Filsafat Matematika

Jika penilaian atau preferensi tertentu membantu menentukan nilai yang dimiliki matematika bagi kita sebagai cara mengetahui, maka masuk akal jika kita tertarik untuk membuat daftar penilaian dan preferensi tersebut.

Pada abad kesembilan belas, aljabar Inggris, kemudian diikuti oleh aljabar Jerman, dipandu dalam generalisasi dan definisi mereka oleh aturan samar yang mereka sebut "prinsip keabadian bentuk". (Sebuah "prinsip kontinuitas" analog memandu beberapa ahli geometri).

Mereka sering memperoleh hasil yang mencolok, tetapi alasan eksplisit yang mereka rumuskan untuk apa yang membimbing mereka tampak kabur dan membingungkan. 

Penghargaan yang diberikan kepada episode ini oleh banyak sejarawan yang telah mempelajari pertanyaan ini pada akhirnya hanya merupakan variasi yang tidak ramah pada tema yang sama: pada abad ke-19, sekelompok besar orang yang cerdas dan berpendidikan tinggi, akan mulai menyebarluaskan secara kabur dan seringkali secara nyata. 

Dan hal-hal yang salah tentang "keabadian bentuk", tanpa memiliki alasan sistematis yang sah untuk itu yang layak untuk direkonstruksi; dan entah bagaimana melalui beberapa "intuisi matematikawan" yang misterius, tetapi luar biasa, tidak terartikulasikan, mereka masih akan sampai pada jawaban yang benar, secara sistematis mengabaikan prinsip-prinsip mereka sendiri dan sebaliknya mengandalkan naluri yang akan diasah dengan rajin bekerja pada kasus-kasus khusus yang tak terhitung jumlahnya. Ini sangat tidak memuaskan sebagai penjelasan tentang apa yang sebenarnya terjadi, bukan hanya karena itu tidak memberi tahu kita apa-apa, tetapi   karena penjelasan semacam itu bergantung pada (dan dengan demikian memperkuat) gagasan yang tidak perlu dan menyesatkan tentang intuisi matematika yang dipahami sebagai semacam setan ala Socrates.

Namun, kita harus mengkalibrasi dengan tepat makna yang kemungkinan akan diambil oleh penelitian sejarah semacam itu. Sampai kami mengatakan lebih banyak, penelitian semacam ini ke dalam praktik matematika tidak boleh dianggap memiliki konsekuensi filosofis yang menarik, apa pun cahaya yang diberikannya pada fenomenologi pemikiran matematika.

Apa yang kita inginkan, singkatnya, adalah menemukan titik dukungan untuk menghargai apa yang terdiri, untuk penilaian jenis ini (yaitu penilaian bahwa suatu definisi "benar", "pantas", "alami atau bahkan itu " definisi yang tepat"), fakta telah disetujui oleh kesuksesan. Dalam arti apa imputasi keberhasilan seperti itu dapat dikatakan dijamin secara objektif?

Platonisme tentang matematika   adalah pandangan metafisik bahwa ada objek matematika abstrak yang keberadaannya tidak tergantung pada kita dan bahasa, pemikiran, dan praktik kita. Sama seperti elektron dan planet yang ada secara independen dari kita, begitu pula bilangan dan himpunan. 

Dan seperti halnya pernyataan tentang elektron dan planet yang dibuat benar atau salah oleh objek yang bersangkutan dan sifat objektif sempurna objek ini, demikian pula pernyataan tentang bilangan dan himpunan. Oleh karena itu, kebenaran matematis ditemukan, bukan diciptakan.

Argumen paling penting untuk keberadaan objek matematika abstrak    Gottlob Frege dan berjalan sebagai berikut (Frege 1953). Bahasa matematika dimaksudkan untuk merujuk dan mengukur objek matematika abstrak. Dan sejumlah besar teorema matematika benar. 

Tapi sebuah kalimat tidak bisa benar kecuali sub-ekspresinya berhasil melakukan apa yang seharusnya mereka lakukan. Jadi ada objek matematika abstrak yang dirujuk dan diukur oleh ekspresi ini.