Muhammad Umar Wibowo (1202050076)
UIN Sunan Gunung Djati Bandung
2023
Kita tahu bahwa bilangan prima, yaitu bilangan bulat positif yang hanya dapat dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri, sebagai contoh, bilangan 11 merupakan bilangan prima karena faktor-faktornya adalah 1 dan 11, sedangkan bilangan 9 bukan bilangan prima karena faktor-faktornya adalah 1, Â 3, dan 9. Bilangan prima selalu menjadi topik perhatian menarik bagi para matematikawan. Namun, apakah ada batasan pada kemungkinan bilangan prima yang dapat ditemukan?
Euclid, seorang matematikawan Yunani kuno yang hidup sekitar 300 tahun sebelum Masehi, memulai sebuah kajian penting tentang bilangan prima dalam karyanya yang berjudul "The Element". Dalam bukunya, ia membuat pernyataan yang menarik tentang sifat tidak berhinggaan bilangan prima, yang kemudian dibuktikan dengan menggunakan Teorema Fundamental Aritmatika. Hal ini menunjukkan bahwa Euclid memiliki pemahaman yang mendalam tentang teori bilangan, dan ia menjadi salah satu tokoh penting dalam sejarah matematika. Euclid telah membuktikan dengan menggunakan metode kontradiksi bahwa jumlah bilangan prima (bilangan yang hanya dapat dibagi dengan satu dan dirinya sendiri) tidak terbatas. Dengan kata lain, tidak ada batasan pada berapa banyak bilangan prima yang dapat ditemukan. Oleh karena itu, secara teori, pencarian bilangan prima terbesar akan terus berlanjut tanpa akhir.
Pada tahun 1859, seorang matematikawan bernama Bernhard Riemann mengemukakan hipotesis yang terkenal tentang bilangan prima yang belum dapat dibuktikan secara matematis. Hipotesis Riemann menyatakan bahwa terdapat pola yang tersembunyi dalam distribusi bilangan prima. Secara spesifik, hipotesis tersebut menyatakan bahwa jika P(x) adalah fungsi yang memberikan jumlah bilangan prima yang lebih kecil dari x, maka P(x) sekitar sama dengan fungsi matematika lain yang dikenal sebagai fungsi Riemann zeta.
Fungsi Riemann zeta adalah fungsi yang sangat kompleks, dan para matematikawan telah berusaha untuk memahami sifat-sifatnya selama berabad-abad. Hipotesis Riemann menyatakan bahwa pola dalam distribusi bilangan prima terkait erat dengan sifat-sifat fungsi Riemann zeta.
Alasan mengapa hipotesis Riemann begitu penting adalah karena jika hipotesis ini dapat dibuktikan secara matematis, maka akan memberikan batasan yang sangat kuat terhadap bilangan prima. Dalam hal ini, batasan tersebut adalah yang terbesar yang pernah ditemukan dalam matematika.
Namun, hingga saat ini hipotesis Riemann masih belum terbukti. Meskipun banyak matematikawan yang telah berusaha untuk membuktikan hipotesis ini selama lebih dari satu abad, mereka belum berhasil memecahkan teka-teki yang menyelimuti bilangan prima dan fungsi Riemann zeta. Banyak penelitian dan studi yang dilakukan dalam upaya untuk memahami sifat-sifat bilangan prima dan fungsi Riemann zeta, dan para matematikawan terus mencari bukti yang dapat membantu mereka memecahkan teka-teki ini.
Meskipun Euclid membuktikan bahwa jumlah bilangan prima tak terbatas secara teoretis, pada kenyataannya, manusia dapat menemukan bilangan prima terbesar yang sudah diketahui hingga September 2021. Bilangan prima terbesar yang saat ini diketahui adalah , sebuah bilangan dengan 24,862,048 digit ketika ditulis dalam basis desimal. Bilangan ini ditemukan melalui komputer yang disumbangkan secara sukarela oleh Patrick Laroche dari Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) pada tahun 2018. Namun, dalam teori, masih ada kemungkinan untuk menemukan bilangan prima yang lebih besar lagi di masa depan.
GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) didirikan oleh George Woltman pada tahun 1996 sebagai sebuah proyek kolaborasi untuk mencari bilangan prima Mersenne menggunakan software Prime95 (untuk Windows dan MacOS) atau Mprime (untuk Linux). Tujuannya adalah untuk mencapai sebuah prestasi sejarah baru dalam pencarian bilangan prima Mersenne. Bilangan prima Mersenne adalah bilangan prima yang dapat dituliskan dalam bentuk , di mana n adalah bilangan bulat positif. Pencarian bilangan prima Mersenne adalah salah satu tantangan paling menarik dalam matematika, dan GIMPS telah memainkan peran penting dalam menemukan bilangan prima Mersenne terbesar yang diketahui saat ini.
Bilangan prima Mersenne dinamai dari Marin Mersenne, seorang imam, matematikawan, dan filsuf Prancis yang mempelajari bilangan ini pada tahun 1640. Mersenne merumuskan bahwa bilangan prima Mersenne dapat ditulis dalam bentuk , di mana p adalah bilangan prima. Konjektur Goldbach, yang dirumuskan oleh Christian Goldbach dalam sebuah surat kepada Leonhard Euler pada tahun 1742, menyatakan bahwa setiap bilangan genap dapat ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima. Konjektur ini masih menjadi masalah terbuka dalam matematika hingga saat ini, meskipun telah terbukti untuk semua bilangan genap yang lebih besar dari 4.
Konjektur Alhazen, yang kini dikenal sebagai Teorema Euklides-Euler, menyatakan bahwa semua bilangan sempurna genap dapat dinyatakan sebagai jumlah dari beberapa bilangan prima Mersenne. Leonhard Euler membuktikan teorema ini pada abad ke-18. Sebuah bilangan sempurna adalah bilangan yang sama dengan jumlah faktor-faktor positifnya yang kurang dari bilangan itu sendiri. Bilangan sempurna genap adalah bilangan sempurna yang merupakan bilangan genap. Teorema Euklides-Euler telah membuka jalan bagi penemuan lebih banyak bilangan sempurna genap, dan masih menjadi subjek penelitian matematika hingga saat ini.
Melihat keambisiusan dari proyek GIMPS dan banyak proyek kolaboratif lainnya dapat dipastikan bahwa mungkin suatu saat nanti akan ada bilangan prima terbesar yang akan ditemukan lagi dan juga hipotesis Riemann juga akan dapat dibuktikan secara matematis di masa depan nanti, dan batasan terbesar mengenai bilangan prima akan terungkap suatu saat nanti.
Referensi
Akeyla, P. N. (2020). Teori Bilangan Di Balik Gimps: Misi Mencari Bilangan Prima Mersenne Terbesar Yang Diketahui. Institut Teknologi Bandung.
Derbyshire, J. (2004). Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. Joseph Henry Press.
Granville, A. (2002). Prime Numbers and the Riemann Hypothesis. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Beijing, China.
Hardy, G. H., & Wright, E. M. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press.
Koshy, Thomas (2002). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. hlm. 369. ISBN 978-0-12-421171-1.
Largest Known Prime Number: 282,589,933-1. Mersenne Research, Inc. 21 December 2018. Diakses tanggal 7 April 2023.
Riemann, B. (1892). On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude. In Gesammelte Werke (pp. 145-154). Dover Publications.
Santoso, M. A. B. (2013). Ketakberhinggaan Bilangan Prima (Doctoral Dissertation, Universitas Airlangga).
Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-3rd). Springer. hlm. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8.
Yuan, Wang (2002). Goldbach Conjecture. Series In Pure Mathematics. 4 (edisi ke-2nd). World Scientific. hlm. 21. ISBN 978-981-4487-52-8.
