Apa pun masalah dengan teori himpunan Frege, ia menghindari masalah yang menimpa teori himpunan lain, dan dalam hal apa pun ia memiliki peran penting dalam keseluruhan teori Frege. Jadi, apa masalah yang diajukan Russell untuk teori Frege? Itu menghidupkan gagasan himpunan yang merupakan anggota dari diri mereka sendiri, dan kemungkinan kontradiksi yang mereka ajukan untuk cara berpikir Frege tentang himpunan.
Jika kita menganggap tidak menjadi anggota dari dirinya sendiri sebagai properti, maka muncul pertanyaan: apakah himpunan dari semua himpunan yang bukan anggota dari dirinya sendiri (yang dapat kita sebut A ), anggota dari dirinya sendiri? Jika kita menjawab ya, kita mengklaim A adalah anggota dari dirinya sendiri, tetapi tentu saja ini tidak masuk akal, karena menurut definisi A bukanlah anggota dari dirinya sendiri. Sama halnya, jika kita menjawab tidak, ini tidak masuk akal karena menurut definisi itu adalah anggota dari dirinya sendiri.
Ada masalah terkait tentang kelas komprehensif. Russell menyatakan maksudnya sebagai berikut: "Kelas komprehensif yang sedang kita pertimbangkan, yang merangkul segalanya, harus merangkul dirinya sendiri sebagai salah satu anggotanya. Dengan kata lain, jika ada yang namanya "segalanya", maka "segalanya" adalah sesuatu, dan merupakan anggota kelas "segalanya". Tapi biasanya kelas bukanlah anggota dari dirinya sendiri. Umat manusia, misalnya, bukanlah manusia.Â
Bentuk sekarang kumpulan semua kelas yang bukan anggota dari diri mereka sendiri. Ini adalah kelas: apakah itu anggota dari dirinya sendiri atau bukan? Jika ya, itu adalah salah satu kelas yang bukan anggota dari dirinya sendiri, yaitu bukan anggota dari dirinya sendiri. Jika tidak, itu bukan salah satu kelas yang bukan anggota dari dirinya sendiri, yaitu anggota dari dirinya sendiri. Jadi dari dua hipotesis - itu adalah, dan itu tidak, anggota dari dirinya sendiri - masing-masing menyiratkan kontradiksinya. Ini adalah sebuah kontradiksi."
Sebelum melanjutkan, ada baiknya menyampaikan sepatah kata untuk Frege, baik sebagai seorang filsuf maupun sebagai manusia. Proyek Frege untuk mereduksi matematika menjadi logika, tidak diragukan lagi, tidak berhasil. Namun Frege jauh dari kegagalan filosofis. Selama sekitar satu abad terakhir, dia telah terbukti menjadi salah satu, jika bukan, filsuf logika, matematika, dan bahasa yang paling penting.
Michael Dummett, seorang filsuf terkemuka dengan haknya sendiri, berpandangan semua filsafat analitik, untaian dominan yang dipraktikkan di universitas berbahasa Inggris, harus benar-benar disebut filsafat Pasca-Fregean, begitu berpengaruh Frege dalam perjalanannya. perkembangan. Russell membawa paradoks ke perhatian Frege tepat ketika edisi kedua Hukum Dasar Aritmatika Frege akan diterbitkan.
Frege dikenal karena keramahan dan rasa kewajiban kolegialnya. Dia bertanggung jawab, antara lain, atas keputusan Ludwig Wittgenstein untuk bekerja dengan Russell di Cambridge. Paradoks ini, seperti yang pasti diketahui Frege, mengancam tidak hanya merusak seluruh bukunya, tetapi proyek yang telah dia dedikasikan sepanjang hidup produktifnya. Patut ditekankan betapa menakjubkannya tanggapan Frege, yang dijelaskan oleh Bertrand Russell sendiri sebagai berikut:
"Seluruh pekerjaan hidupnya berada di ambang penyelesaian, banyak dari pekerjaannya telah diabaikan untuk kepentingan orang-orang yang jauh lebih tidak mampu, jilid keduanya akan segera diterbitkan, dan setelah menemukan asumsi fundamentalnya salah, dia menjawab dengan kesenangan intelektual jelas menenggelamkan perasaan kekecewaan pribadi. Itu hampir seperti manusia super dan merupakan indikasi yang jelas tentang kemampuan manusia jika dedikasi mereka adalah pada pekerjaan kreatif dan pengetahuan alih-alih upaya yang lebih kasar untuk mendominasi dan dikenal ". Sulit untuk menyesali kepentingan intelektual dan kedudukan intelektual orang seperti itu di antara para filsuf saat ini.
Signifikansi paradoks Russell dapat dirasakan ketika kita menyadari segala sesuatu berasal dari kontradiksi, yang sekilas tidak terlihat jelas. Sulit untuk mendemonstrasikannya di sini, tetapi ikuti kerangka dasar dari logika klasik ini:
Jika ada kontradiksi, maka itu sama dengan mengatakan P, namun pada saat yang sama, bukan P, di mana P adalah sembarang kalimat dengan nilai kebenaran. P bisa jadi, misalnya, kalimat: Frege is a logician. Merupakan kontradiksi untuk mengatakan Frege adalah seorang ahli logika, dan Frege bukan seorang ahli logika. Jika kita mengasumsikan P dan bukan- P, kita dapat membuat kalimat apa pun yang mengikutinya dengan cara berikut:
Jika P benar, maka pasti benar salah satu dari P atau Q (kalimat lain) benar; lagipula, kita sudah tahu P benar, jadi meskipun Q salah, salah satu dari dua kalimat itu benar, jadi salah satu dari P atau Q benar. Tetapi mengingat kita mengasumsikan not- P benar, dan kita telah menunjukkan salah satu dari P atau Q benar, kita harus mengatakan Q benar. Ini gila dan tidak boleh terjadi! Kami tidak tahu apa Qadalah; itu bisa menjadi kalimat yang sama sekali tidak masuk akal atau sama sekali tidak masuk akal, namun kita harus mengatakan itu benar menurut hukum logika yang paling dasar. Begitulah kekuatan kontradiksi.
