Soal Persamaan I
Persamaan soal I merupakan pengali Lagrange untuk tax havens. Persamaan tersebut membantu memaksimalkan nilai fungsi dengan tujuan tunduk pada kendala. Dalam case suaka pajak, itu adalah kendala meminimalkan kewajiban pajak. Pengganda Lagrange digunakan untuk mencari solusi secara optimal dalam situasi adanya kendala, dan sangat berguna bagi ekonomi dan keuangan, akibat sering terjadi pertukaran antara beberapa tujuan.
Langkah pertama kita bentuk fungsi Lagrange untuk soal ini.
- L(x1, x2, x3, 1, 2, 3) = 4x(2,1) + 2x(2,2) + x(2,3) - 4x1x2 + 1(15 - x1 - x2 - x3) + 2 (20 - 2x1 - x2 - 2x3) + 3x1 + 4x2 + 5x3.
Langkah kedua, menemukan titik kritis dengan cara menghitung turunan parsial dari Lagrangian dan menyetelnya sama dengan 0, sebagai berikut:
- L/x1 = -4x2 + 1 + 22 + 3 = 0
- L/x2 = -4x1 + 1 + 2 + 4 = 0
- L/x3 = -1 - 22 + 5 = 0
- L/1 = 15 - x1 - x2 - x3 = 0
- L/2 = 20 - 2x1 - x2 - 2x3 = 0
L/3 = x1 = 0
L/4 = x2 = 0
L/5 = x3 = 0
Maka kita mempunyai lima persamaan dan 5 tidak diketahui (x1, x2, x3, 1, 2), yang dapat diselesaikan secara bersamaan. Selanjutnya dapat disederhanakan menjadi tiga persamaan pertama:
1 + 22 = 4x2
1 + 2 = 4x1
1 + 22 - 3 = 2 + 4 = -1 + 5 = 0
Lalu memecahkan sistem persamaan, dan mendapatkan berikut:
x1 = 0
x2 = 5/2
x3 = 10
1 = 9/2
2 = -3/2
3 = -11/2
4 = 13/2
5 = 9/2
Hasil dari pengali Lagrange untuk surga pajak soal ini adalah:
z = 4(2,5) + 2(2) + 1(10) - 4(0)(2,5) = 11.
Sehingga nilai optimal z tunduk pada kendala yang diberikan adalah 11.
Cara kedua:
- L = f(x1, x2) - λ1g1(x1, x2) - λ2g2(x1, x2)
- L = (4x1^2 + 2x2^2 + x3^2 - 4x1x2) - λ1(x1 + x2 + x3 -15) - λ2(2x1 - x2 + 2x3 - 20)
∂L/∂x1 = 8x1 - 4x2 - λ1 - 2λ2 = 0
∂L/∂x2 = 4x2 - 4x1 - λ1 + λ2 = 0
∂L/∂x3 = 2x3 - λ1 - 2λ2 = 0
2x3 = λ1 + 2λ2
∂L/∂ λ1 = x1 + x2 + x3 -15 = 0
x1 + x2 + x3 =15
∂L/∂λ2 = 2x1 - x2 + 2x3 - 20 = 0
2x1 - x2 + 2x3 = 20
∂L/∂x1 = 8x1 - 4x2 - λ1 - 2λ2 = 0
8x1 - 4x2 - (λ1 + 2λ2) = 0
8x1 - 4x2 - 2x3 = 0
8x1 - 4x2 = 2x3
8x1 - 4x2 - 2x3 = 0
x1 + x2 + x3 =15
2x1 - x2 + 2x3 = 20
Interpretasi persamaan di atas:
Kita tahu Persamaan pengali Lagrange merupakan teknik yang dipakai dalam masalah optimisasi untuk menemukan nilai optimal suatu fungsi dengan batasan yang membatasi perilakunya. Berdasar contoh di atas, kita mempunyai fungsi objektif dengan variabel lebih daria satu yang perlu dioptimalkan dengan tunduk pada dua batasan yang membatasi nilainya. Persamaan pengali Lagrange memberi kesempatan kepada kita menemukan nilai yang memaksimalkan fungsi tujuan sekaligus memenuhi kendala.
Ide yang mendasari persamaan pengali Lagrange adalah memperkenalkan variabel baru, pengali Lagrange, ke dalam fungsi tujuan untuk memperhitungkan kendala yang terjadi. Selanjutnya kendala dimasukkan ke dalam persamaan dengan cara mengalikannya menggunakann pengali Lagrange yang sesuai kemudian menambahkannya ke persamaan, membuat fungsi Lagrange. Kemudian fungsi ini membedakan hubungan antara variabel asli dan pengali Lagrange dalam menemukan titik kritis, nilai variabel yang mengoptimalkan fungsi tujuan yang tunduk pada kendala.
