Matematika Infinity

Filsafat Matematika Infinity 

Apakah dua varian infinity yang berbeda memiliki ukuran yang sama? Selama beberapa dekade, kebijaksanaan konvensional di antara para numerolog adalah  ini bukan masalahnya. Tapi sekarang dua matematikawan [Malliaris dan Shelah] telah membuktikan hal itu. 

Apa yang terdengar luar biasa menyentuh salah satu masalah paling terkenal dan keras kepala dalam matematika: pertanyaan apakah ada tak terhingga yang terletak di antara totalitas bilangan asli yang tak terbayangkan dan bahkan tak terhingga yang lebih besar dari bilangan real. 

Dalam matematika, istilah tak terhingga digunakan untuk menggambarkan beberapa istilah matematika lebih dekat. Sebagai aturan, ini menghasilkan karakterisasi yang terbatas, melengkapi konsep.

Infinity adalah yang tak terbatas, tak berujung, atau lebih besar dari nomor apapun. Hal ini sering dilambangkan dengan simbol infinity. Sejak zaman Yunani kuno, sifat filosofis ketakterhinggaan menjadi bahan diskusi di antara para filsuf dan terus menjadi wacana akademik sampai hari ini.

Contoh istilah yang menyertakan istilah "tak terbatas" adalah:    himpunan tak hingga sebagai konsep pelengkap himpunan hingga,   ordinal tak terbatas, kardinal tak terbatas,   ruang vektor berdimensi tak hingga sebagai konsep pelengkap ruang vektor berdimensi hingga.

Tulisan ini membahas Matematika Infinity, Malliaris mempelajari teori model tidak stabil dan hubungannya, melalui rangkaian karakteristik, untuk membuat grafik konsep teoretis seperti lemma keteraturan Szemerdi. Dia a dikenal karena dua makalah bersama dengan Saharon Shelah yang menghubungkan topologi, teori himpunan, dan teori model. 

Dalam karya ini, Malliaris dan Shelah menggunakan orde Keisler, sebuah konstruksi dari teori model, untuk membuktikan kesetaraan antara dua karakteristik kardinal kontinum, dan , yang lebih besar dari kardinal tak hingga terkecil dan kurang dari atau sama dengan kardinalitas kontinum. 

Ini memecahkan masalah dalam teori himpunan yang telah terbuka selama lima puluh tahun. Pekerjaan mereka juga memecahkan masalah lain yang telah terbuka hampir selama ini, dengan mengkarakterisasi teori-teori maksimal dalam urutan Keisler, 

Pada Model  bidang Euclidean, konstruksi yang baru saja dijelaskan   dapat ditafsirkan dalam geometri affine. Setiap garis diperpanjang oleh titik "jauh tak terhingga", yaitu dengan titik yang diwakili oleh garis melalui titik nol yang berjalan sejajar dengan garis yang diberikan. Jadi dua paralel, yang diperpanjang dari bidang Euclidean ke bidang proyektif, berpotongan di titik umum yang jauh tak terhingga ini.

Tetapi ada  istilah-istilah seperti itu dari produk tak terbatas, dalam definisi yang diperlukan properti yang lebih jauh jangkauannya daripada jumlah faktor yang tidak terbatas. Situasinya mirip dengan gagasan tentang bilangan non-standar yang sangat besar dan gagasan tentang batas tak terbatas.  Contoh penggunaan redundan adalah penggunaan deret tak hingga.

Masalah pertama kali muncul lebih dari satu abad yang lalu. Saat itu, matematikawan sudah tahu  "bilangan real lebih besar dari bilangan asli, tetapi tidak seberapa besar," seperti yang dilaporkan Maryanthe Malliaris dari University of Chicago. "Tapi apakah ini ukuran berikutnya atau ada ukuran di antaranya?.  

