B
Skenario Pemilu 1
Skenario Pemilu 2
Satu-satunya perbedaan antara dua skenario adalah   kelompok pemilih menengah bertukar pesanan mereka dari kandidat peringkat bawah mereka (A dan C). Dalam skenario pemilihan pertama, kandidat A adalah pemenang penghitungan Borda. Namun, dalam skenario pemilihan kedua, kandidat B adalah pemenang penghitungan Borda. Jadi, jika kita mengasumsikan   skenario 1 mewakili preferensi pemilih yang "benar", adalah kepentingan kelompok menengah untuk salah menggambarkan preferensi mereka dan peringkat C kedua, diikuti oleh A, karena hasilnya akan menghasilkan yang paling disukai mereka. kandidat (B) dipilih.
Ini adalah contoh dari hasil umum yang dikenal sebagai Teorema Gibbard-Satterthwaite dengan asumsi alami, tidak ada metode pemungutan suara yang menjamin  pemilih akan memilih surat suara mereka dengan tulus (untuk pernyataan teorema ini dan analisis yang luas.
Banyak literatur tentang teori pemungutan suara (dan, lebih umum, teori pilihan sosial) difokuskan pada apa yang disebut hasil karakterisasi aksiomatik . Tujuan utama di sini adalah untuk mengkarakterisasi metode pemungutan suara yang berbeda dalam hal prinsip normatif abstrak pengambilan keputusan kolektif. Jadi, "aksioma" yang dibahas dalam literatur ini dimaksudkan untuk menggambarkan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh metode keputusan kelompok. Perlu menunjukkan   ini berbeda dari cara seorang ahli matematika atau ahli logika menggunakan kata "aksioma": Untuk ahli matematika atau ahli logika, "aksioma" adalah prinsip-prinsip dasar yang memuaskan teori matematika atau sistem logis. Artinya, "aksioma" digunakan dalam pengertian deskriptif .
Beberapa aksioma dan hasil utama dan bagaimana mereka berhubungan dengan metode pemungutan suara dan paradoks yang dibahas di atas. Anonimitas : Nama-nama pemilih tidak penting: Jika dua pemilih mengubah suara, maka hasil pemilihan tidak akan terpengaruh.  Netralitas : Nama-nama kandidat, atau opsi, tidak masalah: Jika dua kandidat dipertukarkan di setiap peringkat, maka hasil pemilihan berubah sesuai dengan itu. Domain Universal : Para pemilih bebas memiliki pendapat tentang kandidat. Dengan kata lain, tidak ada preferensi pemesanan atas kandidat dapat diabaikan dengan metode pemungutan suara. Secara formal, ini berarti   metode pemungutan suara harus merupakan fungsi total pada ruang semua profil (ingat   suatu profil adalah urutan surat suara, satu dari setiap pemilih. Di sini,  berasumsi, seperti tipikal untuk literatur ini,   surat suara itu urutan linear atas set kandidat).
Properti ini memastikan   hasil pemilu hanya bergantung pada pendapat pemilih, dengan semua pemilih diperlakukan sama. Sifat-sifat lain dimaksudkan untuk mengesampingkan beberapa paradoks dan anomali yang dibahas di atas. Ada contoh situasi di mana seorang kandidat dipilih, meskipun semua pemilih lebih memilih kandidat yang berbeda. Prinsip selanjutnya mengesampingkan situasi seperti itu:  Kebulatan Suara: Jika kandidat A lebih disukai daripada kandidat B oleh semua pemilih, maka kandidat B seharusnya tidak memenangkan pemilihan.
Para kandidat akhirnya kalah dalam pemilihan sebagai hasil dari lebih banyak dukungan dari beberapa pemilih. Secara intuitif, prosedur pemungutan suara bersifat monoton jika naik di peringkat (semuanya sederajat) seharusnya tidak menyebabkan seorang kandidat kalah dalam pemilihan. Ada banyak cara untuk membuat ini tepat. Versi kuat berikut (disebut Positive Responsiveness dalam literatur) digunakan untuk mengkarakterisasi aturan mayoritas ketika hanya ada dua kandidat: Â Responsif Positif : Jika kandidat A terikat untuk menang dan naik di peringkat, maka kandidat A adalah pemenang unik.
Sekarang  dapat menyatakan hasil karakterisasi pertama kami. Perhatikan   dalam semua contoh di atas, penting   ada tiga atau lebih kandidat (misalnya, paradoks Condorcet sangat tergantung pada mulai dari tiga kandidat atau lebih). Bahkan, ketika hanya ada dua kandidat, atau opsi, maka aturan mayoritas (pilih opsi dengan suara terbanyak) dapat dipilih sebagai "terbaik":
Teorema (Mei 1952). Metode keputusan sosial untuk memilih antara dua kandidat memenuhi netralitas, anonimitas dan responsif positif jika dan hanya jika metode tersebut adalah aturan mayoritas.  Mei (1952)  generalisasi dan karakterisasi alternatif dari aturan mayoritas. Dengan lebih dari dua kandidat, hasil terpenting adalah teorema ketidakmungkinan  Arrow yang terkenal (1963). Panah menunjukkan   tidak ada fungsi kesejahteraan sosial ( fungsi pilihan sosial memetakan urutan preferensi linear pemilih ke urutan preferensi sosial tunggal) memuaskan domain universal, kebulatan suara, non-kediktatoran (urutan sosial didefinisikan sebagai urutan satu individu) dan properti utama berikut:  Independensi Alternatif yang Tidak Relevan : Peringkat sosial (lebih tinggi, lebih rendah, atau acuh tak acuh) dari dua kandidat A dan B hanya bergantung pada peringkat relatif A dan B untuk setiap individu.
