Dunia pada Dasarnya Tidak Jelas

Matematikawan  Leopold Kronecker dilaporkan mengatakan: "bilangan asli diciptakan oleh Tuhan, yang lainnya adalah karya manusia". Stephen Hawking berjudul sebuah buku "God Created the Integers".  

Pernyataan ini, terlepas dari citarasa teistik dan metafisiknya, dimaksudkan untuk diambil secara mendasar, bukan secara metafisik. Kronecker berbicara tentang gagasan bahwa jika kita mengasumsikan keberadaan bilangan bulat secara aksiomatis, definisi dan teorema tentang jenis angka lainnya dapat diberikan dengan seksama. Misalnya, jika   menganggap bilangan bulat itu ada, maka Anda dapat mendefinisikan bilangan rasional sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat.

Bicara soal bilangan rasional, saatnya untuk memoles sedikit matematika sekolah lama Anda. Ingatlah bahwa beberapa bilangan rasional terbatas, ketika diubah menjadi representasi desimal. Misalnya, 1/8 adalah 0,125, ekspansi desimal yang bagus, rapi, dan mengakhiri. Beberapa bilangan rasional akan memiliki banyak tempat desimal yang tak terhingga, tetapi bahkan ini masih akan berperilaku baik dalam satu atau lain cara. Sebagai contoh, 2/3 adalah 0,6666 ... di mana keenam berulang selamanya. Angka rasional lain yang berperilaku baik adalah 1/7, yaitu 0,14285714285, di mana kelompok digit '142857' berulang selamanya.

Subjek dari judul esai ini   bilangan irasional - tidak begitu rapi. Mereka panjang tak terhingga, tetapi tidak berperilaku baik seperti bilangan rasional lakukan - yaitu, mereka tidak berakhir atau siklus. Pi adalah bilangan irasional yang terkenal - hanya berlangsung selamanya, tidak pernah berulang, dan tidak ada yang bisa menemukan pola dalam rantai digitnya yang tak berujung.

Saya ingin di sini mengemukakan bahwa, bertentangan dengan interpretasi metafisik dari Kronecker dan Hawking, bilangan irasional - bilangan tak terhingga dan tak terhingga berantakan - mendasari (walaupun, seperti yang akan Anda lihat, saya pikir konsep ini terlalu kuat) bahan dari alam semesta, dan bahwa bilangan bulat adalah ciptaan besar manusia yang berperilaku tidak wajar. Faktanya, alam semesta tidak mengandung sesuatu yang benar-benar integral atau rapi secara numerik.

Mari kita ambil yang paling dasar dari semua bilangan bulat: Angka 1. Ketika Anda berbicara tentang satu apel atau satu meja atau satu orang, Anda menggunakan angka 1 dalam peran metafisiknya yang paling gamblang: Anda menggunakannya untuk mencoba membuat demarkasi objek secara sempurna.

Ini adalah kemuliaan bilangan bulat: Jika   harus berbicara tentang 1.1258345257 ... apel, atau tabel pi, hidup  sulit. Dan mengatakan kita memiliki 1 apel di depan kita tidak hanya membuat kita berbicara lebih mudah tentang dunia, itu yang memungkinkan kita untuk berbicara tentang dunia (dan semua objeknya) sama sekali. "Sebuah apel", "apel", "satu apel", ... semua adalah cara untuk mengatakan bahwa ada sesuatu yang disebut apel, dan bahwa inilah contoh dari hal semacam itu di depan kita. Apel ini dibatasi dengan sempurna - apel itu sepenuhnya terbentuk dan sepenuhnya terpisah dari semua yang ada di alam semesta.

Bilangan bulat, memang, fundamental epistemologis, dan dari sinilah mereka mendapatkan keunggulan epistemologis mereka. Tanpa mereka, kami tidak bisa mengerti banyak tentang dunia.

Tetapi ini tidak serta merta membuat mereka menjadi fundamental secara metafisik (dasar, dasar) seperti yang dilakukan Kronecker, dkk.

Faktanya, objek yang diberi batas sempurna tidak ada di dunia fisik. Mereka, dan bilangan bulat di belakang mereka, adalah fiksi manusia.  Dunia pada dasarnya tidak jelas   semua objeknya tidak terdefinisikan dengan jelas dan tidak sempurna.

Ada benda-benda yang jelas tidak jelas - yaitu, sangat sedikit yang berpendapat bahwa kita bisa sangat tepat tentang mereka. Tumpukan seperti ini. Tidak ada yang berpikir bahwa ketika kita mengatakan "tumpukan", atau "tumpukan", atau "satu tumpukan" kita berbicara dengan sangat akurat. Tumpukan pasir, misalnya, masih berupa tumpukan jika kita mengambil (atau menambahkan) sebutir pasir dari dalamnya. Tumpukan itu pada dasarnya tidak jelas dan tidak berbatas tegas.

