Mau menghitung optimasi laba penjualan?? Turunan dua peubah punya solusinya!

Hello sobat Matematika, pernah tidak sih kalian mendengar turunan fungsi tetapi menggunakan dua variabel???. 

Turunan fungsi dua variabel atau turunan fungsi dua peubah adalah turunan dari fungsi yang memiliki dua variabel yang cara penurunan bisa di selesaikan dengan turunan parsial. 

Nah tidak ada ilmu yang tidak berguna. Disini kami akan membahas kegunaan turunan fungsi dua peubah dalam kehidupan sehari-hari. Disini kami mengambil penerapan turunan fungsi dua peubah pada bidang ekonomi dalam menghitung optimasi laba penjualan jam tangan di salah satu toko. 

Untuk lebih jelasnya markibas

Mari kita bahas 

KKalkulus itu adalah istilah umum untuk limit, diferensiasi, integrasi, dan deret tak hingga. Kalkulus sendiri merupakan salah satu cabang matematika yang juga banyak digunakan dalam bidang ilmu lain seperti kedokteran, teknik, dan pertanian bahkan ekonomi. Bidang ilmu ini juga dapat menyelesaikan berbagai permasalahan yang tidak dapat diselesaikan oleh aljabar dasar.

Tau tidak sih kalau matematika memegang peranan yang sangat penting dalam perekonomian. Konsep matematika memiliki banyak penerapan dalam perekonomian. Matematika berfungsi sebagai pendekatan untuk melakukan analisis ekonomi, nah salah satunya adalah menghitung optimasi laba penjualan.

Laba atau biasa disebut keuntungan adalah sisa dari pengurangan pendapatan terhadap biaya produksi. Laba bersih merupakan selisih seluruh pendapatan dan keuntungan atas seluruh biaya dan kerugian akan terjadi jika biaya produksi lebih besar daripada pendapatan. 

Dalam dunia ekonomi, setiap perusahaan berusaha untuk meningkatkan profitabilitas dan efisiensi operasional. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk mencapai tujuan ini adalah melalui analisis matematis, khususnya menggunakan kalkulus peubah banyak. Toko Jam Tangan, sebagai salah satu jenis usaha ritel, menghadapi tantangan yang unik dalam menentukan strategi harga dan volume produksi yang optimal untuk memaksimalkan keuntungan.

Penerapan analisis ini sangat relevan mengingat pasar jam tangan yang kompetitif dan beragamnya preferensi konsumen. Selain itu, penggunaan turunan fungsi dua peubah memungkinkan pemilik toko untuk secara tepat menentukan titik maksimum keuntungan.

Kesalahan yang sering dialami oleh toko, terutama toko aksesoris yaitu dalam penghitungan labanya. Nah disini kita akan membahas cara menghitung optimasi laba penjualan jualan Jam tangan di sebuah toko.

Diketahui:

Detail Produk:

1. Jam Tangan Alexander Christie:

~Harga Modal per Unit (C1): Rp4.200.000

~Harga Jual per Unit (P10) : Rp5.000.000

2. Jam tangan Daniel Wellington:

~Harga Modal per Unit (C): Rp4.500.000

~Harga Jual per Unit (P20) : Rp5.200.000

Untuk membuat model yang dapat dioptimasi menggunakan turunan, kita perlu memasukkan variabel yang mempengaruhi keuntungan selain jumlah unit

yang terjual. Misalkan, kita asumsikan bahwa:

Harga jual per unit menurun seiring bertambahnya jumlah unit yang dijual

karena diskon atau saturasi pasar.

Fungsi harga jual per unit adalah fungsi linear menurun terhadap jumlah unit yang dijual.

Kita definisikan:

x= jumlah unit Jam Tangan Alexander Christie yang dijual.

y = jumlah unit Jam tangan Daniel Wellington yang dijual.

Harga jual per unit Jam Tangan Alexander Christie: P1(x)= P10 K1x

Harga jual per unit Jam tangan Daniel Wellington: P2 (y)= P20 K2y

Di sini, k1 dan k2

adalah konstanta positif yang merepresentasikan penurunan harga per unit tambahan yang dijual.

Membangun Fungsi Keuntungan Total K(x,y)K(x, y)K(x,y):

Keuntungan total adalah selisih antara total pendapatan dan total biaya.

