manusia. Masih banyak hal membutuhkan penelitian dan pemikiran para ahli untuk dapat mengungkap berbagai misteri dan fenomena serta rekayasa di berbagai bidang.