Tentu saja,  mungkin sadar   ke paradoks kuno   paradoks sorites. Mengolah kembali premis  : Tumpukan pasir masih berupa tumpukan pasir jika   menghilangkan satu butir pasir dari sana. Nah, jika ini masalahnya, maka itu masih tumpukan jika  menghapus butir pasir dari itu. Dan satu lagi. Dan seterusnya. Tetapi segera kita akan berada dalam posisi mengatakan bahwa kita masih memiliki tumpukan pasir bahkan setelah semua butiran pasir telah dihilangkan. Paradoks.

Masalahnya adalah bahwa tidak ada titik cutoff absolut di mana tumpukan menjadi bukan tumpukan. Misalnya, tidak seperti kumpulan 500.000 butir pasir adalah tumpukan, tetapi 499.999 butir bukan lagi tumpukan. Jika ini masalahnya, maka premis awal kami akan salah. Bahkan, akan ada kasus yang jelas di mana memindahkan satu butir pasir akan mengubahnya dari tumpukan menjadi sekadar koleksi.

Jadi tidak ada deskripsi integral yang utuh. Mendemarkasi tumpukan dengan sempurna adalah hal yang mustahil. Tapi mungkin itu karena tumpukan adalah hal yang samar di tempat pertama. Bagaimana dengan hal-hal yang umumnya tidak dianggap kabur? Bagaimana dengan kucing?

Baiklah, mari kita ambil kucingku, Gadung Mlati, saat aku mengetik, menatapku, bertanya-tanya kapan aku akan memberinya makan. Bagaimana jika (seperti yang tidak diragukan lagi benar) Gadung Mlati  memiliki rambut semi-terpisah pada dirinya, di ambang jatuh ke lantai? Apakah rambut ini bagian dari Gadung Mlati  atau tidak? Jika ada fakta dari masalah ini di sini, maka Gadung Mlati  sebenarnya adalah objek yang didefinisikan dengan sangat baik, tidak kabur.

Tapi bisakah benar-benar ada fakta tentang ini? Jika ada, dan, katakanlah, rambut yang tersesat itu adalah bagian dari Gadung Mlati , maka saya lebih baik terkutuk bahwa rambut tidak pernah rontok darinya, atau dia tiba-tiba menjadi kucing yang berbeda. Tapi ini bukan seperti kucing. Mereka benda-benda yang tidak jelas, kehilangan dan mendapatkan bagian secara konstan. Ketidakjelasan ini melekat.

Perlu  secara epistemologis, untuk berbicara tentang "kucing" atau "satu kucing", karena kalau tidak, kita tidak akan beroperasi dengan baik di dunia. (Bayangkan manusia gua menyangkal bahwa ada tepat satu harimau bergigi saber di depannya, banyak yang merugikannya.) 

Tapi kucing (dan harimau bergigi saber) tidak harus dengan baik batasnya untuk membuat Anda berkeping-keping - hanya tangan pendek yang nyaman untuk berpikir seperti ini. (Apakah penting jika Anda dihancurkan oleh satu batu dan kerikil, atau dua batu besar, atau dua kerikil, atau, seperti yang lebih tepat, 1.03123124 ... batu besar? Anda masih mendapatkan smooshed. Hal yang sama dengan 1.000041424553 ... saber- harimau bergigi.)

Kita semua belajar di kelas geometri bahwa dunia dibagi menjadi objek yang 1 dimensi (garis lurus dan sejenisnya), 2 dimensi (bentuk datar seperti segitiga dan lingkaran), atau 3 dimensi (hal-hal seperti bola dan kubus).

Sebenarnya, geometri berbohong kepada Anda, atau setidaknya guru geometri Anda melakukannya. "Dunia" geometri itu tidak nyata  ini adalah fiksi matematis yang dimaksudkan untuk menunjukkan kepada kita seperti apa dunia yang benar-benar rapi. Tetapi dunia nyata tidak mengandung benda-benda rapi semacam ini. 

Faktanya, tidak ada dimensi integral sama sekali, dan objek asli 1, 2, dan 3 dimensi (hal-hal yang "ada" dalam dimensi integral semacam itu) adalah mitos matematika. Segmen garis 1 dimensi adalah buatan abstraksi manusia. 