1. Total Pendapatan (R): R(x,y)= P1(x) . x + P2(y).y

2. Total Biaya (C): C(x,y)=C1.x+C2.y

3. Fungsi Keuntungan (K): K(x,y)=R(x,y)-C(x,y)

Substitusikan fungsi harga jual per unit dan biaya:

= K(x,y) = [P k1x + [P20 k2y]y

= (P10-k1x+P20y-k2y)-(C1x+C2y

= (P10x-C1x)-k1x+(P20y-C2y)-K2y

= (P10-C1)x-k1x+(P20-C2)y-k2y

Memasukkan Nilai-Nilai yang Diketahui:

1. Keuntungan per Unit pada Harga Jual Awal:

Untuk Jam Tangan Alexander Christie:

P10C1=5.000.0004.200.000=800.000

Untuk Two Way Cake Ponds: P20C2=6.000.0005.200.000=800.000

2. Konstanta Penurunan Harga per Unit:

Misalkan k1=100.000

Misalkan k2=150.000

Sehingga fungsi keuntungan menjadi:

K(x,y) = 800.000x 100.00x

+ 800.000y 150. 000y

Maka turunan parsial terhadap x

dk/dx = 800.000 200.000x

Maka turunan parsiap terhadap y

dk/dy = 800.000 300.000y

Untuk x= 0

dk/dx = 0 800.000 200.000x = 0 x =

800.000/200.000 = 4

Untuk y=0

dk/dy = 0 800.000 300.000y = 0 x =800.000/300.000 = 2,7

Untuk mencari harga maksimum dapat menggunakan turunan parsial kedua (Matriks

Hessian)

dk/dx= 200.000

dk/dy= 300.000

dk/dxdy = 0

Matriks Hessian,

H= dk/dx dk/dxdy

      dk/dydx dk/dy

Determinan Hessian,

D = (200.000)x (300.000) (0)= 60.000.000

Karena D > 0 dan

dk/dx< 0 , maka titik kritis tersebut adalah titikmaksimum lokal. 

Maka jumlah Untuk menghitung keuntungan suatu produk substitusikan nilai z dan y ke fungsi

keuntungan sebelumnya

Kmaks = 800.000x 100.000x + 800.000y 150.000y

= 800.000(4) 100.000 (4)

 + 800.000(2,7) 150.000(2,7)

Kmaks = 4.200.000 1.600.000 + 2.160.000 1.093.500

Kmaks = 3.666.500

Dari hasil penelitian dapat disimpulakn bahwa turunan fungsi dua peubahmenunjukkan bahwa toko dapat mencapai keuntungan maksimum sekitar Rp3.666.500 dari penjualan Jam Tangan Alexander Christie dan Jam tangan DanielWellington. Jumlah produk optimal yang harus dijual untuk mencapai keuntunganmaksimal adalah sekitar 64-65 unit untuk masing-masing produk. Model yang digunakan mengasumsikan bahwa harga jual per unit menurun seiring bertambahnyajumlah produk yang dijual, yang dapat terjadi akibat penerapan diskon atau efeksaturasi pasar. Dengan demikian, setelah titik tertentu, meskipun lebih banyak produkterjual, keuntungan mulai menurun karena harga jual per unit menurun.

Referensi: 

Ermaya, A. Y., Priatna, H., & Alfiani, H. (2016). Pengaruh Penjualan Bersih dan Biaya Produksi terhadap Laba Bersih (Studi kasus pada PT. Aneka Tambang (Persero), Tbk.). AKURAT Jurnal Ilmiah Akuntansi, 7(20–26). 

Nurwahidah, N., & Mariani, A. (2021). Turunan (Derivatif): Sebuah Pendekatan Matematis dalam Analisis Keuntungan Maksimum. Jurnal MSA (Matematika dan Statistika serta Aplikasinya), 9(1), 1-6.

Suherli, I. R., Pribadi, P., Arifin, S. A. N., & Kholikin, R. A. (2022). Aplikasi Derivatif (Turunan) Dalam Menghitung Analisis Keuntungan Maksimal Pada Usaha Mikro Kecil Dan Menengah. JUMLAHKU: Jurnal Matematika Ilmiah STKIP Muhammadiyah Kuningan, 8(2), 28-35.

By : Hamidah Nasution, Nurul Wahida Harahap, Qisti Hafizhah Lubis, Roseyla Sahdina Pasaribu, Tyesa Junika Sihombing