Algoritma dan Pemrograman dalam Matematika

ALGORITMA DAN PEMROGRAMAN DALAM MATEMATIKA

 

RIDHO MAULANA SIMATUPANG
0305202075

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUMATERA UTARA

E-mail: ridhosimatupangmaulana@gmail.com

ABSTRAK

Artikel ini ditulis untuk menyelesaikan tugas mata kuliah Algoritma Pemrograman dan menulis artikel ini. Ini Hal ini memungkinkan siswa dan siswi untuk lebih memahami dasar-dasar algoritma dan apa itu pemrograman dan bagaimana memprogram algoritma dalam matematika. Artikel ini menjelaskan algoritma pemrograman matematika. Strategi yang digunakan dalam artikel ini adalah teknik library. Dalam artikel ini, kita mengeksplorasi apa itu algoritma dan program, bagaimana algoritma dan program terkait, dan bagaimana algoritma berfungsi dalam matematika. Mempelajari algoritma pemrograman ini sangat penting. Algoritma adalah urutan yang digunakan untuk memecahkan suatu masalah, karena memecahkan masalah dengan cara yang terstruktur, logis, dan sistematis.

Kata Kunci: Algoritma dan Pemrograman, Matematika 

ABSTRACT

This article was written to complete the Programming Algorithm coursework and wrote this article. This allows students to better understand the basics of algorithms and what programming is and how to program algorithms in mathematics. This article describes a mathematical programming algorithm. The strategy used in this article is the library technique. In this article, we explore what algorithms and programs are, how algorithms and programs are related, and how algorithms function in mathematics. Learning this programming algorithm is very important. Algorithm is a sequence used to solve a problem, because it solves problems in a structured, logical, and systematic way.

Keywords: Algorithm and Programming, Mathematics

PENDAHULUAN

Algoritma yang digunakan dalam matematika dan ilmu komputer adalah untuk memecahkan masalah tertentu. Algoritma umumnya digunakan dalam proses komputer, pemrosesan data, dan otomatisasi. Lebih khusus lagi, algoritma adalah metode efisien yang mengelola daftar terbatas dari serangkaian perintah yang ditentukan untuk menghitung suatu fungsi. Berawal dari nilai awal, kemudian kumpulan perintah yang pernah dieksekusi akan memproses kondisi yang telah ditetapkan untuk menghasilkan hasil dan kemudian menentukan kondisi akhir. Dalam pemecahan masalah, ada beberapa kriteria pada kondisi awal yang harus dipenuhi sebelum menjalankan algoritma. Algoritma akan selalu bekerja untuk semua kondisi yang memenuhi kriteria. Dalam sistem komputer, algoritma adalah representasi langsung dari logika yang ditulis oleh pembuat perangkat lunak agar lebih efisien dalam mencapai tujuan perangkat lunak, untuk memperoleh keluaran dari masukan yang diberikan (kadang-kadang nol). Kompleksitas suatu algoritma adalah ukuran proses yang dibutuhkan algoritma untuk memecahkan suatu masalah. Selain itu, algoritma yang dapat menyelesaikan masalah apa pun dalam waktu singkat memiliki kompleksitas yang lebih besar daripada algoritma yang membutuhkan waktu lama untuk menyelesaikan masalah dengan kompleksitas yang lebih besar.

            Menurut Munir (2016), kontribusi matematika untuk informasi dan teknologi komputer meliputi Aljabar Boolean, Algoritma, Teori Informasi, Logika Simbolik, Probabilitas, Kalkulus, dan Statistik. Hubungan antara matematika dan komputer ada dalam dua cara. Pertama, matematika dapat menggunakan bahasa pemrograman untuk menemukan persamaan logika rasional yang bisa diterjemahkan ke komputer. Kedua, komputer dapat melakukan perhitungan logis dan matematis yang rasional dengan cepat serta akurat. Keterbatasan komputer dapat diatasi dengan logika matematika, dan masalah matematika seperti menghitung jumlah pasir dalam skala dapat terkomputerisasi.

