Pengertian, Istilah, Sifat-sifat, dan Contoh dari Keterbagian

Pengertian, Istilah, Sifat-sifat, dan Contoh Dari Keterbagian

1. Pengertian

Dokpri

Bilangan bulat a membagi (habis) bilangan bulat b ditulis a|b , jika hanya jika ada bilangan bulat k sedemikian sehingga b=ka. Jika a tidak membagi (habis) b maka ditulis a|b.

Contohnya

1. 5|30 sebab ada bilangan bulat 6, sedemikian sehingga 6 x 5 = 30
2. 7|-21 sebab ada bilangan bulat -3, sedemikian sehingga -3 x 7=-21
3. 8|27 sebab tidak ada bilangan bulat k, sedemikian sehingga k x 8 = 27

Bilangan k pada definisi adalah tunggal, sebab jika ada bilangan bulat m selain k sedemikian sehingga

b = ma dan b = ka

Maka

ma = ka,          m = k (kanselasi)

Jika a = 0 dan b 0, maka tidak ada k yang memenuhi b = ka . Tetapi jika a 0 dan b = 0, maka terdapat tak hingga k yang memenuhi b = ka.

2. Istilah Keterbagian

Dokpri

Istilah dalam keterbagian a | b , disebut sebagai:

a membagi b

b terbagi a

a adalah faktor dari b

a adalah pembagi b

b adalah kelipatan dari a

Apabila a, b dan k bilangan bulat dengan A 0 dan b = ka, maka: k disebut sebagai hasil bagi (quotient) dari b oleh a. k adalah faktor dari b yang menjadi komplemen (sekawan) dari a, a dan k adalah pembagi-pembagi sekawan.

 

3. Sifat-sifat Keterbagian

Bukti

Jika a | b dan b | c maka a | c

Bukti:

a | b maka terdapat bilangan bulat k sehingga

ka=b...(1)

b | c maka terdapat bilangan bulat m sehingga

mb=c...(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

c = mb = m(ka) = (mk)a

Menurut definisi diperoleh a | c (terbukti) Berarti relasi keterbagian pada himpunan bilangan bulat mempunyai sifat transitif.

Bukti

Jika a | b maka a | mb

Bukti:

a | b maka terdapat bilangan bulat k sehingga

ka=b

diperoleh

mb = m(ka) = (mk) a

Dengan demikian a membagi habis setiap kelipatan b yaitu a|mb untuk setiap bilangan bulat m.

Bukti

Apabila a|b dan a|c maka a | (b+c) ,a | (b-c) dan a | bc
Bukti:
a | b maka terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka (1)
a | c maka terdapat bilangan bulat m sehingga c = ma (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh
1. b+c = ka +ma = (k+m) a berarti  a | (b+c)
2. b-c = ka - ma = (k-m) a berarti  a | (b-c)
3. bc = (ka)(ma) = (km) a berarti a | bc
Terbukti

Bukti

Apabila a | b dan a | c maka a | (ma+nb)

Bukti:

a | b maka terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka (1)

a | c maka terdapat bilangan bulat p sehingga c = pa (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh

ma + nb = mka + npa = (mk +np) a sehingga a | (ma+nb)

Terbukti

4. Contoh Soal

1. Tentukan semua bilangan n sehingga n | 24

Penyelesaian:
Bilangan asli n yang memenuhi n | 24 adalah n=1,2,3,4,6,8,12,24.

2. Tentukan apakah 173332 habis dibagi oleh :
a). 2 b). 4 c). 8
pembuktian :
a). Karena 2|2 maka 2|173332
b). Karena 4|32 maka 4|173332
c). Karena 8 332 maka 8 173332

3. Tentukan bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau majemuk.
a). 157 b). 221
penyelesaian :
a). Bilangan-bilangan prima yang adalah 2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada dari bilangan-bilangan prima 2, 3, 5, 7, 11 yang dapat dibagi 157, maka 157 merupakan bilangan prima.
b). Bilangan-bilangan prima yang adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 13|221 maka 221 merupakan bilangan komposit.

4. Tentukan apakah 1815 habis dibagi :
a). 3 b). 9 c). 11
penyelesaian :
jumlah angka-angka 1815 = 1 + 8 + 1 + 5 = 15
a). Karena 3|15 maka 3|1815
b). Karena 9 15 maka 9 1815
c). Jumlah-silang tanda-ganti angka-angka bilangan 1815 = 1 -- 8 + 1 -- 5 = -11
Karena 11|-11 maka 11|1915

5. Bilangan berangka enam berikut a1989b habis dibagi 72. Tentukan a dan b
Penyelesaian :
72 = 8 x 9. Karena itu 8|a1989b b = 6
Juga 9|a + 1 + 9 + 8 + 9 + b = a = 33 a = 3