Bilangan Fibonacci dan Keistimewaan Golden Ratio

Seorang astronom bernama Galileo Galilei pernah mengatakan bahwa "Mathematics is the language with which God has written the universe". Dalam bahasa Indonesia berarti "Matematika adalah bahasa yang digunakan Tuhan untuk membuat alam semesta ini". Ia mungkin sedang mengungkapkan pemahamannya tentang bagaiman pemahamannya tentang bagaimana pentingnya matematika di dalam keberadaan kita, pepatah ini begitu relevan bahkan hingga hari ini, dimana matematika adalah kunci dari begitu banyak kehidupan modern kita.

Misalnya angka "pi" () atau 3,14... atau 22/7 muncul saat kita menghitung sebuah lingkaran. Bukan kebetulan bahwa sebagian besar benda langit sendiri berbentuk bola, semisal Bumi, Bulan, dan Matahari. Lalu mungkin muncul pertanyaan di benak kita, apakah ada angka tertentu yang seakan-akan dijadikan patokan dalam Penciptaan seluruh kehidupan, bahkan alam semesta?

Jawabannya mungkin bisa kita ketahui menggunakan deret bilangan yang disebut sebagai "Deret Fibonacci".

DERET FIBONACCI

Jika kita menanyakan pertanyaan di atas tentang "bilangan favorit Tuhan" kepada kaum Katolik di masa Eropa kuno, maka mungkin mereka menjawab bahwa angka mistis yang mengatur seluruh alam semesta adalah "7". Hal ini mengingat betapa seringnya angka 7 muncul dalam Kitab Suci, seperti Tuhan menciptakan dunia dalam 7 hari, ada 7 hari dalam seminggu, ada 7 dosa mematikan (Seven Deadly Sin : Pride, Greed, Wrath, Envy, Lust, Gluttony, Sloth), bahkan kemunculan 7 malaikat dengan 7 terompet sangkalala pada hari kiamat.

Ketika merumuskan Bilangan Fibonacci, mungkin bukan hal tersebut yang dipikirkan oleh seorang pemuda bernama Leonardo Fibonacci. Leonardo lahir pada tahun 1170 di Pisa, Italia. Ayah Leonardo merupakan seorang pedagang yang menharuskan untuk sering berpergian kemana-mana ingin putranya dapat meneruskan bisnis keluarga mereka. 

Karena itulah, ia kemudian menyekolahkan Leonardo hingga jauh ke Maroko, di ujung utara Benua Afrika (wilayah Maghribi) untuk berguru pada seorang guru Muslim. Kala itu masihlah puncak kejayaan "Golden Age of Islam" (abad ke 8 hingga 14 M) sehingga ayahnya tahu pendidikan terbaik berada di negara-negara Islam, sedangkan di Eropa sendiri masih berkecamuk "Dark Age".

Sayangnya saat telah dewasa dan kembali ke Italia, Leonardo justru lebih tertarik dengan keindahan sains, sehingga ia sama sekali tak berminat menjadi pedagang dan ia malah menjadi matematikawan. Ia kemudian merumuskan sebuah model yang menggambarkan laju reproduksi kelinci (Fibonacci's Rabbits) dimana ia kemudian menemukan Bilangan Fibonacci. Bilangan Fibonacci sebenarnya merupakan kumpulan angka yang menyusun sebuah deret bilangan dimana angka selanjutnya adalah hasil penambahan kedua angka sebelumnya.

Angka pertama dan kedua Deret Fibonacci adalah 0 dan 1. 0+1 adalah 1, jadi angka ketiga adalah 1. Angka keempat adalah 1+1=2, Angka ketiga adalah 1+2=3, begitu seterusnya. Maka Deret Fibonacci akan berupa:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...... (Rumus Fn   = Fn-1 + Fn-2)

Pada saat merumuskannya dalam bukunya yang berjudul "Liber Abaci" pada tahun 1202, Leonardo Fibonacci belum mengetahui keistimewaan deret tersebut yang sesungguhnya. Barulah 300 tahun kemudian, ketika angka itu digali kembali oleh Luca Pacioli lewat bukunya "The Divine Proportion", barulah manusia menyadari "keistimewaan" angka-angka ini, terutama apabila angka-angka ini diperbandingkan. Seniman legendaris Leonardo da Vinci menyebut perbandingan antara angka-angka ini sebagai "The Golden Ratio".

Apa itu Golden Ratio (Rasio Emas)? Seperti bisa kita ketahui, Deret Fibonacci bisa kita teruskan hingga tak terbatas. Namun apa yang terjadi bila kita mencari rasio (perbandingan) di antara dua angka di Deret Fibonacci, yakni antara bilangan di depannya dibagi bilangan sebelumnya?

 

Tabel yang menunjukkan Rasio dari setiap suku deret fibonacci

Seperti yang terlihat, angka tersebut akan semakin mendekati nilai 1,6. Angka tersebut dinamakan "Golden Ratio". Apabila terus-menerus dihitung, maka kita akan menemukan nilai "pasti" Golden Ratio tersebut (dilambangkan "phi" atau ) adalah:

= 1,6180339887 ....

Lalu, apa sih keistimewaan Bilangan Fibonacci dan Rasio Emas? Ternyata, banyak struktur di alam dibangun oleh pola-pola yang mengikuti Bilangan Fibonacci dan Rasio Emas. Contoh-contoh yang jelas terlihat adalah pada tumbuhan.

