Dipersembahkan untuk: Pak Sumardi, guru Matematika saya di kelas 2 SMA Negeri 1 Tanjungbalai Asahan.
Sekarang ini, semakin banyak publikasi, antara lain di Youtube, yang menyajikan cara yang dikatakan cepat dan luar biasa untuk mengalikan 2 bilangan. Ada yang mengklaim bahwa sumbernya adalah Matematika Vedik dari India, ada pula yang hanya menunjukkan contoh cara mengalikan sehingga orangnya terkesan hebat.
Bagi saya, tidak fair jika pemirsa hanya dibiarkan terkagum-kagum dengan kalkulasi yang dilakukan, tanpa diberitahu dari mana asal muasal kalkukasi yang bahkan dipakai oleh si penyaji tersebut untuk meraup uang dari pemirsanya. ITU BUKAN SHARING NAMANYA!
Saya amati kok apa yang saya ketahui sama dengan cara-cara di Youtube itu, bahkan ada yang belum dipublikasikan. Semenjak kelas 1 SMA, cara belajar saya sangat unik, pagi s/d siang ke sekolah, siang sampai sore bekerja (saya sudah mandiri secara finansial sejak kelas 1 SMP), dan malamnya belajar setiap hari. Setiap kali mau ujian, saya malah pergi nonton. Dalam kaitannya dengan matematika, memasuki semester 3 (kelas 2 SMA), buku paket SMA s/d jilid 12A sudah saya lahap, dan saya mulai membeli dan membaca buku-buku universitas. Yang top pada masa itu antara lain buku Kalkulus tulisan Bu Prof. Dra. Noenik Soemartojo, edisi pertama dengan sampul berwarna biru. Saya bukan mau pamer seperti Youtuber di atas, saya cuma mau sharing dan menyemangati para pembaca.
Karena saya selalu selangkah di depan teman-teman, saya jadi punya waktu ekstra untuk mengutak-atik persamaan kuadrat dan melihatnya dari sisi yang berbeda.
Ada tiga bentuk persamaan kuadrat:
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b) (a - b) = a² + b²
Masing-masing bentuk ini (setelah diutak-atik) bisa digunakan untuk mempercepat perkalian, bahkan yang TIDAK BISA DILAKUKAN DENGAN KALKULATOR!
Di bawah ini saya memberikan beberapa contoh perkalian dan rumus-rumus yang digunakan. Mudah-mudahan bisa digunakan oleh para orangtua untuk membantu anak-anak dalam memahami perkalian.
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
Rumus ini bisa diaplikasikan ke kuadrat bilangan yang mendekati 10, 100, 1.000, dst.
11²
= (10 + 1)²
= 10² + (2 x 10 x 1) + 1²
= 100 + 20 + 1
= 121
102²
= (100 + 2)²
= 100² + (2 x 100 x 2) + 2²
= 10.000 + 400 + 4
= 10.404
1005²
= (1.000 + 5)²
= 1.000² + (2 x 1.000 x 5) + 5²
= 1.000.000 + 10.000 + 25
= 1.010.025
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b) (a - b) = a² - b²
Persamaan (a + b) (a - b) = a² - b²
Jika dibalik:
a²  = (a + b) (a - b) + b²
Manfaatnya sangat besar, contoh:
9² =
Misalkan:
a + b = 10
a = 9, maka b = 10 - 9 = 1
a - b = 8
Jadi:
a² = (a + b) (a - b) + b² Eureka!
9² = (9 + 1) (9 - 1) + 1²
= (10 x 8) + 1
= 81
Bagaimana jika perkaliannya bukan kuadrat dari sebuah bilangan satuan?
Gunakan rumus:
Misalkan n = 10
(10 - a) (10 - b) = 10² - 10 a - 10 b + ab
Ini sudah saya bahas dalam artikel: Matematika SD: Membuktikan Hasil Perkalian 2 Bilangan dari 6 ke Atas.
Contoh:
8 x 7
= 10² - (10 x 2) - (10 x 3) + (2 x 3)
= 100 - 20 - 30 + 6
= 56
Suku 10² - (10 x 2) - (10 x 3) bisa disederhanakan menjadi:
10² - 10 (2+3) = 10² - (50)
Bilangan 50 ini sebenarnya adalah 10 (8-3) atau 10(7-2).