Malliaris telah bekerja sama dengan Saharon Shelah, seorang peneliti di Universitas Ibrani di Yerusalem dan Universitas Rutgers, untuk menjawab pertanyaan ini.

Dalam pekerjaan mereka, keduanya menjawab pertanyaan berusia 70 tahun tentang apakah sebuah infinity yang disebut p lebih kecil dari infinity lain yang disebut t.

"Seperti banyak  matematikawan berasumsi  p pasti lebih kecil dari t," kata Shelah. Malliaris dan Shelah menerbitkan bukti mereka  kedua kuantitas itu sama pada tahun 2016 di Journal of American Mathematical Society. 

Untuk ini mereka menerima salah satu penghargaan tertinggi di bidang teori himpunan pada Juli 2017. Tapi karyanya bukan hanya tentang bagaimana dua infinity berhubungan satu sama lain. Jauh melampaui itu: dalam publikasi mereka, Malliaris dan Shelah menggabungkan dua bidang matematika yang sebelumnya independen.

Gagasan tak terhingga itu kompleks. Tetapi gagasan  ketidakterbatasan dapat bervariasi dalam ukuran mungkin merupakan penemuan matematika yang paling berlawanan dengan intuisi yang pernah dibuat. Namun, itu hasil dari pertimbangan sederhana yang bahkan dapat dipahami oleh anak-anak.

Misalkan ada dua set objek yang berbeda (atau dua set, seperti yang dikatakan ahli matematika): satu set mobil dan satu set driver. Jika ada tepat satu pengemudi untuk setiap mobil dan tidak ada mobil kosong maupun pengemudi individu yang tersisa, maka jumlah mobil sama banyaknya dengan pengemudi - bahkan jika kita tidak mengetahui jumlah pasti pengemudi dan mobil.

Pada akhir abad ke-19, matematikawan Jerman Georg Cantor menerapkan permainan berpikir ini pada matematika. Dia membuktikan  dua set berukuran sama (para matematikawan berbicara tentang "kekuatan") jika ada kesepakatan satu-satu di antara mereka yaitu, jika ada tepat satu pengemudi per mobil. Anehnya, dia menunjukkan  pendekatan ini  bekerja untuk set yang sangat besar.

 Himpunan bilangan asli (1, 2, 3, 4, ...) sangat besar. Tapi bagaimana dengan bilangan genap (2, 4, 6, 8, ...) atau bilangan prima (2, 3, 5, 7, 11, ...). Sepintas, masing-masing himpunan ini tampak lebih kecil dari bilangan asli. Dan memang, pada garis bilangan berhingga, hanya ada setengah bilangan genap dari bilangan asli, dan bahkan lebih sedikit bilangan prima.

Namun, himpunan tak hingga berperilaku sangat berbeda dari yang terbatas. Cantor menunjukkan  ada korespondensi satu-satu antara elemen-elemen dari setiap himpunan tak hingga ini:

• 1 2 3 4 5 ... (bilangan asli)
• 2 4 6 8 10 ... (bilangan genap)
• 2 3 5 7 11 ... (bilangan prima)

Oleh karena itu, Cantor menyimpulkan  ketiga himpunan adalah sama. Matematikawan menyebut set ukuran ini "dapat dihitung" karena masing-masing elemennya dapat diberi nomor urut: Anda dapat menghitungnya, bahkan jika itu membutuhkan waktu yang sangat lama.

 Bilangan asli berbeda. Mereka sesuai dengan semua titik pada garis bilangan dan karena itu kadang-kadang disebut sebagai "kontinum." Yaitu, tidak ada ruang kosong antara bilangan real dan yang berikutnya, seseorang selalu dapat menemukan nomor lain di antara mereka.