METODE PENELITIAN

Cara penulisan artikel ini adalah dengan menggunakan metode kepustakaan dimana penhimpunan data membutuhkan jurnal, buku, dan penelitian terkait dalam artikel ini. Untuk mengetahui metode apa yang dapat kita gunakan untuk meningkatkan pengetahuan atau pemahaman kita tentang algoritma dan pemrograman dalam matematika.

PEMBAHASAN

• Algoritma

Istilah algoritma berasal dari istilah algoris dan ritmis. Pertama kali ditemukan oleh Abu Ja'far Mohammad bin Musa Al Khawarizmi di Al-Jabr Waal Muqobla. Pemrograman algoritma menyajikan langkah-langkah spesifik dan tepat yang terdiri dari serangkaian langkah-langkah yang digambarkan secara teratur dan sistematis yang kemudian dilakukan untuk menyelesaikan masalah komputer.

Algoritma adalah serangkaian langkah logis yang terorganisir secara sistematis untuk memecahkan masalah. Setiap langkah disebut logis karena Anda dapat mempelajarinya dengan percaya diri. Algoritma adalah cara berpikir yang bertujuan untuk memecahkan tugas atau masalah.

Algoritma sangat membantu programmer komputer untuk memahami konsep logika pemrograman dan membuat modul program. Algoritma pada dasarnya lahir dari konsep logika matematika, sehingga untuk memahami algoritma membutuhkan pengetahuan dasar matematika. Yang perlu Anda latih di sini adalah kemampuan logika untuk benar-benar menyusun langkah-langkah pemecahan masalah. Algoritma adalah kumpulan instruksi yang diperjelas untuk menunjukkan serangkaian langkah-langkah untuk memecahkan suatu masalah (problem solving). Secara umum, algoritma mirip dengan apa yang Anda lakukan setiap hari, seperti menyalakan mobil atau memasak nasi.

French, C.S. (1984) menyatakan bahwa algoritma adalah seperangkat konsep yang berkaitan dengan masalah desain program: keterampilan komputasi, kesulitan, dan akurasi. Penerapan konsep ini biasanya digunakan dalam desain algoritma. Ketika mengembangkan algoritma, Fletcher (1991) menyediakan beberapa metode atau metode: perintah, ekspresi, tabel perintah, program komputer, pseudocode, dan flowchart, dan Knuth (1973) menyediakan algoritma dasar. Metode yang banyak digunakan untuk tujuan pemrograman matematika dan komputer adalah diagram alir, kodesemu, dan algoritma dasar.

Berikut ini adalah ciri-ciri suatu algoritma, yaitu:

•  Kepastian
• Langkah-langkahnya harus jelas dan lugas.
• Keterbatasan
• Menggunakan kendala menyebabkan algoritme berhenti setelah menjalankan beberapa proses dan langkah.
• Efektif
• Efektif di sini berarti suatu instruksi yang dijalankan secara efektif.
• Masukan
• Algoritma tidak harus hanya memiliki satu input, tetapi algoritma dapat memiliki nol atau lebih input.
• Keluaran
• Output yang dimiliki menghasilkan setidaknya satu output.

Algoritma memiliki sifat-sifat berikut:

• Simbol dan tanda baca tidak boleh standar juga tidak boleh diperoleh dari bahasa pemrograman tertentu
• Tidak tergantung pada bahasa pemrograman tertentu
• Urutan dan simbolnya dapat digunakan untuk menerjemahkan ke dalam bahasa pemrograman apapun, dan
• Algoritma berlaku untuk setiap peristiwa setiap hari dan dapat digunakan untuk merepresentasikan peristiwa secara logis.

Struktur dasar dari algoritma adalah sebagai berikut

• Sekuensial (urutan)
• Dalam struktur sekuensial ini, langkah yang dicoba oleh algoritma diproses secara berentetan. Mulailah dengan langkah awal. Pada dasarnya, program melaksanakan proses bersumber pada struktur ini.
• Struktur Seleksia
•       Struktur seleksi menetapkan pilihan berdasarkan kondisi atau keputusan. Struktur ini selalu disertai dengan flowchart decision (diamond-shaped flowchart). Ketika sampai pada keputusan, ada banyak contoh yang dapat diterapkan pada jenis struktur ini, termasuk diskon yang berbeda tergantung pada jumlah produk yang akan dibeli.
• Struktur pengulangan
•       Struktur ini menunjukkan tugas atau tindakan yang dieksekusi berkali-kali. Misalnya, seorang teman Anda ingin menulis kata "belajar" sebanyak 10 kali. Lebih efektif bagi seorang teman untuk menggunakan struktur ini daripada menulis 10 kali berturutan.