Jadi cukup mengurangkan 8 dengan selisih 7 dengan 10, atau mengurangkan 7 dengan selisih 8 dengan 10, hasilnya sama-sama 5.
Bilangan Puluhan:
99² =
Misalkan:
a + b = 100
a = 99, maka b = 1
a - b = 98
Jadi:
a² = (a + b) (a - b) + b²
99²
= (99 + 1) (99 - 1) + 1²
= (100 x 98) +1
= 9.801
92²
= (92 + 8) (92 - 8) + 8²
= (100 x 84) + 64
= 8.464
Prinsipnya, untuk bilangan yang satuannya 1-4, bulatkan ke ratusan di bawahnya, dan untuk bilangan yang satuannya 6-9, bulatkan ke ratusan di atasnya.
83²
= (83 - 3) (83 + 3) + 3²
= (80 x 86) + 9
= 6.880 + 9
= 6.889
77²
= (77 + 3) (77 - 3) + 3²
= (80 x 74) + 9
= 5.920 + 9
= 5.929
Perkalian dua bilangan puluhan yang tidak sama:
Gunakan rumus seperti di atas:
Misalkan n = 100, maka :
(100 - a) (100 - b) = 100² - 100 (a + b) + ab
Contoh:
98 x 97
= (100 - 2) (100 - 3)
= 100² - (100 x 5) + (2 x 3)
= 10.000 - 500 + 6
= 9.506
Satu hal yang menarik juga yang saya amati dari persamaan kuadrat,
(a + b) (a - b) = a² - b²
Jika dibalik:
a² - b² = (a + b) (a - b)
Artinya (Eureka lagi):
Selisih dua bilangan kuadrat (a² - b²) yang selisih bilangannya = n adalah n kali jumlah kedua bilangan itu. Jika n = 1 maka a² - b² = (a + b) dst. - Johan Japardi
Contoh:
10² - 9² = 19 atau 10 + 9
10² - 8² = 2 x 18 = 36 atau 2 (10 + 8)
100² - 99² = 199
100² - 98² = 2 x 198 = 396
1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000² - 999.999.999.999.999.999.999.999.999.999.999.999²
= 1.999.999.999.999.999.999.999.999.999.999.999.999
(Yang ini pasti tidak bisa dikerjakan dengan kalkulator, kecuali dengan bilangan eksponen)
Perkalian istimewa beberapa bilangan:
Kuadrat bilangan dengan satuan 5:
a5 x a5 = a (a+1) 25*
*a adalah puluhan. Ini bukan operasi aljabar, tapi hanya susunan.
Contoh:
85 x 85 = (8 x 9) 25 = 7.225
125 x 125 = (12 x 13) 25 = 15.625
Catatan:
Cara ini juga berlaku untuk 2 bilangan yang berbeda satuannya, asalkan jumlah satuannya 10 dan puluhannya sama, contoh: 78 x 72 = 5.616.
ab x 11 = a(a+b)b
26 x 11 = 2(2+6)6 = 286
Jika hasil penjumlahan angka pertama dan terakhir > 10:
abx11 = (a+1)(satuan dari a+b)b
87 x 11 = 957
Demikian seterusnya:
188 x 11 = 18+2 (satuan dari 18+8) 8 = 2068
Perkalian bilangan kembar dengan bilangan 9:
Keunikan perkalian ini adalah:
na x 9 = ?
Kalikan a dengan 9, lalu sisipkan sebanyak (n-1) bilangan 9 di tengah-tengah hasil ini.
Contoh:
555 x 9 = 4.995
7.777.777.777.777.777.777.777.777.777.777.777 x 9 = 69.999.999.999.999.999.999.999.999.999.999.993
(Buang waktu kalau dihitung dengan kalkulator, karena tidak bisa).
Satu lagi keunikan perkalian seperti ini yang baru saya amati:
Hasil perkalian bilangan kembar yang masing-masing bilangannya adalah n = hasil perkalian bilangan kembar 9 sebanyak n dikalikan dengan n.
555 x 9 = 999 x 5.
Jonggol, Hari Kartini 2021
Johan Japardi