Cantor mampu menunjukkan  tidak ada korespondensi satu-satu antara bilangan real dan bilangan asli: bahkan jika seseorang membuat daftar bilangan asli tak terbatas yang dipasangkan dengan daftar bilangan real, seseorang dapat menemukan bilangan real lain , yang tidak ada dalam daftar ini. Oleh karena itu himpunan bilangan real lebih besar daripada bilangan asli. Itu adalah kelahiran jenis ketidakterbatasan kedua: ketidakterbatasan yang tak terhitung.  Pemetaan satu-satu antara bilangan asli dan bilangan genap. Kedua set dapat dihitung dan mengandung jumlah elemen yang sama.

Tetapi Cantor tidak dapat mengetahui apakah ada ketidakterbatasan lain---yang terletak di antara bilangan asli yang dapat dihitung dan bilangan real yang tidak dapat dihitung. Dia menduga  tidak ada ketidakterbatasan tengah seperti itu. Dugaan ini dikenal sebagai hipotesis kontinum dan telah lama dianggap sebagai salah satu misteri matematika terbesar yang belum terpecahkan.

Pada tahun 1900, matematikawan Jerman David Hilbert menyusun daftar 23 masalah paling penting dalam matematika. Dia menempatkan hipotesis kontinum pertama. "Sepertinya itu pertanyaan yang sangat penting," kata Malliaris. Meskipun banyak upaya, tidak ada yang mampu menjawabnya di abad yang lalu. Apakah ketidakterbatasan berarti ada? Kita mungkin tidak pernah tahu.

Selama paruh pertama abad ke-20, matematikawan berusaha memecahkan hipotesis kontinum dengan mempelajari banyak sekali himpunan yang muncul di berbagai bidang matematika. Mereka berharap  dengan membandingkan tak terhingga, mereka dapat menemukan bilangan yang lebih besar daripada bilangan asli tetapi lebih kecil dari bilangan real, sehingga menyangkal hipotesis kontinum.

Banyak dari perbandingan ini sangat sulit untuk ditangani. Pada 1960-an, ahli matematika Paul Cohen memberikan penjelasan untuk komplikasi ini. Cohen mengembangkan metode yang disebut "pemaksaan" yang menunjukkan  hipotesis kontinum tidak bergantung pada hukum teori himpunan - dan dengan demikian tidak dapat dibuktikan dengan teori himpunan. 

Metode Cohen menyelesaikan karya Kurt Gdel, di mana ia menunjukkan pada tahun 1940  hipotesis kontinum  tidak dapat disangkal oleh hukum matematika. Ini adalah kemunduran besar bagi matematikawan: mereka tidak akan pernah tahu apakah hipotesis kontinum itu benar atau salah. Anda bisa menganggapnya benar atau salah, dan dalam kedua kasus matematika tidak akan mengarah pada kontradiksi.

Cohen memenangkan Fields Medal, salah satu penghargaan tertinggi dalam matematika, untuk karyanya pada tahun 1966. Pada tahun-tahun berikutnya, para ilmuwan menggunakan metode pemaksaannya untuk menyelidiki perbandingan tak terhingga yang sebelumnya belum terpecahkan. 

Dengan melakukan itu, mereka membuktikan  banyak dari perbandingan ini memiliki masalah yang sama dengan hipotesis kontinum: tidak mungkin untuk membuktikannya menggunakan hukum matematika.  

Namun, beberapa pertanyaan tetap tidak terjawab, misalnya apakah p dan t sama. Baik p dan t adalah tak hingga yang sesuai dengan ukuran minimum kumpulan himpunan bagian dari bilangan asli dengan sifat-sifat tertentu.

Definisi yang tepat dari kedua kuantitas sangat rumit dan tidak mutlak diperlukan untuk memahami masalah. Matematikawan tahu  p dan t lebih besar dari jumlah bilangan asli. 

Selain itu, p harus kurang dari   atau sama dengan - t. Jika p lebih kecil dari t, akan ada mean infinity---sesuatu yang lebih besar dari bilangan asli tetapi lebih kecil dari bilangan real. Hipotesis kontinum akan salah. Tetapi seperti yang ditunjukkan Cohen dan Godel, ini tidak dapat dibuktikan. Jadi hanya ada dua kemungkinan yang tersisa: apakah ada bukti  p dan t adalah sama - atau hubungan mereka satu sama lain  tidak dapat dibuktikan.

