Belajar Mudah dengan Operasi Hitung Bilangan dengan Garis Bilangan

Serang, 1 Desember 2024

Oleh: Anggi Rahmani, Patra Aghtiar Rakhman, Yanti Mulyani, Wasian Fauzi Nugroho, Siti Musawamah, Raihan Hasna Fauzia

A. Mengenal Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah, bilangan-bilangan bulat positif (bilangan-bilangan asli) yaitu 1, 2, 3.4... bilangan-bilangan bulat negatif yaitu... -4, -3, -2, -1 dan bilangan nol (0), yaitu bilangan yang tidak positif dan tidak pula negatif (netral). Bilangan bulat merupakan jenis bilangan yang tidak memiliki pecahan atau desimal. Secara sederhana, bilangan bulat merupakan angka-angka utuh, baik itu positif, negatif, maupun nol.

B. Operasi Hitung pada Bilangan Bulat

Bilangan bulat dapat dioperasikan dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Ada aturan khusus dalam melakukan operasi hitung pada bilangan bulat, terutama yang melibatkan bilangan negatif.

 
 1. Operasi penjumlahan  

Dalam penjumlahan bilangan bulat sama seperti penjumlahan pada bilangan asli dan bilangan cacah, yaitu dengan menggunakan tanda tambah atau plus dengan notasi (+)

Operasi penjumlahan pada bilangan bulat adalah salah satu operasi dasar dalam matematika.

Adapun beberapa Aturan Penjumlahan Bilangan Bulat

a) Bilangan Bulat Positif Ditambah Bilangan Bulat Positif

Hasilnya adalah bilangan bulat positif.

Contoh: 5 + 2 = 7

(Sumber: Karso, M., dkk. 2008. Pendidikan Matematika. Jakarta: Universitas terbuka)

Dalam garis bilangan dapat dihitung angkah Dari titik 0 melangkah ke kanan (maju) sebanyak 5 langkah (satuan) dilanjutkan dengan melangkah ke kanan(maju) sebanyak 2 langkah (satuan), dan hasilnya dapat dilihat pada garis bilangan, yaitu 5 + 2 = 7.

b) Bilangan Bulat Negatif Ditambah Bilangan Bulat Negatif

Hasilnya adalah bilangan bulat negatif

Contoh: -5 + (-3) = -8

(Sumber: Karso, M., dkk. 2008. Pendidikan Matematika. Jakarta: Universitas terbuka)

Dari titik 0 bergeser ke kiri sebanyak 5, dilanjutkan bergeser ke kiri lagi sebanyak 3. Dari contoh ini terlihat bahwa penjumlahan dengan bilangan bulat negatif sama saja dengan pengurangan lawannya. Jadi, -5+ (-3) = -8

 

c) bilangan bulat negatif ditambah bilangan bulat positif

contoh : -2 + 3 = 1

(Sumber: Canva)

Dari titik 0 bergeser ke kiri sebanyak 2, dilanjutkan bergeser ke kanan sebanyak 3. Dari contoh ini terlihat bahwa penjumlahan dengan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif Jadi, -2 + 3 = 1

 

2. Operasi Pengurangan  

Pada operasi Pengurangan ini merupakan kebalikan dari operasi penjumlahan, tanda kurang atau selisih atau minus dengan notasi (-).

Beberapa contoh pengurangan bilangan bulat

 

a) Bilangan positif dikurangi (-) bilangan positif  

2 -3 = -1

Dari titik 0 bergeser ke kanan 2 satuan, dilanjutkan dengan bergeser ke kiri sebanyak 3 satuan dan hasilnya menunjukkan titik -3. Atau dapat pula diperagakan seperti berikut ini.

(Sumber: Edit pribadi via Canva)

b) Bilangan negatif dikurangi (-) bilangan negatif  

-2 -- (-3) = 1

Mengurangi -2 oleh -3 sama artinya menambah -2 dengan 3 lawan dari -3. Jadi, -2 - (-3) = -2 + 3 = 1, sehingga hasilnya 1. Atau seperti Gambar berikut.