            Pertimbangan dalam memilih suatu algortima adalah pertama, ketika memilih suatu algoritma adalah bahwa algoritma tersebut harus valid. Ini berarti bahwa algoritma menghasilkan hasil yang diinginkan dari sejumlah input tertentu. Bukan masalah seberapa bagus algoritmanya, apabila didapatkan hasil yang keliru, itu jelas bukan algoritma yang bagus. Kedua, algoritma yang bagus adalah dapat menghasilkan hasil yang sedekat mungkin dengan nilai sebenarnya. Kita perlu tahu seberapa bagus algoritmanya. Hal ini sangat penting bagi algoritma untuk menyelesaikan masalah yang membutuhkan hasil perkiraan (hasil hanya perkiraan). Ketiga, efisiensi algoritma sama benarnya (mendekati kebenaran) dengan algoritma, tetapi membutuhkan waktu. Apakah Anda menjalankan algoritma dengan benar? Untuk apa? Inti dari algoritma yang baik adalah mendapatkan jawaban yang benar (mendekati kebenaran) dengan cepat.

• Penyajian Algortima

Algoritma tidak tergantung pada bahasa pemrograman tertentu. Susunan algoritma tidak terikat pada suatu kondisi tertentu, tetapi maknanya harus jelas untuk setiap tahapan algoritma.

Secara umum ada tiga jenis algoritma, yaitu:

• Algoritma dengan struktur bahasa Indonesia
• Karakteristik umum
• Jangan gunakan simbol atau sintaks dari bahasa pemrograman
• Terlepas dari bahasa pemrograman, dan
• Simbol seperti ini dapat digunakan dalam bahasa apa pun.

Contoh : Hitung rata-rata dari tiga kumpulan data

Struktur algoritma dalam bahasa Indonesia :

• Membaca angka   dan 
• Menambahkan tiga angka
• Membagi angka dengan tiga, dan
• Menulis hasilnya.
• Algoritma dengan Pseudocode
• Menyajikan algoritma dalam pseudocode mirip dengan menulis kode pemrograman yang sebenarnya. Ide yang diungkapkan dalam pseudocode lebih detail daripada ide yang diungkapkan dalam struktur bahasa Inggris/Indonesia.
• Contoh: hitung rata-rata dari tiga data
• Algoritma dengan struktur pseudocode :
• Masukan 
• Jumlah = 
• Rata-rata = Jumlah/
• Keluaran (Rata-rata).
• Algortima dengan Flowchart
• Flowchart adalah representasi gambar bagaimana langkah-langkah program komputer dijalankan. Flowchart membantu analis dan pemrogram memecah masalah menjadi bagian-bagian yang lebih kecil dan menganalisis alternatif untuk operasi.
• Kegunaan:
• Desain program
• Presentasi program.
• Dengan demikian, diagram alur dapat mewakili komponen dalam bahasa pemrograman.
• Pemrograman

            Program adalah seperangkat instruksi individu yang dibuat oleh seorang programmer, biasanya disebut kode sumber.

Menurut ahli definisi program:

• Amikom Yogyakarta
• Program adalah sekumpulan instruksi komputer, dan metode serta langkah-langkah sistem dalam program adalah algoritma.
• Uta Ema
• Program tersebut merupakan bahasa pemrograman.
• Sukrisno
• Program merupakan serangkaian langkah yang disusun dan dirangkai menjadi kata, ekspresi atau kalimat dari suatu kesatuan proses untuk memecahkan masalah yang diimplementasikan dalam bahasa pemrograman sehingga dapat dieksekusi oleh komputer.
• Anwar Harjono
• Program adalah serangkaian instruksi untuk melakukan perhitungan.
• Saifuddin Anshari
• Rencana ialah daftar rinci kegiatan serta upaya yang akan dilakukan.
• Sunarto, S.Kom
• Program, yaitu instruksi yang diwujudkan dalam bahasa, kode skema, atau bentuk lain, yang bila digabungkan dengan media yang dapat dibaca oleh komputer, bekerja untuk melakukan fungsi-fungsi tertentu, termasuk persiapan untuk merancangnya. instruksi.
• Wiryanto Dewobroto
• Program merupakan hasil dari langkah-langkah rinci algoritma yang disusun.
• Binanto
  Menurut Binanto, istilah program dan programming dapat diartikan sebagai berikut:
• Tulis instruksi individu, biasanya disebut kode sumber, dibuat oleh programmer.
• Menjelaskan seluruh perangkat lunak yang dapat dieksekusi.
• Program adalah kumpulan instruksi tertulis atau tertulis yang dibuat oleh programmer atau bagian yang dapat dieksekusi dari perangkat lunak.
• Pemrograman berarti membuat program komputer.
• Pemrograman adalah sekumpulan perintah kepada komputer untuk melakukan sesuatu. Perintah ini memerlukan bahasa lain yang dapat dimengerti oleh komputer Anda.
• Perbedaan Algortima dan Pemrograman

Bahasa pemrograman dan algoritma sangat erat kaitannya dengan program. Menggunakan algoritma yang baik tanpa memilih struktur data yang tepat akan mengurangi kualitas programan dan sebaliknya. Untuk program, algoritma harus mematuhi aturan berikut:      

• Membuat atau menulis prosedur pemecahan  tidak bergantung di bahasa pemrograman. Dengan kata lain, membuat algoritma tidak tergantung pada bahasa pemrograman serta komputer yang memprosesnya.
• Notasi algoritma bisa diterjemahkan ke pada banyak bahasa pemrograman.
• Outputnya sama karena algoritmanya sama terlepas dari bahasa pemrogramannya.

            Algoritma dirancang untuk membantu menerjemahkan masalah bahasa pemrograman Algoritma tersebut merupakan hasil refleksi konseptual yang perlu diterjemahkan ke dalam notasi bahasa pemrograman untuk diimplementasikan pada komputer. Ada beberapa faktor yang perlu dipertimbangkan ketika menerjemahkan, yakni:

• Deklarasi variabel
• Program membutuhkan variabel untuk menyimpan data masukan, mengolah dan memperoleh hasil perhitungan.
• Pilih tipe data
• Jika Anda membutuhkan deklarasi variabel dalam proses penulisan program, Anda harus memilih tipe data, karena setiap variabel harus membutuhkan tipe data saat dideklarasikan.
• Petunjuk penggunaan atau pemilihan
• Ada beberapa instruksi (urutan, pemilihan, dan pengulangan) dalam bahasa pemrograman, dan urutan langkah dalam suatu algoritma dapat diterjemahkan ke dalam satu atau lebih instruksi ini.
• Aturan Tata Bahasa
• Saat menulis program, kami mempertimbangkan aturan sintaks dalam bahasa pemrograman yang akan digunakan. Setiap bahasa memiliki seperangkat aturan khusus tentang cara menulis kalimat dalam bahasa tersebut.
• Tabel Hasil
• Ketika kami datang dengan algoritme, kami tidak mempertimbangkan seperti apa hasilnya. Jenis teknologi ini dipertimbangkan ketika mengubahnya menjadi sebuah program.
• Cara menggunakan compiler atau interpreter
• Bahasa pemrograman yang digunakan termasuk dalam kelompok compiler atau interpreter. Tidak ada orang yang memiliki gaya kerja yang sama.

            Komputer adalah tempat pengolah. Untuk bekerja pada komputer, suatu algoritma harus ditulis dalam simbol-simbol bahasa pemrograman, ditulis dalam bentuk perintah yang dapat dimengerti oleh komputer, yang disebut program. Program adalah implementasi teknis atau aplikasi dari suatu algoritma yang ditulis dalam bahasa pemrograman tertentu sehingga dapat dijalankan di komputer. Program ini ditulis dalam bahasa pemrograman. Membuat program disebut pemrograman. Orang yang menulis program disebut programmer. Setiap aksi dalam program disebut satu atau lebih perintah. Oleh karena itu, sebuah program terdiri dari serangkaian instruksi. Ketika suatu perintah dijalankan, komputer menjalankan pemrosesan sesuai dengan perintah tersebut.