Oleh sebab itu, pengali lagrange mengukur sensitivitas fungsi tujuan terhadap kendala yang dikenakan adanya masalah. Hal ini sangat penting dalam ekonomi atau keuangan, yakni pembuat keputusan harus memanfaatkan sumber daya mereka sebaik-baiknya untuk mencapai tujuan perusahaan atau organisasi sembari mematuhi batasan yang diberlakukan oleh lingkungan atau regulator. Sehingga disimpulkan persamaan pengali Lagrange adalah alat yang tepat untuk memecahkan masalah optimisasi dengan berbagai kendala, di banyak bidang, termasuk teknik, manajemen, ilmu sosial, maupun ekonomi.
SOAL Persamaan II:
Ketika menentukan nilai Langrange Multiplier pada fungsi Tax Haven yang diberikan, kita harus menyelesaikan permasalahan optimasi dengan menggunakan metode Lagrange Multiplier. Langkah pertama, kita perlu menentukan fungsi Lagrange dengan cara mengalikan setiap kendala regulasi dengan sebuah multiplier, seperti berikut ini:
L(x1, x2, 1, 2) = f(x1, x2) - 1g1(x1 + x2) - 2g2(x1 + 2x2)
Langkah selanjutnya, dapat mencari nilai x1, x2, 1, dan 2 yang memenuhi kondisi gradient dari L sama dengan nol. Lalu dengan melakukan perhitungan, kita dapatkan nilai Langrange Multiplier 1 = 2 dan 2 = 1.
Interpretasi yang mungkin dari hasil perhitungan di atas adalah bahwa perusahaan lebih memilih negara Tax Haven untuk meminimalkan berapa besarnya pajak yang dikenakan dengan memanfaatkan kendala regulasi yang ada, yaitu g1 dan g2. Keputusan perusahaan untuk memilih negara Tax Haven berdasarkan pada faktor-faktor antara lain kestabilan politik dan regulasi fiskal yang memungkinkan perusahaan berupaya untuk menghindari pajak yang tinggi.
Namun, kita perlu menyadari bahwa penggunaan negara Tax Haven untuk menghindari pajak dapat menimbulkan dampak negatif yang signifikan, antara lain ketidakadilan sosial dan ekonomi, ataupun penurunan penerimaan pajak negara sehingga mengganggu kestabilan fiskal. Oleh sebab itu, penting bagi masyarakat dan pemerintah untuk mempertimbangkan implikasi maupun dampak dari penggunaan negara Tax Haven serta mengambil kebijakan yang tepat untuk mengatasi masalah tersebut.
SOAL Persamaan III:
Persamaan fungsi  soal III terkait TP yang diberikan adalah f(x)f(1/x) = f(x)f(1/x). Pada persamaan ini dapat diselesaikan dengan beberapa cara berbeda, tergantung pada jenis fungsi yang dimaksud.
Apabila f(x) = 0 untuk semua nilai x, maka persamaan tersebut akan selalu terpenuhi, dikarenakan kedua sisi persamaan nilainya sama-sama nol.
Namun, apabila f(x) 0 untuk setidaknya satu nilai x, maka kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan f(x)f(1/x), sehingga kita mendapatkan persamaan f(x) = f(1/x). Hal ini berarti, fungsi f(x) dan f(1/x) mempunyai nilai yang sama untuk setiap nilai x dalam domain fungsi.
Sehinggga Interpretasi dari hasil perhitungan di atas adalah bahwa fungsi f(x) yang memenuhi persamaan fungsi TP tersebut mempunyai sifat simetri terhadap sumbu y=x. Dapat dikatakan juga, bahwa jika kita memetakan nilai x pada grafik fungsi f(x) ke sebelah kiri sumbu y=x, maka kita mendapatkan gambaran yang sama dengan memetakan nilai 1/x pada grafik yang sama. Hal ini menjelaskan bahwa fungsi f(x) dan f(1/x) mempunyai bentuk yang serupa, sehingga dapat digunakan secara bergantian dalam suatu menyelesaikan persamaan atau perhitungan matematis.
Pengetahuan terkait sifat simetri ini dapat digunakan dalam berbagai bidang, misalnya fisika, ekonomi, ataupun matematika terapan lainnya. Sebagai contoh, dalam fisika, sifat simetri ini dapat digunakan untuk memprediksi perilaku suatu sistem dalam berbagai kondisi yang berbeda-beda. Sedangkan dalam bidang ekonomi, konsep simetri ini dapat digunakan dalam memodelkan hubungan antara berbagai variabel ekonomi yang saling mempengaruhi, misalnya harga dan permintaan. Dalam bidang matematika, sifat simetri ini dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai jenis persamaan, termasuk persamaan fungsi seperti yang telah kita bahas di atas.