(Sumber: Canva)

c) bilangan negatif dikurangi (-) bilangan positif  

-2 -- 3 = n

Dari titik 0 bergeser ke kiri sebanyak 2 satuan dilanjutkan bergeser ke kiri lagi sebanyak 3 satuan dan hasilnya menunjukkan titik -5

(Sumber: Edit pribadi via Canva)

3. Perkalian  

Ada beberapa strategi pengajaran alternatif yang membantu siswa sekolah dasar memahami konsep dengan lebih mudah. Pembelajaran perkalian bilangan bulat dapat dilakukan bertahap, yaitu sebagai berikut;

 

a) Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif (pp)

Mengingat bilangan-bilangan bulat positif adalah bilangan asli dan setiap bilangan asli adalah bilangan cacah.

 

b) Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif (pn) Sebagai apersepsi, siswa diajak melihat kembali pengertian  perkalian yang telah dipelajarinya pada (p p), yaitu bahwa perkalian adalah penjumlahan bilangan yang sama secara berulang.

Misalnya 5 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 Mulai dari sinilah kita akan menunjukkan ke pada para siswa tentang perkalian dua bilangan yang dimaksud (p x n), misalnya 4 x (-2). Seperti halnya pada perkalian (p p) bahwa perkalian adalah Penjumlahan berulang sehingga 4 (- 2) = (- 2) + (- 2) + (- 2) + (- 2) = - 8. Kegiatan yang sama dapat dilakukan oleh para siswa untuk bentukbentuk seperti 3 x (-7), 5 x (-5), 6 x (-3), dan sebagainya.

Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif (p n) dapat pula dijelaskan dengan peragaan garis bilangan yaitu mulai dari titik 0 bergeser ke kiri (mundur) sebab negatif sebanyak 4 langkah dan tiap langkahnya adalah 2 satuan (2 kotak) sehingga menunjukkan titik -8. Jadi, 4 (- 2) = - 8.

 

c) Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif (n p)

Untuk memperjelas pemahaman perkalian (n p) dengan cara penjumlahan berulang dan peragaan garis bilangan mengalami banyak kesulitan. Namun demikian kita bisa menjelaskannya dengan menggunakan pola, misalnya diberikan contoh seperti berikut.

Berkurang 1 3 3 = 9 berkurang 3

Berkurang 1 2 3 = 6 berkurang 3

Berkurang 1 1 3 = 3 berkurang 3

Berkurang 10 3 = 0 tentu hasilnya

-1 3 = ...(-3)

-2 3 = ... (-6)

-3 3 = ... (-9).

Dari data di atas dapat dilakukan, bahwa bilangan yang dikalikan dari 3 turun satu-satu sedangkan hasil kalinya turun tiga-tiga. Karena perkaliannya dari 0 turun satu menjadi -1 maka hasil kalinya dari 0 turun ke -3, dan seterusnya. Kesimpulannya -a b = -(a b), yaitu bilangan negatif kali bilangan positif hasilnya adalah bilangan negatif.

Selanjutnya dari (3) (p n) dan (4) (n p) dapat disimpulkan bahwa a -b = -a b = -(a b).

 

d) Perkalian bilangan bulat negatif kali bilangan negatif (n n)

Dalam pembelajaran perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif (n n) dapat pula dilakukan dengan menggunakan analogi atau pola perkalian berikut ini.

1. 3 (-5) =(-15)

2. (-5) 2 =  (-10)

3. (-1) (-5) = (5)

bilangan negatif kali bilangan negatif hasilnya adalah bilangan positif.

 

4. pembagian

Alternatif pembelajarannya dibantu oleh perkalian dengan sifat pertukarannya. Sebagaimana kita ketahui dalam perkalian dan pembagian bilangan- bilangan cacah, bahwa perkalian 4 3 = 12 dalam pembagian dapat dinyatakan dalam bentuk 12 : 4 = 3 atau 12 : 3 = 4 dan sebaliknya. Bertitik tolak dari pengetahuan prasyarat sebagai apersepsi ini.

Karena 2 3 = 6

2 (-3) = -6

-2 3 = -6

-2 -3 = 6

Maka 6 : 2 = 3

 

-6 : 2 = -3

-6 : -2 = 3

6 : -2 = 3

Atau 6 : 3 = 2

 

-6 : 3 = 2

-6 : 3 = -2

6 : -3 = -2
 

Karena . = -15

. = -15

. = 15

. = 15

Maka -15 : 3 =

 

-15 : 5 =

15 : -3 =

15 : -5 =

Atau -15 : 5 = .

