Matematika Infinity

Filsafat Matematika Infinity 

Apakah dua varian infinity yang berbeda memiliki ukuran yang sama? Selama beberapa dekade, kebijaksanaan konvensional di antara para numerolog adalah  ini bukan masalahnya. Tapi sekarang dua matematikawan [Malliaris dan Shelah] telah membuktikan hal itu. 

Apa yang terdengar luar biasa menyentuh salah satu masalah paling terkenal dan keras kepala dalam matematika: pertanyaan apakah ada tak terhingga yang terletak di antara totalitas bilangan asli yang tak terbayangkan dan bahkan tak terhingga yang lebih besar dari bilangan real. 

Dalam matematika, istilah tak terhingga digunakan untuk menggambarkan beberapa istilah matematika lebih dekat. Sebagai aturan, ini menghasilkan karakterisasi yang terbatas, melengkapi konsep.

Infinity adalah yang tak terbatas, tak berujung, atau lebih besar dari nomor apapun. Hal ini sering dilambangkan dengan simbol infinity. Sejak zaman Yunani kuno, sifat filosofis ketakterhinggaan menjadi bahan diskusi di antara para filsuf dan terus menjadi wacana akademik sampai hari ini.

Contoh istilah yang menyertakan istilah "tak terbatas" adalah:    himpunan tak hingga sebagai konsep pelengkap himpunan hingga,   ordinal tak terbatas, kardinal tak terbatas,   ruang vektor berdimensi tak hingga sebagai konsep pelengkap ruang vektor berdimensi hingga.

Tulisan ini membahas Matematika Infinity, Malliaris mempelajari teori model tidak stabil dan hubungannya, melalui rangkaian karakteristik, untuk membuat grafik konsep teoretis seperti lemma keteraturan Szemerdi. Dia a dikenal karena dua makalah bersama dengan Saharon Shelah yang menghubungkan topologi, teori himpunan, dan teori model. 

Dalam karya ini, Malliaris dan Shelah menggunakan orde Keisler, sebuah konstruksi dari teori model, untuk membuktikan kesetaraan antara dua karakteristik kardinal kontinum, dan , yang lebih besar dari kardinal tak hingga terkecil dan kurang dari atau sama dengan kardinalitas kontinum. 

Ini memecahkan masalah dalam teori himpunan yang telah terbuka selama lima puluh tahun. Pekerjaan mereka juga memecahkan masalah lain yang telah terbuka hampir selama ini, dengan mengkarakterisasi teori-teori maksimal dalam urutan Keisler, 

Pada Model  bidang Euclidean, konstruksi yang baru saja dijelaskan   dapat ditafsirkan dalam geometri affine. Setiap garis diperpanjang oleh titik "jauh tak terhingga", yaitu dengan titik yang diwakili oleh garis melalui titik nol yang berjalan sejajar dengan garis yang diberikan. Jadi dua paralel, yang diperpanjang dari bidang Euclidean ke bidang proyektif, berpotongan di titik umum yang jauh tak terhingga ini.

Tetapi ada  istilah-istilah seperti itu dari produk tak terbatas, dalam definisi yang diperlukan properti yang lebih jauh jangkauannya daripada jumlah faktor yang tidak terbatas. Situasinya mirip dengan gagasan tentang bilangan non-standar yang sangat besar dan gagasan tentang batas tak terbatas.  Contoh penggunaan redundan adalah penggunaan deret tak hingga.

Masalah pertama kali muncul lebih dari satu abad yang lalu. Saat itu, matematikawan sudah tahu  "bilangan real lebih besar dari bilangan asli, tetapi tidak seberapa besar," seperti yang dilaporkan Maryanthe Malliaris dari University of Chicago. "Tapi apakah ini ukuran berikutnya atau ada ukuran di antaranya?.