Teorema "Luas lingkaran sama dengan luas segitiga siku-siku yang kakinya adalah jari-jari dan panjang keliling lingkaran itu sendiri." Biarkan ABCD menjadi lingkaran yang diberikan dan K adalah segitiga yang dijelaskan. Jadi jika lingkaran tidak sama dengan K, itu akan lebih besar atau lebih kecil.
Misalkan, jika mungkin, Â lingkaran lebih besar dari K. Mari kita buat persegi ABCD dan buat titik tengah busur AB,BC,CD,DA. Mari kita lanjutkan proses bagi dua ini (jika perlu) sampai sisi-sisi poligon bertulisan yang simpul-simpulnya adalah titik-titik pembagian subtender segmen lingkaran yang jumlahnya kurang dari kelebihan luas lingkaran di atas K.Â
Jadi, luas poligon yang diperoleh akan lebih besar dari K. Biarkan AE menjadi sisinya dan ON tegak lurus terhadap AE dari pusat O. Kemudian ON lebih kecil dari jari-jari lingkaran dan, oleh karena itu, kurang dari satu kaki segitiga K. Â keliling poligon lebih kecil dari keliling lingkaran, yaitu kurang dari kaki lainnya. Akibatnya, luas poligon kurang dari K; yang bertentangan dengan hipotesis;
Tetapi bagaimana cara menemukan teorema, yang tersembunyi di bawah demonstrasi sempurna dengan metode kelelahan? Untuk berpikir  Archimedes dapat mencapai hasil melalui heuristik, penggunaan teknik sangat kecil, "menambahkan" segitiga sama kaki tak terbatas dengan sisi sama dengan jari-jari lingkaran dan dengan segmen dasar sangat kecil yang akan bingung dengan busur lingkaran yang sangat kecil.
Archimedes, menempatkan teorema ini di awal risalahnya, mengedipkan mata pada topik mengkuadratkan lingkaran. Dengan mencapai kesetaraan antara lingkaran dan segitiga (yang tentu saja merupakan angka kuadrat!) masalah yang terkenal dan sulit tampaknya akan terpecahkan; tetapi segitiga K tidak dapat dibuat dengan penggaris dan kompas, karena salah satu kaki persis panjang kelilingnya.Â
Apa yang telah dicapai Archimedes adalah untuk "mengurangi" masalah mengkuadratkan lingkaran menjadi masalah meluruskan keliling, yaitu, pada konstruksi penggaris dan kompas dari bilangan. Pada spiralia memperoleh perbaikan keliling melalui kurva spiral yang ia temukan, kurva yang bersifat mekanis dan tidak dapat dibangun dengan penggaris dan kompas.
Oleh karena itu dimungkinkan untuk menuliskan nama Archimedes di antara mereka yang "mengkuadratkan lingkaran" dengan cara yang tidak ortodoks; tetapi sangat mungkin  dia mengetahui ketidakmungkinan melakukannya dengan penggaris dan kompas, serta kondisi irasional dari angka,  dan ini akan menjelaskan perkiraan perhitungannya yang dengannya dia akan menutup risalahnya tentang lingkaran.
Sangat menarik, dalam kaitannya dengan studi perkembangan masalah pelik ketidakterbatasan matematika sepanjang sejarah, untuk mengamati apa yang dilakukan Archimedes, salah satu matematikawan terbesar yang pernah hidup, dengan konsep itu.Â
Dalam karyanya, kata "tak terbatas" (apeiros) hanya disebutkan dua kali, dan ini terjadi di awal Arenario, ketika Archimedes mencoba membantah tesis  jumlah butiran pasir yang ada di dunia tidak terbatas.Â
Keinginan yang teguh untuk secara nominal menyembunyikan konsep yang memainkan peran penting dalam karya Archimedean (bukan kebetulan Archimedes dianggap sebagai pelopor kalkulus yang sangat kecil) menanggapi persyaratan "akademik" Alexandrian, Euclidean, yang bersama-sama dengan teori dan persyaratan yang ketat. konten ketat dipaksa untuk menghindari tak terhingga, dinyatakan oleh Aristotle.
Eudoxus adalah ahli matematika Yunani yang hebat yang tahu bagaimana menghindari dan, dengan cara tertentu, mendominasi ketidakterbatasan saat ini. Idenya adalah menghapus kuantitas "sangat kecil" dan "besar tak terhingga" dari pertimbangan matematis, dan dia mencapai ini dengan pernyataan yang diberikan Euclid sebagai definisi 4 Buku V Elemen:
