Sebagai contoh, sebuah bangun segi empat yang dikenakan operasi transformasi dilatasi, dengan cara masing-masing koordinat dikalikan dengan sebuah bilangan pengali terhadap titik pusatnya. Hasilnya adalah sebuah bangun segiempat lebih kecil atau lebih besar daripada aslinya tergantung pada faktor pengalinya.
Umumnya operasi transformasi dilakukan untuk mendapatkan bentuk atau cara pandang yang berbeda atas sebuah objek atau formasi tertentu.
Sejarah Transformasi Fourier
Cerita di belakang kesuksesan transformasi ini dimulai dari Jean-Baptiste Joseph Fourier, yaitu seorang matematikawan dan fisikawan Perancis. Semenjak muda dia, meskipun ia di sekolah militer dan belajar sastra, serta mencoba menjadi seorang imam, namun rupanya lebih menyenangi matematika. Dia sudah mengutak-atik deret berbasis pada kombinasi fungsi sinus dan cosinus untuk mencari solusi masalah tentang teori panas.
Pada tahun 1807 di usia 39-an tahun, di tengah profesinya sebagai pengajar di sebuah politeknik setelah kembali dari tugas militer di daerah Mesir, dia telah menyelesaikan makalah berkenaan dengan teori panas. Makalah tersebut sedianya akan disampaikan pada forum ilmiah di Paris Institut. Untuk itu sebuah tim reviu beranggotakan Lagrange, Laplace, Lacroix, dan Monge melakukan reviu atas makalah Fourier.
Sayang, tim reviu di atas menyimpulkan bahwa ide penguraian masalah persamaan matematika di dalam makalah tersebut, di mana penguraian menjadi berbentuk deret fungsi sinus dan cosinus, tidak bisa diterima. Dengan demikian makalah tidak layak atau ditolak untuk disampaikan di dalam forum ilmiah tersebut.
Pada tahun 1811, Fourier mengajukan kembali makalah sebelumnya, ditambah dengan beberapa makalah lain untuk mengikuti kompetisi berhadiah di bidang matematika. Meskipun makalah Fourier sempat mendapatkan hadiah, sayang tim peninjau sekali lagi tidak merekomendasikan bahwa makalah layak untuk diterbitkan.
Setelah ikut serta melaksanakan tugas pasukan di daerah Mesir di tengah pergolakan politik Perancis, dia kembali lagi ke Perancis. Singkat cerita, pada tahun 1822 Fourier terpilih menjadi Sekretaris Matematika pada Akademi Sains Perancis menggantikan D’Alembre yang meninggal dunia. Tanpa diketahui oleh Fourier, ternyata tim D’Alembre telah mempersiapkan menerbitkan makalah Fourier yang telah memenangkan hadiah sebelumnya yang pernah ditolak untuk diterbitkan sebelumnya.
Setelah makalah Fourier diterbitkan, Biot dan Poisson tetap mempertanyakan keabsahan uraian persamaan matematika sebelumnya. Mereka mengklaim bahwa sangat sulit membuktikan keabsahan penguraian persamaan tersebut. Masalah ini tetap menjadi kontroversi selama lebih dari 150 tahun, bagaimana mungkin sembarang bentuk sinyal bisa diuraikan menjadi deret fungsi sinus dan cosinus. Seandainya benar, para penentang mempertanyakan bagaimana cara menghitungnya sebab di dalamnya melibatkan persamaan rumit yang sangat panjang.
Pada tahun 1965, JW Cooley dari IBM bersama John Tukey dari Universitas Princeton menerbitkan makalah yang mengusulkan algoritma Transformasi Fourier Cepat (Fast Fourier Transform, FFT). FFT bekerja pada ranah diskret, bukan pada fungsi kontinu seperti ide dari Fourier. Namun dengan modifikasi fungsi deret tersebut ke ranah digital, ternyata bisa diaplikasikan untuk menghitung transformasi yang diusulkan Fourier lebih dari 150 tahun sebelumnya. FFT ini dapat diaplikasikan karena telah tersedia komputer digital yang mampu melakukan perhitungan rumit dengan sangat cepat.
Dengan menggunakan FFT maka transformasi atau perubahan sinyal dari ranah waktu (waveform) ke ranah frekuensi menjadi sangat cepat. Peralatan Osiloskop merupakan salah satu implementasi dari FFT ini dan menjadi alat standar bagi berbagai pekerjaan elektronik.
Deret dan Transformasi Fourier
Suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi deret fungsi sinus dan cosinus dengan amplitudo dan periode gelombang yang berbeda. Fungsi sinus dan cosinus itu sendiri merupakan fungsi periodik. Jadi suatu fungsi periodik merupakan superposisi (penjumlahan) dari kedua jenis fungsi ini. Pembentuk fungsi periodik berupa rangkaian fungsi sinus dan sinus ini belakangan disebut sebagai Deret Fourier.
