Filsafat Matematika

Filsafat Matematika

Jika matematika dianggap sebagai ilmu pengetahuan, maka filsafat matematika dapat dikatakan sebagai cabang dari filsafat ilmu, di samping disiplin ilmu seperti filsafat fisika dan filsafat biologi. Namun, karena materi pelajarannya, filsafat matematika menempati tempat khusus dalam filsafat ilmu. 

Sedangkan ilmu alam menyelidiki entitas yang terletak dalam ruang dan waktu, sama sekali tidak jelas bahwa hal ini   terjadi pada objek yang dipelajari dalam matematika. Selain itu, metode penyelidikan matematika sangat berbeda dari metode penyelidikan dalam ilmu alam.

Sedangkan yang terakhir memperoleh pengetahuan umum menggunakan metode induktif, pengetahuan matematika tampaknya diperoleh dengan cara yang berbeda: dengan deduksi dari prinsip-prinsip dasar. 

Status pengetahuan matematika tampak berbeda dari status pengetahuan dalam ilmu-ilmu alam. Teori-teori ilmu alam tampaknya kurang pasti dan lebih terbuka untuk direvisi daripada teori-teori matematika.

Untuk alasan ini matematika menimbulkan masalah dari jenis yang cukup khas untuk filsafat. Oleh karena itu para filsuf telah memberikan perhatian khusus pada pertanyaan ontologis dan epistemologis tentang matematika.

Pandangan filosofis dan ilmiah umum pada abad kesembilan belas cenderung ke arah empiris: aspek platonistik teori rasionalistik matematika dengan cepat kehilangan dukungan. Terutama fakultas intuisi rasional ide yang dulu sangat dipuji dianggap dengan kecurigaan. Dengan demikian menjadi tantangan untuk merumuskan teori filosofis matematika yang bebas dari unsur-unsur platonistik. Dalam dekade pertama abad kedua puluh, tiga gagasan matematika non-platonistik dikembangkan: Logicism,  formalisme, dan intuisionisme. Pada awal abad kedua puluh muncul   program keempat: prediktivisme. Karena keadaan sejarah yang bergantung, potensi sebenarnya tidak dibawa keluar sampai tahun 1960-an. Namun itu layak mendapat tempat di samping tiga sekolah tradisional yang dibahas di sebagian besar pengantar kontemporer standar untuk filsafat matematika.

Filsafat mampu memberikan pelayanan yang tulus kepada sains, dan para tokoh besar ilmu  seperti Albert Einstein, Kurt Godel, Max Planck, Jacques Monod memberi arti penting pada pemikiran filosofis yang membantu mereka merumuskan dan mempertahankan teori-teori berani yang mereka usulkan.

Sayangnya, terlalu sering, konsepsi yang diajukan oleh filsafat untuk menjelaskan sains telah memperlambat atau menunda hal-hal baru daripada mendukungnya. 

Dalam perkembangan teori evolusi, teori relativitas, mekanika kuantum, dan logika matematis, filsafat lebih merupakan hambatan daripada bantuan untuk penemuan.

Pernyataan yang provokatif ini akan membutuhkan analisis yang panjang untuk dapat dibenarkan sepenuhnya. Kita sebut saja Henri Bergson, yang, atas nama intuisi tertentu pada waktu itu, menentang teori relativitas dan membuatnya mustahil untuk memahaminya. 

Mari kita   memikirkan konsepsi apriori tentang apa itu matematika: Henri Poincare  dan yang lainnya menolak kemajuan logika matematika -- khususnya, teori himpunan, yang saat ini diadopsi secara universal dan tidak ada matematikawan yang dapat melakukannya tanpanya.

Mari kita pikirkan   kesulitan-kesulitan yang dihadapi oleh teori evolusi, pada abad kesembilan belas kurang lebih di mana-mana, kemudian pada abad kedua puluh di negara-negara komunis (dalam Trofim Denisovich Lysenko,  atas nama ilmu proletar berdasarkan dialektika materialisme   genetika modern dikutuk). 

Bahkan hari ini, di Amerika Serikat, gagasan filosofis yang salah tentang kehidupan menghalangi pemikiran ilmiah untuk menegaskan pandangannya dan menghambat penyebarannya.

Mari kita ingat konsepsi ruang yang dipertahankan oleh Kant tidak sesuai dengan yang sekarang diterima secara universal dalam fisika, di mana dianggap   sifat geometri (Euclidean, hiperbolik) harus ditentukan oleh observasi dan eksperimen, dan bukan oleh sederhana analisis apriori dari data langsung dari alasan.

Yang benar adalah   sains memperkaya filsafat dan memperbaruinya. Dalam matematika, logika dan teori komputabilitas, masalah yang dianggap filosofis menjadi, sebagai hasil dari kemajuan ilmiah, masalah teknis  dalam hal ini masalah matematika -- yang (terkadang tak terduga) solusinya kaya akan konten filosofis; kesan yang muncul adalah   sains melakukan filsafat dan menggantikannya.

