Dalam tulisan-tulisan sebelumnya sudah dijelaskan tentang bagaimana Heisenberg membangun sebuah mekanika baru untuk sistem atom yang disebut dengan mekanika kuantum. Kemudian, dengan dibantu seorang asisten bernama Pascual Jordan, Max Born, mantan atasan Heisenberg di Gottingen mentranskripsikan model perhitungan mekanika atom Heisenberg ke dalam bentuk perhitungan matematika formal yang disebut matriks. Pada akhirnya, ketiga fisikawan ini berkolaborasi menyempurnakan pekerjaan mereka dalam sebuah makalah pamungkas yang disebut the three men's paper dan menandai lahirnya mekanika kuantum matriks. Mekanika matriks adalah formalisme mekanika kuantum pertama sebelum munculnya mekanika gelombang versi Schrodinger.
Mekanika kuantum versi Heisenberg, dkk., merupakan mekanika atom yang dibangun berdasarkan pada parameter-parameter fisik atom yang dapat diamati, yaitu lompatan kuantum atau transisi atom. Dalam mekanika ini, semua variable kuantum dideskripsikan atau diterjemahkan ke dalam bentuk matriks. Beberapa bulan setelahnya, secara terpisah, Erwin Schrodinger memformulasikan jenis formalisme mekanika kuantum yang lain, yang didasarkan pada asumsi yang benar-benar berbeda dari mekanika matriks, yaitu berdasarkan pada dualisme sifat gelombang-partikel. Versi Heisenberg, dkk., didasarkan pada lompatan kuantum yang diwariskan dari jalur Bohr, sedangkan versi Schrodinger didasarkan pada sifat dualism gelombang-partikel yang diwariskan dari jalur Einstein.
Jadi, kita mengetahui secara umum bahwa ada dua jenis formula mekanika kuantum, yaitu mekanika matriks versi Heisenberg, dan mekanika gelombang versi Schrodinger. Namun, di antara dua versi ini terselip versi ketiga yang dirumuskan oleh Dirac dan dikenal sebagai aljabar kuantum. Aljabar kuantum versi Dirac tidak lain adalah bentuk formalisme lain dari matriks Heisenberg. Jadi, versi Heisenberg dan Schrodinger memiliki background yang benar-benar berbeda, sedangkan versi Dirac memiliki background yang sama dengan milik Heisenberg, sehingga sering dianggap sebagai 'kembaran' dari mekanika matriks dalam versi yang berbeda (bentuk aljabar).
Kembali pada saat dimana Heisenberg pertama kali menyelesaikan perumusan teori kuantumnya di Heligoland. Pada saat itu, Heisenberg memang berhasil meletakkan dasar-dasar yang diperlukan untuk mekanika atom (kuantum), hanya saja dia sedikit bingung dengan aturan perhitungan aneh yang baru pertama kali dia temukan saat merumuskan teori tersebut. Karena itu, setelah meninggalkan Heligoland ia menyerahkan makalahnya kepada Max Born dan meminta Born memeriksanya apakah layak untuk dipublikasikan atau tidak. Jika Born menyukainya dan menganggapnya layak, maka Heisenberg mengizinkan Born untuk mempublikasikannya.
Setelah menyerahkannya kepada Born, Heisenberg kembali ke Kopenhagen, Denmark, untuk menyelesaikan hibah penelitian bersama Niels Bohr di institute Bohr. Ia juga mendapatkan kesempatan untuk berkunjung dan memberikan kuliah di universitas Cambridge Inggris pada tanggal 28 Juli 1925. Selama kunjungannya ke Cambridge, Heisenberg hanya berbicara tentang efek Zeeman di depan umum, karena dia masih belum yakin tentang makalah kuantumnya yang saat itu masih diperiksa oleh Max Born. Meskipun demikian, dalam percakapan-percakapan yang bersifat pribadi, Heisenberg menyinggung tentang makalah terbarunya tersebut, dan salah satu partisipan dalam percakapan tersebut adalah Ralph Fowler, salah satu fisikawan Inggris yang sangat dihormati pada masa itu. Karena penasaran, Fowler meminta Heisenberg untuk mengirimkannya salinan dari makalah tersebut. Setelah mendapatkan salinan tersebut, Fowler meneruskan kepada murid mudanya bernama Paul Dirac.
