|()| berarti bahwa f(x) berada di luar atau tepat pada batas interval tersebut: () ()
Metode penyelesaian umum
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak, bagilah pertidaksamaan tersebut menjadi dua pertidaksamaan terpisah (J. H. Putri et al., 2023). Berikut adalah metode umum untuk semua jenis pertidaksamaan:
1.
Pertidaksamaan |()|< :
<()< , Pisahkan menjadi dua pertidaksamaan, dan selesaikan masing-masing.
2.
Pertidaksamaan |()| :
() , Sama seperti di atas, pecahkan menjadi dua pertidaksamaan.
3.
Pertidaksamaan |()|> :
()> ()< , Ini berarti f(x) berada di luar interval tersebut. Pecahkan menjadi dua pertidaksamaan yang masing-masing menunjukkan dua arah.
4.
Pertidaksamaan |()| :
() () , Sama dengan di atas, pecahkan menjadi dua pertidaksamaan.
Contoh soal dan pembahasan
Contoh 1: Selesaikan pertidaksamaan |3|<5
Pembahasan:
1.
Berdasarkan definisi, |3|<5 dapat dipecah menjadi:
5<3<5
2.
Tambahkan 3 ke setiap bagian untuk menyelesaikan:
5+3<<5+3 2<<8
Jadi, solusi pertidaksamaan ini adalah (2,8).
Contoh 2: Selesaikan pertidaksamaan |2+1|7.
Pembahasan:
1.
Berdasarkan definisi, |2+1|7 dapat dipecah menjadi dua kasus:
2+17 2+17
2.
Kasus 1:
2+17 26 3
3.
Kasus 2:
2+17
28
4
Jadi, solusi pertidaksamaan ini adalah 4 atau 3, atau ditulis dalam bentuk interval (,4][3,).
Interpretasi geometri pertidaksamaan nilai mutlak
Pertidaksamaan nilai mutlak dapat diinterpretasikan secara geometris pada garis bilangan atau bidang koordinat (E. S. Putri et al., 2021). Misalnya:
1.
Pertidaksamaan |3|<5:
o
Ini menggambarkan bahwa x berada dalam interval terbuka dari 2 hingga 8, atau jarak x dari titik 3 kurang dari 5.
o
Secara geometris, ini merepresentasikan interval pada garis bilangan dari 2 ke 8.
2.
Pertidaksamaan |3|5:
o
Ini menggambarkan bahwa x berada di luar interval dari 2 hingga 8, atau jarak x dari titik 3 adalah minimal 5.
o
Secara geometris, solusi ini berupa dua bagian garis bilangan yang terpisah: satu di sebelah kiri 2 dan satu di sebelah kanan 8.
3.
Pertidaksamaan dua variabel, seperti ||<4:
o
Ini menggambarkan bahwa jarak antara x dan y kurang dari 4.
o
Jika digambarkan di bidang koordinat, ini akan membentuk area di antara dua garis sejajar: =4 =4.
Interpretasi geometris ini membantu memahami bagaimana pertidaksamaan nilai mutlak menggambarkan interval atau wilayah dalam ruang yang ditentukan oleh batas tertentu (Rahmasari et al., 2019).
Penerapan dalam Masalah Nyata
Contoh Soal Cerita yang Melibatkan Nilai Mutlak
Seorang pelari berlari bolak-balik di jalur lurus yang membentang dari titik A ke titik B sepanjang 10 km. Setelah berlari sekian waktu, ia berada pada jarak tertentu dari titik A. Jika diketahui bahwa posisi pelari tersebut berada pada jarak 3 km dari titik tengah antara A dan B, tentukan dua kemungkinan posisi pelari tersebut dari titik A.
Langkah-Langkah dalam Menyelesaikan Masalah
1.
Identifikasi Titik-Titik Penting dan Variabel yang Diberikan:
o
Titik A adalah titik awal pelari, dan titik B adalah tujuan pelari.
o
Panjang jalur antara A dan B adalah 10 km.
o
Posisi tengah antara A dan B adalah 102=5 km dari A.
2.
Definisikan Variabel yang Akan Dicari:
o
Misalkan x adalah jarak pelari dari titik A.
o
Karena posisi pelari berjarak 3 km dari titik tengah (5 km), kita dapat Menyusun pertidaksamaan nilai mutlak untuk mewakili posisi pelari.
3.
Menyusun Persamaan Nilai Mutlak Berdasarkan Informasi:
o
Posisi pelari berjarak 3 km dari titik 5 km. Ini berarti: |5|=3.
4.
Pisahkan Persamaan Nilai Mutlak Menjadi Dua Kasus:
o
Kasus 1: 5=3
=3+5=8
o
Kasus 2: 5=3
=3+5=2
5.
Tentukan Solusi:
o
Dua kemungkinan posisi pelari dari titik A adalah pada jarak 2 km atau 8 km.
6.
Verifikasi Jawaban:
o
Pada jarak 2 km dari titik A, pelari memang berjarak |25|=3 km dari titik tengah.
o
Pada jarak 8 km dari titik A, pelari juga berjarak |85|=3 km dari titik tengah.
Jadi, dua kemungkinan posisi pelari dari titik A adalah 2 km atau 8 km.
Ringkasan Langkah-Langkah Penyelesaian:
1.
Identifikasi dan definisikan variabel serta titik-titik penting.
2.
Susun persamaan atau pertidaksamaan nilai mutlak berdasarkan informasi masalah.
3.
Pisahkan persamaan atau pertidaksamaan nilai mutlak menjadi dua kasus.
4.
Selesaikan masing-masing kasus untuk menemukan nilai variabel.
5.
Verifikasi jawaban dengan memasukkan kembali nilai-nilai yang diperoleh ke dalam konteks masalah untuk memastikan hasilnya benar.
Dengan langkah-langkah ini, kita dapat menyelesaikan soal cerita yang melibatkan nilai mutlak dengan cara yang terstruktur dan jelas (J. H. Putri et al., 2023).
KESIMPULAN
Definisi Nilai Mutlak:
*
Nilai mutlak dari sebuah bilangan x, yang ditulis sebagai x, adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan, tanpa memandang arah (Gustiana, n.d.).
*
Untuk ekspresi |()|= ( 0), nilai mutlak. Berarti kita mempertimbangkan dua kemungkinan ()= ()=.
Persamaan Nilai Mutlak:
1.
Persamaan |()|= dipecah menjadi dua kasus:
a.
Kasus 1: ()=
b.
Kasus 2: ()=
2.
Masing-masing kasus diselesaikan secara terpisah.
Pertidaksamaan Nilai Mutlak:
*
Pertidaksamaan nilai mutlak, seperti|()|< |()|>, juga dipecah menjadi dua kasus:
o
Untuk|()|<: pecahkan menjadi <()<.
o
Untuk |()|>: pecahkan menjadi ()> ()<.
*
Langkah ini memungkinkan kita untuk menemukan interval atau area yang memenuhi syarat (Widyaningsih, 2019).