• Algortima Pemrograman dalam Matematika

Menerapkan algoritma matematika berikut ini:                         

• Menentukan bilangan genap atau ganjil
• Ubah desimal ke biner
• Periksa apakah suatu bilangan prima
• Tentukan faktor persekutuan terbesar, dan
• Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh garis

Penjelasannya adalah sebagai berikut:

• Mencari bilangan genap atau ganjil

            Jika ingin menemukan angka seperti ganjil atau genap, Anda perlu memahami konsep angka ganjil dan genap. Bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi nol atau sisanya nol.

Langkah 01                                                    Penjelasan

 

Langkah 02                                        Penjelasan

 

Jika 2 dikalikan dua kali, maka angka 2 dikalikan dua kali lagi dan hasilnya adalah 8.

Contoh:

Angka = 8;

(8/2)*2 = 8   genap

 

 

 

• Mengubah desimal ke biner

            Jika dimasukkan bilangan bulat desimal, nomor tersebut akan ditampilkan dalam format biner. Nomor yang akan dicetak dimasukkan

1          0          0          0          0          0          0          0          1

5          0          0          0          0          0          1          0          1

15        0          0          0          0          1          1          1          1

128      1          0          0          0          0          0          0          0

255      1          1          1          1          1          1          1          1

            Cara 1                                                            Penjelasan

 

 

Nilai terbesar yang dapat dikonversi adalah 255, yang disimpan sebagai bilangan biner 8 bit, yaitu:

Nilai paling kiri dalam bilangan biner adalah 128.

Setiap bit mengeksekusi if loop, dimana loop maksimum adalah 8 kali  

 

Dan digunakan untuk mempresentasikan nilai bit.

            Cara 2                                                Penjelasan

#sertakan iostream

Menggunakan namespace std ;

     {A = bil / B;

          

           

           
         Return  ;}

I

N

X

A=bil/B

B=B/2

• Memeriksa suatu bilangan prima

Bilangan prima adalah bilangan bulat yang hanya habis dibagi oleh bilangan itu sendiri, kecuali  .

Beberapa contoh bilangan prima :     dan seterusnya.

Ada beberapa konsep yang perlu diingat ketika mendefinisikan bilangan prima.

Konsep pertama:

Misalnya, n adalah angka yang dimasukkan dan memeriksa apakah n habis dibagi salah satu nilai di bawahnya atau habis dibagi dengan nilai apa pun yang lebih kecil dari n.

Jika habis n bukan bilangan prima

Jika tidak habis n adalah bilangan prima.

Contoh:

Misalnya > n = 9

Angka di bawah nilai 

Ketika nilai 9 dibagi dengan nilai atau angka di bawahnya, 9 habis dibagi 3. 9 bukan bilangan prima.

Misalnya > n = 11

Angka di bawah nilai 

Ketika   dibagi dengan nilai atau angka di bawahnya, ternyata   tidak habis dibagi dengan angka di bawahnya. Hingga   adalah bilangan prima.

Konsep pertama dari identifikasi desimal yang diimplementasikan dalam sebuah program dengan menggunakan bahasa pemrograman C++ dapat dilihat pada daftar program berikut.

Daftar 14.1: bil prima 1.ccp

Note : Pada program diatas, jika angka input adalah 9, tidak akan menghasil-

            kan bilangan prima. Jika angka yang dimasukkan 11, bilangan prima             

            akan keluar.

Konsep kedua:

Kita ambil  bilangan prima berikut sebagai contoh:   

Jika kita menganggap bilangan prima di atas berbeda untuk  , maka semua angka ganjil termasuk bilangan prima.

Algoritma yang dapat diterapkan untuk memeriksa apakah bilangan tersebut adalah bilangan prima dapat dilakukan dengan cara berikut:

• Jika n adalah   maka print out "bilangan prima" dan proses berakhir.
• Untuk n selain  , maka periksa:
• Jika bilangan genap (bilangan genap yang habis dibagi  ) maka print "bukan prima" dan proses berakhir.
• Jika bilangan ganjil periksa apakah bilangan prima.