Pada saat itu, Paul Adrien Maurice Dirac adalah seorang mahasiswa fisika Cambridge berusia 23 dan lebih mudah 8 bulan dari Heisenberg. Dirac merupakan seorang yang pemalu dan diketahui sedikit menderita autism. Namun, hingga kini Dirac dikenal sebagai satu-satunya teoritikus Inggris yang sejajar dengan Sir Isaac Newton. Ia menyelesaikan gelar sarjananya di bidang teknik elektro dan matematika terapan di Universitas Bristol Inggris pada tahun 1921. Ketika ia mendengar bahwa teori relativitas umum Einstein tentang kelengkungan ruang-waktu beserta prediksinya tentang pembelokan cahaya berhasil dikonfirmasi oleh pengamatan gerhana Matahari oleh ahli kosmologi Inggris bernama Arthur Eddington, Dirac menjadi terpesona dan memutuskan untuk mengejar gelar doktor fisika di universitas Cambridge. Sebagai mahasiswa dari ahli teori terkenal R.H. Fowler, minatnya dalam relativitas meluas hingga mencakup fisika atom.
Dirac mendapatkan salinan makalah Heisenberg dari Fowler pada awal September 1925. Awalnya, ia sama sekali tidak memiliki banyak gambaran tentang perhitungan yang dibuat Heisenberg, namun kira-kira sekitar dua minggu setelahnya ia menemukan titik terang dari perhitungan Heisenberg tersebut sebagai kunci untuk menyelesaikan masalah-masalah mekanika dalam lingkup atom. Dirac mengapresiasi fakta sederhana yang begitu penting dan sangat mendasar tentang sifat perkalian non-komutatif, yaitu bahwa a x b tidak sama dengan b x a. Namun, tidak seperti Heisenberg, Dirac sudah familiar dengan model matematika seperti itu.
Dirac memulainya dengan menyederhanakan penulisan notasi dari perhitungan Heisenberg, sama seperti ketika Born menyederhanakan penulisan notasi dari Heisenberg sebelum memformulasikannya ke dalam bentuk matriks. Ia kemudian memperoleh analogi berharga antara aturan perkalian aneh Heisenberg dengan apa yang dikenal sebagai kurung Poisson; matematika yang dikembangkan oleh teoritikus Perancis bernama Simeon Poisson pada tahun 1809. Dirac secara independen tiba pada hubungan komutasi antara posisi dan momentum, membuktikan prinsip konservasi energi, dan menurunkan rumus untuk hubungan antara energi dari orbit yang stabil dan frekuensi radiasi yang dipancarkan.
Karena sebelumnya ia sudah mempelajari teori transformasi mekanika Hamiltonian dari kuliah yang diberikan Fowler, dan dari apa yang dia pelajari dari buku milik Sommerfeld, maka mudah bagi Dirac untuk menemukan hubungan antara persamaan mekanika kuantum dan mekanika klasik Hamiltonian. Dalam hubungan ini, mekanika klasik menjadi kasus khusus dari mekanika kuantum untuk sistem dengan bilangan kuantum yang besar atau dalam kasus yang mana konstanta Planck dapat diabaikan atau sama dengan nol. Dirac mengirimkan versi tulisan tangan dari makalahnya yang menjelaskan hasil ini kepada Heisenberg, dan kemudian sedikit kecewa ketika mengetahui bahwa karyanya telah diantisipasi oleh Born dan Jordan. Teka-teki dari perhitungan Heisenberg tersebut ternyata telah diformulasikan ulang oleh Born dan Jordan dalam bentuk matriks, berbeda dengan aljabar Dirac yang menggunakan kurung Poisson. Meskipun demikian, dengan penuh pujian Heisenberg mengatakan:
". . . di satu sisi, hasil Anda, terutama mengenai definisi umum dari hasil bagi diferensial dan hubungan kondisi kuantum dengan tanda kurung Poisson, jauh lebih baik daripada pekerjaan [Born dan Jordan]; di sisi lain, makalah Anda juga ditulis dengan lebih baik dan lebih ringkas daripada rumusan yang kami berikan di sini (Goettingen)."