Rasio Emas di Alam

Kita beri contoh bunga. Ternyata bunga tersusun dalam jumlah mahkota bunga yang senilai dengan salah satu Bilangan Fibonacci, semisal berjumlah 1, 2, 3, 5, atau 8. Bahkan bunga-bunga yang terkenal memiliki jumlah mahkota bunga yang banyak (seperti bunga matahari) memiliki jumlah antara 13, 21, 34, sampai 55 yang kesemuanya merupakan Bilangan Fibonacci.

Beberapa bunga yang jumlah mahkota bunganya mengikuti deret fibonacci

Masih ada lagi, apabila nilai derajat dalam satu lingkaran penuh, yakni 360o dibagi oleh nilai , maka hasilnya adalah 137,51o atau disebut dengan "The Golden Angle" atau "Sudut Emas", Bunga dan biji dalam tanaman (terutama jenis Composit atau bunga majemuk) yang tersusun dalam Sudut Emas ini akan lebih efisien, sehingga akan menampung lebih banyak biji. Biji yang tersusun dalam Sudut Emas ini juga memiliki pola unik yang jika dilihat akan menjelma seperti ilusi optik. Contoh tumbuhan yang memiliki Sudut Emas ini adalah bunga matahari, Chamomile, dan aster.

Bunga Matahari 

Salah satu ciri khas Bilangan Fibonacci adalah dapat membentuk pola spiral. Misalkan kita membuat satu kotak berukuran 1x1 cm, kemudian di sampingnya kita buat kotak ukuran 1x1 (karena 1 dan 1 adalah dua bilangan pertama Deret Fibonacci). Di bawahnya kita akan bisa membuat kotak berukuran 2x2 (karena 1+1=2). di sampingnya, kita akan bisa membuat kotak berukuran 3x3 (karena 1+2=3), begitu pula seterusnya. Maka akan membentuk sebuah spiral. Spiral ini dapat diteruskan hingga Bilangan Fibonacci di atasnya, bahkan tidak terbatas.

Ilustrasi penggambaran kotak fibonacci

Ilustrasi penggambaran spiral dari deret fibonacci

Keberadaan spiral inilah yang membuat Bilangan Fibonacci disebut sebagai bilangan penyusun kehidupan, sebab terdapat banyak sekali makhluk hidup, baik tumbuhan maupun hewan, yang memiliki proporsi Spiral Fibonacci atau yang disebut Spiral Emas ini. Spiral Emas ini bisa disebut sebagai geometri sakral sebab bisa kita lihat mulai dari susunan daun dan bunga pada tanaman, cangkang Nautilus, hingga embrio manusia. 

Tak hanya itu, jika kita memperluasnya, kita juga menemukan Spiral Fibonacci ini di gejala alam seperti ombak dan badai. Bahkan di alam semesta, galaksi spiral-pun juga ditemui bentuk Spiral Fibonacci ini.

Seniman legendaris, Leonardo da Vinci menyadari, bahwa segala sesuatu yang mengikuti Rasio Emas secara otomatis akan dipandang "indah" oleh otak kita. 

Sebagai contoh, tubuh manusia yang proporsional dan "sempurna" di mata kita adalah tubuh yang mengikuti Rasio Emas. Konon, jarak antara kaki hingga pusar kita apabila dibandingkan dengan jarak antara ujung kepala hingga pusar akan membentuk Rasio Emas (1,6). Contoh lain, proporsi tubuh lelaki yang dianggap ideal adalah jika perbandingan antara lebar pinggang dan lebar pundak adalah 1,6.

Spiral Fibonacci yang ditemukan di Alam

Salah satu karya Leonardo da Vinci yang terkenal selain Monalisa adalah "Vitruvian Man" digambar da Vinci menggunakan konsep Rasio Emas.

Vitruvian Man karya Leonardo da Vinci

Rasio Emas Dalam Arsitektur

Ternyata bukan Leonardo da Vinci yang pertama kali menyadari keistimewaan Rasio Emas. Ternyata peradaban-peradaban kuno seperti Yunani hingga Golden Age of Islam sudah mengetahuinya. Bangunan kuil Yunani semacam Parthenon di Athena dibangun menggunakan Rasio Emas. 

Bahkan jauh lebih purba dari itu, Piramida Agung di Mesir (yang dibangun sejak 2.500 SM) juga mengikuti Rasio Emas. Masjid Agung Kairouan di di Tunisia, salah satu masjid-masjid perdana yang dibangun pada tahun 670 M hingga Masjid Loftallah yang dibangun tahun 1603 di Iran, juga dibangun dengan pengetahuan mengenai Rasio Emas ini.

Contoh bangunan yang menerapkan prinsip Spiral Fibonacci

Bahkan secara kebetulan, konversi nilai 1 mil menjadi kilometer adalah 1,609344 kilometer, nyaris serupa dengan nilai

Namun tidak berarti Rasio Emas dan Bilangan Fibonacci harus menjadi bilangan "Cocoklogi". Memang tak semua struktur di alam, baik yang hidup maupun tidak, mengikuti Bilangan Fibonacci. Di sisi lain, keindahan yang ditampilkan oleh Deret Fibonacci dan Rasio Emas ini juga patutlah diapresiasi dan tak diayal lagi memang mengagumkan bagaimana alam menampilkan sebuah desain yang tak hanya teratur dan efisien, namun juga indah.