Setiap segmen garis yang dapat dibuat dan  atau berinteraksi secara fisik bergelombang, gappy, dan goyah, membawanya ke dimensi kedua. Ini   memiliki ketebalan   jika, misalnya, digambar di atas kertas, tinta pada halaman dinaikkan sedikit dari dimensi kedua, membawanya ke dimensi ketiga.

Apa artinya ini bagi dunia fisik? Nah, jika dimensi segmen garis fisik adalah non-integral, itu berarti ukurannya tidak rasional - yaitu, ia hanya dapat diukur dengan bilangan irasional, bukan oleh bilangan bulat. 

(Saya tahu saya membuat lompatan dari non-integral ke irasional di sini, tetapi apa pun yang benar-benar dapat diukur dengan bilangan rasional harus menjadi semacam anomali yang luar biasa. Segitiga Sierpinski, misalnya   salah satu bentuk fraktal yang paling bagus, paling rapi) ada - memiliki dimensi irasional 1,58496. Jika objek matematika yang berperilaku relatif baik memiliki dimensi irasional, harapan apa yang ada bagi dunia nyata yang berantakan agar tidak berantakan?)

Realitas didasarkan pada bilangan irasional, bukan bilangan bulat.  Mungkin ini akan lebih jelas dengan diskusi singkat tentang pertanyaan yang tampaknya langsung: Bagaimana jika kita mencoba mengukur garis pantai Inggris? Ya, ternyata tidak ada jawaban langsung, berkat kekacauan irasional dunia nyata. Apa pun jawaban yang kita dapatkan, ternyata, tergantung pada panjangnya penguasa apa pun yang kita gunakan.

Jika penguasa pengukur pantai kita panjangnya satu mil, ketika kita meletakkannya di sepanjang pantai, itu akan memotong bagian-bagian interior Inggris, di mana saja pantai itu cembung, dan itu juga akan memotong bagian-bagian lautan, di mana pun pantai itu cekung.  Jika kita melakukan ini di seluruh pantai, kita akan mendapatkan pengukuran yang sangat kasar dan rasional, itu akan salah (walaupun mungkin bermanfaat).

Kita bisa mengurangi ukuran penggaris kita untuk mendapatkan pengukuran yang lebih tepat. Perhitungan kami akan sangat berbeda untuk penguasa satu inci daripada penguasa satu mil. Nah, ternyata lebih tepat untuk memikirkan hal-hal seperti garis pantai memiliki apa yang disebut dalam matematika dimensi "fraktal" - dimensi yang bukan bilangan bulat. Dan, ya, itu berarti mereka tidak rasional.

Ternyata dimensi garis pantai berada di suatu tempat antara 2 dan 3, tergantung pada kerumitan pantai yang dimaksud. Kita diajarkan untuk memikirkan hal-hal ini secara abstrak  garis pantai, secara matematis, hanya kurva 2-D yang halus. Tetapi kenyataannya tidak begitu rapi.

Sebenarnya, saya tidak berpikir  angka-angka irasional yang berantakan tak terhingga benar-benar mendasari jalinan realitas. Gagasan bahwa matematika apa pun entah bagaimana lebih mendasar secara ontologis daripada dunia yang sebenarnya hanya memberi manusia terlalu banyak penghargaan (dan dunia terlalu sedikit). Matematika, terlepas dari apa yang diyakini sebagian filsuf, merupakan upaya manusia, tunduk pada kelemahan dan kesalahan manusia. Tanpa diragukan lagi luar biasa, kegunaan matematika diterapkan pada masalah di dunia nyata.

Kita dapat melakukan perjalanan ke bulan tanpa (terlalu banyak) takut meledak di angkasa; kita dapat menentukan benda-benda kecil dari jarak jauh; kita bisa membuat rasa cherry buatan yang (semoga) tidak akan membunuh kita. Tetapi, pada akhirnya, berpikir   matematika mendasari dunia alami adalah contoh dari keangkuhan manusia.

Akan lebih baik untuk mengatakan bahwa matematika menggambarkan hal-hal tentang dunia alami, tetapi bahkan ini dapat memberikan matematika terlalu banyak. Apakah benar-benar deskriptif untuk mengatakan bahwa pantai Inggris memiliki dimensi 2.18747636658698? Atau apakah itu hanya menunjukkan bahwa pengetahuan kita tentang fakta ini terbatas, karena kita tidak dapat menyelami kedalaman angka yang jelek, tidak berulang ini, panjang yang tak terhingga?

Jadi, sungguh, "Tuhan (atau Big Bang); Umat Manusia Berusaha Menjelaskannya dengan Angka-Angka yang Tidak Rasional ", dan semua hal didunia ini absurd;