Hampir semua matematikawan mengharapkan  hubungan antara p dan t tidak dapat ditentukan. Untuk ini mereka harus menunjukkan  masalahnya tidak bergantung pada hukum matematika. Tapi mereka tidak berhasil. Perbandingan p dan t tetap belum terselesaikan selama beberapa dekade berikutnya. Malliaris dan Shelah menemukan solusi untuk masalah ini ketika mereka mencari sesuatu yang sama sekali berbeda.

Penjelasan untuk p dan t. Subset bilangan asli yang besar tak berhingga adalah, misalnya, bilangan genap {2, 4, 6, 8, ...} atau bilangan prima {2, 3, 5, 7, ...}. p dan t mengukur jumlah himpunan bagian yang tak terhingga banyaknya. 

Namun, himpunan bagian ini harus memenuhi dua kondisi yang rumit. Pertama, masing-masing dari mereka harus memiliki tumpang tindih tak terbatas dengan himpunan bagian lainnya. 

Misalnya, ini berlaku untuk bilangan prima {2, 3, 5, 7, 11, ...} dan bilangan ganjil {1, 3, 5, 7, 9, ...} - kecuali untuk nomor 2 , semua bilangan prima bilangan genap. 

Namun, himpunan bagian tidak boleh terlalu mirip: Jika Anda melihat tumpang tindih semua himpunan bagian, itu tidak boleh terdiri dari jumlah angka yang tak terbatas. Jadi hanya bilangan prima dan bilangan ganjil yang tidak cocok karena terlalu mirip.

Matematikawan telah menemukan banyak cara untuk menghasilkan banyak himpunan bagian yang memenuhi sifat-sifat ini. p dan t hitung jumlah himpunan bagian untuk setiap kemungkinan ini dan pilih angka terkecil. Tetapi t menempatkan kondisi tambahan pada himpunan bagian: Ini hanya mengizinkan himpunan bagian yang dapat dipesan. 

Misalnya, salah satu urutannya adalah mengklasifikasikan bilangan prima menjadi lebih kecil dari bilangan ganjil (bahkan jika, menurut Cantor, bilangan tersebut mengandung jumlah elemen yang sama).  

Kondisi tambahan pada t ini membatasi pilihan himpunan bagian yang mungkin. Jadi ada lebih sedikit kemungkinan dari mana t dapat memilih jumlah himpunan bagian terkecil. Oleh karena itu, matematikawan berasumsi  t kemungkinan besar akan lebih besar dari p.

Ukuran kompleksitas. Pada saat yang sama ketika Paul Cohen melarang hipotesis kontinum dari matematika yang dapat diuji, Howard Jerome Keisler mengembangkan pendekatan baru dalam bidang matematika dari teori model.

 Bagi seorang ahli teori model, teori hanyalah seperangkat aksioma atau aturan yang mendefinisikan domain matematika. Teori model mengklasifikasikan teori matematika - ia meneliti akar matematika. "Saya pikir orang tertarik untuk mengkategorikan teori karena mereka ingin memahami apa yang memicu hal-hal tertentu dalam bidang matematika yang sangat berbeda," kata Keisler, profesor emeritus matematika di University of Wisconsin.

Pada tahun 1967 ia memperkenalkan "urutan Keisler" yang dinamai menurut namanya, yang mengklasifikasikan berbagai teori matematika menurut kompleksitasnya. Dia mengusulkan metode untuk mengukur kompleksitas dan mampu membuktikan  teori matematika dapat dibagi menjadi setidaknya dua kelas: teori kompleks minimal dan maksimal. "Itu adalah awal yang baik, tetapi saya merasa  harus ada jumlah kelas kompleksitas yang tak terbatas," kata Keisler.