Di antara kemajuan matematika yang tak terbantahkan pada mata pelajaran yang pernah diklasifikasikan sebagai "filosofis murni", tentu saja ada yang menyangkut ketidakterbatasan. 

Mempertimbangkan ini sebagai domain yang disediakan untuk para filsuf atau bahkan teolog, matematikawan telah berhasil dalam beberapa tahap (geometri, teori bilangan, kalkulus sangat kecil, teori himpunan Cantorian [Georg Cantor (1845-1918) , teori kardinal besar) untuk memelihara gagasan tak terhingga dan membentuk serangkaian teori baru. domain matematika di mana konsep tak terhingga mengungkapkan kekayaan yang tidak dapat dideteksi oleh filsafat.

Pada awal abad ke-20, logika matematika memperjelas gagasan tentang bukti matematika dan memungkinkan pemikiran filosofis tentang matematika mengandalkan banyak gagasan yang tepat (sistem formal, kalkulus proposisional dan kalkulus predikat, model, dll.) dan hasil yang mendalam (teorema kelengkapan, teorema batasan, dll). 

Filsafat matematika telah diubah olehnya, dan jika perdebatan di sana menjadi lebih teknis, pemikiran para filsuf yang menerima kemajuan matematika ini hanya menjadi lebih relevan dan lebih tajam;

Klarifikasi gagasan komputasi mekanik sekitar tahun 1936 oleh K. Godel, A. Church, A. Turing) meletakkan dasar untuk disiplin baru (disebut teori rekursi atau teori komputabilitas) yang baru-baru ini menyebabkan aplikasi ajaib di bidang filsafat ilmu. 

Teori kompleksitas Kolmogorov, perkembangan terbaru dari teori komputabilitas, dari sudut pandang ini, sangat efektif. Kami berutang kepadanya sejumlah proposal yang signifikansi filosofisnya tidak dapat disangkal dan yang, dalam beberapa kasus, telah memecahkan masalah yang diajukan oleh para filsuf itu sendiri.

Sebelum memberikan beberapa rincian tentang salah satu kontribusi terakhir dari teori-teori ini untuk mempelajari pertanyaan "apakah hasil yang sulit secara matematis secara praktis berguna?" dasar teori kompleksitas Kolmogorov.

Diformulasikan oleh R. Solomonoff, A. Kolmogorov dan G. Chaitin sekitar tahun 1965, teori kompleksitas algoritmik, sekarang disebut kompleksitas Kolmogorov, bertujuan untuk mendefinisikan apa itu objek sederhana, dan mengusulkan ukuran absolut kompleksitas.

Dengan mempertimbangkan, sebagai contoh yang akan memungkinkan   untuk mengarahkan diri   sendiri, konsep pembuktian matematis. Tidak ada keraguan   pencarian bukti yang mengikat secara logis adalah aspek yang menentukan dari penelitian matematika. 

Suatu masalah tidak dianggap terpecahkan sampai telah terbukti atau terbukti salah, atau telah diberikan bukti   masalah itu tidak dapat dipecahkan. Norma epistemologis ini merupakan salah satu ciri yang menjadikan praktik matematika apa adanya. 

Dan kebutuhan logis adalah sine qua non pembuktian: bukti harus menetapkan kesimpulan secara definitif, dengan tingkat pembenaran yang mungkin tampak, bagi banyak orang, berbatasan dengan kepastian mutlak.

Studi filosofis matematika dalam seratus tahun terakhir telah memberikan perhatian yang cukup besar pada analisis konsep kebutuhan logis dan konsekuensi epistemologis dan metafisik yang terkait dengannya.

Tetapi pertanyaan yang diajukan oleh praktik matematika tidak terbatas pada pertanyaan tentang pembuktian matematis, dan pertanyaan tentang pembuktian matematis tidak terbatas pada pertanyaan tentang sifat kebutuhan demonstratif. Bahkan tanpa adanya bukti, seseorang dapat membuat dugaan dan mengevaluasinya dengan berbagai pertimbangan yang masuk akal. 

Dua bukti dari hasil yang sama dapat dianggap sama-sama valid, namun yang satu akan lebih disukai daripada yang lain karena alasan yang berkaitan dengan "kemurnian" atau "keanggunan", atau karena yang satu mengizinkan "mengerti" dan bukan yang lain, atau untuk beberapa alasan lain yang sama misteriusnya tetapi sama pentingnya dalam praktik. Di antara tujuan "gelombang baru" ini dalam studi matematika adalah penjelasan dari aspek-aspek lain dari aktivitas matematika ini.

Matematikawan mungkin menunjukkan preferensi yang kuat untuk satu definisi di atas yang lain, bahkan jika definisi tersebut dapat dibuktikan setara. 

Suatu bukti yang terstruktur dalam istilah yang mengacu pada definisi tertentu mungkin lebih disukai daripada bukti yang terstruktur dalam istilah yang mengacu pada definisi lain yang setara, bahkan jika kedua bukti tersebut benar-benar mengikat secara logis. 