 

-15 : 3 = .

15 : -5 = .

15 : -3 = .

   

 

a. Berapakah I5 : 0?

Misalkan 15 : 0 = n maka n 0 = 15 atau 0 n = 15  

Apakah ada harga n yang apabila dikalikan dengan 0 menghasilkan 15? Ternyata tidak ada harga n yang jika dikalikan dengan 0 menghasilkan 15.

Kegiatan yang sama dapat diulang lagi dengan membagi bilangan-bilangan lainnya oleh nol, misalnya -30 : 0, 24 : 0, - 27 : 0, dan sebagainya. Kegiatan selanjutnya siswa diajak berdialog tentang pembagian 0 oleh 0, seperti berikut.

 

b. Berapakah 0 : 0?

Misalkan 0 : 0 = a maka a 0 = 0 atau 0 a = 0.

Apakah ada harga a yang jika dikalikan dengan 0 menghasilkan 0?  

Ternyata banyak sekali pengganti a dan setiap pengganti a jika dikalikan dengan 0 menghasilkan 0.

C. Media Pembelajaran

(Sumber: Pinterest)

Garis bilangan sebagai media ajar adalah alat bantu pembelajaran yang dirancang untuk membantu siswa memahami konsep operasi bilangan secara konkret dan menyenangkan. Media ini dibuat dari bahan sederhana seperti kardus atau karton, dengan desain menyerupai jalan raya. Pada media ini, terdapat angka-angka yang berurutan membentuk garis bilangan, misalnya dari 1 hingga 10, yang melambangkan urutan bilangan. Dilengkapi dengan mobil mainan kecil atau benda serupa, media ini membuat proses belajar menjadi lebih interaktif dan relevan dengan kehidupan sehari-hari anak.

Fungsi utama dari media garis bilangan ini adalah untuk mempermudah siswa memahami operasi matematika dasar, seperti penjumlahan dan pengurangan. Dengan bentuk visual yang konkret, siswa dapat melihat langsung proses perubahan angka dengan memindahkan mobil pada garis bilangan. Selain itu, media ini membantu meningkatkan minat belajar anak karena tampilannya yang menarik dan kreatif. Mobil yang dapat digeser menyerupai kendaraan di jalan raya menciptakan suasana belajar yang menyenangkan dan menghubungkan konsep matematika dengan kehidupan nyata, sehingga lebih mudah dipahami.

Penggunaannya sangat sederhana. Misalnya, dalam operasi penjumlahan, siswa memulai dari angka pertama, seperti 3, lalu menggerakkan mobil ke depan sebanyak angka yang ingin ditambahkan, misalnya 4. Mobil kemudian berhenti di angka 7, yang merupakan hasil dari operasi 3 + 4. Begitu pula dengan pengurangan, siswa memulai dari angka awal, misalnya 9, lalu menggeser mobil ke belakang sesuai angka yang dikurangkan, misalnya 5. Mobil akan berhenti di angka 4, yang merupakan hasil dari 9 - 5.

Dengan penggunaan yang mudah dan fleksibel, media ini juga dapat dikembangkan untuk operasi matematika yang lebih kompleks, seperti pencampuran penjumlahan dan pengurangan, atau bahkan untuk mengenalkan konsep bilangan negatif. 

Contoh Soal:

1.  Rina berjalan 5 langkah ke depan, lalu mundur 3 langkah. Di mana posisi Rina sekarang dibandingkan dengan posisi awal? Gambarkan di garis bilangan!

Jawaban:
Mulai dari angka 0 (posisi awal), maju 5 langkah (ke depan), menjadi 5.
Lalu, mundur 3 langkah (ke belakang), menjadi 5 - 3 = 2.
Jadi, posisi Rina sekarang berada di angka 2.

2. ibu berjalan 5 meter ke arah barat untuk menuju warung kemudian ibu berjalan lagi ke arah yang sama sejauh 7 meter untuk menuju posyandu, berapakah jarak yang ibu tempuh?

Jawaban :
Posisi awal (0), 5 meter ke arah barat (5), lalu 7 meter ke arah barat menjadi (12).
Jadi jarak yang ibu tempuh sejauh 12 meter