Apa ciri-ciri teori kompleks? Ini bukan pertanyaan yang mudah dan masih menjadi topik penelitian. Keisler menjelaskan kompleksitas teori dengan kisaran apa yang bisa terjadi dalam teori - teori di mana lebih banyak yang bisa terjadi lebih kompleks daripada di mana hampir tidak ada yang terjadi.

Sedikit lebih dari satu dekade setelah Keisler memperkenalkan perintahnya, Shelah menerbitkan sebuah buku di mana dia menunjukkan  ada penggambaran antara kelas-kelas kompleksitas seperti garis pemisah yang memisahkan teori-teori yang lebih kompleks dari yang lebih sederhana. Namun, dalam 30 tahun berikutnya, hanya sedikit kemajuan yang dicapai di bidang ini.

Pada  tahun 2009 ordo Keisler muncul kembali: Malliaris mempelajari karya Keisler selama karya doktoralnya dan publikasi berikutnya. Pada tahun 2011, ia dan Shelah mulai berkolaborasi di bidang ini. Misalnya, mereka ingin memahami apa yang mengubah teori sederhana menjadi teori yang sangat kompleks: Sifat mana yang membuat teori menjadi kompleks?. 

Mereka sudah tahu saat itu  teori matematika yang teratur sangat kompleks. Jadi, jika teori mengandung sesuatu seperti tanda yang lebih besar atau lebih kecil dari, mereka sangat kompleks. 

Malliaris dan Shelah ingin mengetahui apakah tipe keteraturan yang melemah  menyebabkan teori menjadi sangat kompleks. Tingkat kerumitan yang tak terbatas. 

Dalam perjalanan penelitian mereka, Malliaris dan Shelah menemukan hubungan yang tidak terduga: jika orde dan varian yang dilemahkannya kompleks secara maksimal, ini  berarti  p dan t adalah sama. Mereka menunjukkan  dua bidang matematika yang berbeda jauh lebih erat hubungannya daripada yang diperkirakan sebelumnya.

 Pada tahun 2016, Malliaris dan Shelah menerbitkan makalah   yang memecahkan kedua masalah: mereka membuktikan  kedua properti pengurutan sama-sama kompleks, dan  p dan t setuju. 

Dalam karya lain, mereka  menunjukkan  tatanan Keisler tidak hanya memiliki dua, tetapi   seperti yang sudah diduga Keisler   jumlah tingkat kerumitan yang tak terbatas. "Entah bagaimana satu hal tiba-tiba mengarah ke hal lain," kata Malliaris, berhasil memecahkan banyak masalah yang berbeda. 

 Malliaris dan Shelah menerima Hausdorff Medal, salah satu penghargaan paling bergengsi di bidang teori himpunan. Kehormatan ini mencerminkan bukti tak terduga dan kuat mereka. Kebanyakan ahli matematika telah memperkirakan  p akan lebih kecil dari t dan hubungan mereka satu sama lain karena itu tidak dapat dibuktikan. Tapi Malliaris dan Shelah membuktikan: Kedua infinity adalah ukuran yang sama. Namun, pekerjaan mereka  menunjukkan  pertanyaan ini memiliki kedalaman yang jauh lebih dalam daripada yang diduga para ahli matematika.

Malliaris dan Shelah membuktikan  p dan t sama dengan menunjukkan hubungan yang sebelumnya tidak diketahui antara teori model dan teori himpunan. Ini harus membuka peluang baru yang menarik di kedua bidang. 

Pekerjaan ini  menghilangkan pertanyaan yang diharapkan para matematikawan dapat membantu memecahkan hipotesis kontinum. Hampir semua ahli masih menganggap  asumsi yang tidak dapat dibuktikan itu salah: Akan sangat luar biasa jika hanya ada dua ukuran infinity yang ditemukan selama ini.