Preferensi untuk satu definisi di atas yang lain sering dikaitkan dengan label provokatif: definisi dapat disebut definisi "benar", "bersih", atau "alami", untuk memberikan hanya tiga contoh yang mencolok. Apa yang dipertaruhkan di sini, dan mengapa kita harus peduli?

Tentu saja jelas   salah satu alasan mengapa kita harus peduli tentang apa yang dipertaruhkan di sini adalah   kita dapat dengan demikian menggambarkan matematika secara memadai sebagai aktivitas manusia. 

Jika penilaian atau preferensi tertentu membantu menentukan nilai yang dimiliki matematika bagi kita sebagai cara mengetahui, maka masuk akal jika kita tertarik untuk membuat daftar penilaian dan preferensi tersebut.

Pada abad kesembilan belas, aljabar Inggris, kemudian diikuti oleh aljabar Jerman, dipandu dalam generalisasi dan definisi mereka oleh aturan samar yang mereka sebut "prinsip keabadian bentuk". (Sebuah "prinsip kontinuitas" analog memandu beberapa ahli geometri).

Mereka sering memperoleh hasil yang mencolok, tetapi alasan eksplisit yang mereka rumuskan untuk apa yang membimbing mereka tampak kabur dan membingungkan. 

Penghargaan yang diberikan kepada episode ini oleh banyak sejarawan yang telah mempelajari pertanyaan ini pada akhirnya hanya merupakan variasi yang tidak ramah pada tema yang sama: pada abad ke-19, sekelompok besar orang yang cerdas dan berpendidikan tinggi, akan mulai menyebarluaskan secara kabur dan seringkali secara nyata. 

Dan hal-hal yang salah tentang "keabadian bentuk", tanpa memiliki alasan sistematis yang sah untuk itu yang layak untuk direkonstruksi; dan entah bagaimana melalui beberapa "intuisi matematikawan" yang misterius, tetapi luar biasa, tidak terartikulasikan, mereka masih akan sampai pada jawaban yang benar, secara sistematis mengabaikan prinsip-prinsip mereka sendiri dan sebaliknya mengandalkan naluri yang akan diasah dengan rajin bekerja pada kasus-kasus khusus yang tak terhitung jumlahnya. Ini sangat tidak memuaskan sebagai penjelasan tentang apa yang sebenarnya terjadi, bukan hanya karena itu tidak memberi tahu kita apa-apa, tetapi   karena penjelasan semacam itu bergantung pada (dan dengan demikian memperkuat) gagasan yang tidak perlu dan menyesatkan tentang intuisi matematika yang dipahami sebagai semacam setan ala Socrates.

Namun, kita harus mengkalibrasi dengan tepat makna yang kemungkinan akan diambil oleh penelitian sejarah semacam itu. Sampai kami mengatakan lebih banyak, penelitian semacam ini ke dalam praktik matematika tidak boleh dianggap memiliki konsekuensi filosofis yang menarik, apa pun cahaya yang diberikannya pada fenomenologi pemikiran matematika.

Apa yang kita inginkan, singkatnya, adalah menemukan titik dukungan untuk menghargai apa yang terdiri, untuk penilaian jenis ini (yaitu penilaian bahwa suatu definisi "benar", "pantas", "alami atau bahkan itu " definisi yang tepat"), fakta telah disetujui oleh kesuksesan. Dalam arti apa imputasi keberhasilan seperti itu dapat dikatakan dijamin secara objektif?

Platonisme tentang matematika   adalah pandangan metafisik bahwa ada objek matematika abstrak yang keberadaannya tidak tergantung pada kita dan bahasa, pemikiran, dan praktik kita. Sama seperti elektron dan planet yang ada secara independen dari kita, begitu pula bilangan dan himpunan. 

Dan seperti halnya pernyataan tentang elektron dan planet yang dibuat benar atau salah oleh objek yang bersangkutan dan sifat objektif sempurna objek ini, demikian pula pernyataan tentang bilangan dan himpunan. Oleh karena itu, kebenaran matematis ditemukan, bukan diciptakan.

Argumen paling penting untuk keberadaan objek matematika abstrak    Gottlob Frege dan berjalan sebagai berikut (Frege 1953). Bahasa matematika dimaksudkan untuk merujuk dan mengukur objek matematika abstrak. Dan sejumlah besar teorema matematika benar. 

Tapi sebuah kalimat tidak bisa benar kecuali sub-ekspresinya berhasil melakukan apa yang seharusnya mereka lakukan. Jadi ada objek matematika abstrak yang dirujuk dan diukur oleh ekspresi ini.

Terlepas dari argumen Frege, para filsuf telah mengembangkan berbagai keberatan terhadap platonisme matematika. Dengan demikian, objek matematika abstrak diklaim secara epistemologis tidak dapat diakses dan bermasalah secara metafisik.

Platonisme matematika telah menjadi salah satu topik yang paling hangat diperdebatkan dalam filsafat matematika selama beberapa dekade terakhir. terima kasih

Kata Kunci: Matematika, Logicism,  formalisme, dan intuisionisme, Prediktivisme.