Daftar 14.2: bil prima 2.cpp

 

• Mencari faktor persekutuhan terbesar

Faktor Persekutuhan Terbesar (FPB) adalah pembagi terbesar. Perhatikan contoh berikut:

Sebagai contoh kita tahu bahwa ada dua bilangan bulat n1 dan n2, dengan nilai:

n1 =   dan n2 = 

untuk menemukan faktor persekutuhan terbesar dari dua angka sebagai berikut:

30 habis dibagi untuk: 

90 habis dibagi untuk: 

Melihat hasil diatas nilai   dan   memiliki pembagi yang sama: 

Dan pembagi persekutuan terbesar adalah   maka faktor persekutuhan terbesar dari   dan   adalah  .

Cara diatas merupakan cara yang paling sering digunakan untuk mencari faktor persekutuhan terbesar.

Menggunakan Algoritma Euclidean

Algoritma Euclidean adalah implementasi atau penerapan suatu algoritma secara iteratif sampai menghasilkan nol residual (sisa  ).

Sebagai contoh kita mengetahui bahwa dua  bilangan bulat n1   dan n2  , dengan menggunakan Algoritma Euclidean hal ini dilakukan sebagai berikut:

  diperoleh dengan membagi   dan   adalah sisanya.

  diperoleh dari sisa pembagian sebelumnya   diperoleh dari pembagian  sisanya adalah 

Jadi, faktor persekutuan terbesar dari   dan   adalah   (adalah nilai pembagian paling akhir).

• Menghitung luas suatu area/bidang yang dibatasi garis

Misalnya ada trapesium ABCD dengan gambar berikut:

Trapesium atas dibentuk oleh garis:

secara matematis luas trapesium dapat dihitung sebagai

Dengan menggunakan integral:

Luas trapesium =   

                   = 

                        = 

• Kesimpulan

            Algoritma adalah langkah-langkah yang dibuat dan ditempatkan satu demi satu untuk menyelesaikan suatu masalah. Dalam pemrograman, algoritma adalah langkah-langkah yang ditulis secara berurutan untuk memecahkan suatu masalah dalam pemrograman PC (Personal Computer). Dalam pemrograman sederhana, prosedur solusi adalah langkah pertama yang perlu Anda buat sebelum Anda dapat menulis sebuah program. Masalah yang dapat diselesaikan dengan pemrograman PC (Personal Computer) berkaitan dengan perhitungan matematis.

      Dengan menggunakan algoritma, anda dapat memecahkan masalah mulai dari yang sederhana hingga yang rumit sekalipun. Namun demikian, pengguna harus dapat menulis kode dalam bahasa yang dapat dimengerti oleh komputer. Sebelum kita mengubah flowchart ke dalam bahasa umum, terlebih dulu kita buat diagram alir (Flow Chart) dan  pseudo codenya. Hal ini untuk mempermudah pekerjaan atau prosedur. Selain itu, algoritma dapat menyelesaikan masalah logika dan matematika secara berurutan, tetapi terkadang algoritma tidak selalu berurutan, yang disebut proses percabangan.

Dalam algoritma, kita harus bisa menguasai pengetahuan dasar algoritma, pemecahan masalah yang paling efektif dan  tercepat. Ini akan sangat mudah untuk mengimplementasikan algoritma yang telah kita kuasai ke dalam program.

DAFTAR PUSTAKA

 

Ardiansyah. H, dkk (2019). Algoritma dan Pemrograman 1. Banten: Unpam Press.

A.S, R (2018). Logika Algoritma dan Pemrograman Dasar. Bandung: Modula.

Barakbah. Ali Ridho, dkk (2013). Logika dan Algoritma. Surabaya: Politeknik Eloktronika Negeri Surabaya.

Budiman. Edy (2015). Belajar Dasar Algoritma dan Pemrograman. Samarinda: Unmul.

Dianta. Ava Indra (2019). Logika dan Algoritma Pemrograman. Semarang: Stekom Semarang.

Munir, R (2005). Algoritma dan Pemrograman dalam Bahasa Pascal dan C. Bandung: Penerbit Informatika.