Membuktikan Soal "Aneh" Matematika ala Jerome Polin

"Minasan, Konichiwaaa..."

Kalimat di atas merupakan kalimat pembuka di setiap video yang ditampilkan di akun YouTube Nihongo Mantappu. Nihongo Mantappu adalah akun YouTube milik seorang mahasiswa Indonesia yang berkuliah di Jepang, mahasiswa tersebut bernama Jerome Polin Sijabat dan saat ini ia mengatakan jurusan matematika di Waseda university. Ia berkuliah di Waseda berkat beasiswa Mitsui Bussan yang full menanggung biaya pendidikannya.

Melalui akun YouTube Nihongo Mantappu, Jerome konsen membuat konten-konten kreatif tentang matematika dengan kemasan unik dan menyenangkan. Konten yang ia buat mampu mengubah persepsi tentang matematika  yang terkesan sulit, monoton, dan membosankan menjadi mata pelajaran yang menyenangkan dan mudah dipahami.

Ia selalu menjawab soal matematika dengan runtut namun tetap mudah dipahami. Konten yang ia buat seperti battle matematika dan mengupas soal-soal matematika mampu membius saya dalam setiap penjabaran dan penalaran yang ia ungkapkan. Ia mempunyai misi untuk menyebarkan rasa cinta terhadap matematika ke semua orang melalui Video Kreatif yang ia buat.

Kemarin, beberapa followers ataupun subscribers Akun Media Sosial Jerome dikagetkan dengan rilisan video terbaru di Nihongo Mantappu. Video terbaru tersebut menjelaskan tentang pembuktian soal 1 + 2  + 3 + 4 + ... = -12.

Banyak yang bingung kenapa bisa seperti itu, karena kalau kita logika penambahan bilang-bilangan bulat positif hasilnya pecahan negatif atau hal yang tidak mungkin. Apalagi kita kalau mengerjakan dengan menggunakan rumus jumlah suku ke-n pada deret aritmatika pun tidak mungkin (kalau ada soal seperti penambahan maka kita bisa menggunakan deret aritmatika, hehe).

Lantas Benarkah bisa dibuktikan bahwa soal tersebut benar. Matematika adalah ilmu yang harus kita buktikan kebenaran nya, bahkan ketika saya kuliah di beberapa Matkul saya disuruh membuktikan tentang terciptanya rumus-rumus yang selama ini hanya saya hafalkan di SMA. Maka dari itu perlu dilakukan pembuktian terhadap soal tersebut, apakah terbukti atau tidak.

Pembuktian pada soal tersebut menggunakan pendekatan analisis riil (makanan apa lagi ini, wkwkw), analisis riil merupakan salah satu Matkul yang diajarkan di perguruan tinggi khususnya untuk jurusan yang berhubungan dengan matematika dan pada mata kuliah ini pula kita akan membuktikan segala kebenaran terkait angka-angka maupun bilangan seperti membuktikan 1 - 1 = 0 (gak penting banget kata temen ku saat membaca buku pedoman ku).

Baiklah saya akan mencoba menjelaskan kembali penjelasan Jerome dengan cara saya tapi masih beracuan pada penjelasan dan permisalan Jerome.

Tangkapan Layar dari YouTube/Nihongo Mantappu

Langkah pertama :
Langkah pertama yang harus kita lakukan saat ingin membuktikan sesuatu adalah permisalan. Kita dituntut untuk jeli dalam membuat permisalan, kalau tidak kita akan kesulitan dalam pembuktiannya. Pada video tersebut Jerome telah jeli dalam membuat permisalan dimana ia memisalkan U = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... (Pasti banyak yang bilang hasilnya pasti 0, ingat ini untuk permisalan maka kita harus memandang pernyataan ini dengan sisi yang berbeda)
Maka, S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1)
Karena 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = S
Jadi, S = 1 - S. Lalu kita pindah ruas atau kita tambahkan S dikedua sisinya. Maka, 2S = 1 dan S = 1/2.

Tangkapan Layar dari YouTube/Nihongo Mantappu

Langkah kedua :
Setelah kita berhasil membuat permisalan pertama, selanjutnya kita akan membuat permisalan kedua untuk lebih menguatkan pembuktiannya. Pada video ia memisalkannya dengan T = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...
Lalu Kita gunakan kembali permisalan S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1- 1 + ... ( Kemudian kurangkan T - S).
Setelah dikurangi T - S, maka akan menjadi T - S = 0 (Karena 1 -1) - 1 ( karena -2 - (-1)) + 2 ( karena 3 - 1) - 3 (karena -4 - (-1)) + 4 (karena 5 - 1) - 5 (karena -6 - (-1)) + 6 (karena 7 - 1).
Karena -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 sama dengan -T.
Maka, T - S = 0 - T atau T - S = -T. Lalu kita pindah ruas atau tambahkan T dan S dikedua ruasnya. Maka 2T = S Atau T = S/2.
Karena S = 1/2.
Maka, T = 1/2 dibagi 2 menjadi 1/4 atau T = 1/4.

Tangkapan Layar dari YouTube/Nihongo Mantappu

Langkah Ketiga :
Setelah kita punya 2 modal permisalan sebelumnya, saat ini kita telah siap untuk membuktikan kebenaran dari soal. Kita misalkan soalnya dengan U.
U = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...
Lalu kita gunakan kembali permisalan T = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... (Kemudian kurangkan U - T)
Setelah dikurangi U - T, maka akan menemukan hasil U - T = 0 (Karena 1 - 1) + 4 ( karena 2 - (2)) + 0 (karena 3 - 3) + 8 ( karena 4 - (4)) + 0 (karena 5 - 5) + 12 ( karena 6 - (-6)) + 0 ( karena 7 - 7) + 16 ( karena 8 - (-6)).
Maka akan diketahui hasilnya U - T = 4 + 8 + 12  + 16 Atau bisa kita sederhanakan menjadi U - T = 4 ( 1 + 2 + 3 + 4).
Karena 1 + 2 + 4 + ... = U.
Maka, U - T = 4U. Lalu kita pindah ruas atau ditambahkan T dan Dikurangi 4U dikedua ruasnya. Maka akan ketemu -3U = T atau U = -1/3 T.
Karena T = 1/4
Maka, U = -1/3 dikali 1/4. Maka hasilnya U = - 1/12.
Terbukti bahwa 1 + 2 + 3 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12 adalah benar.

*Catatan
- ini adalah pembuktian bukan sebagai acuan jika kalian mendapatkan pertanyaan 1 + 2 + 3 + .... Itu sama dengan -1/12. Karena matematikawan dituntut untuk mampu membuktikan kebenaran dari sebuah soal yang diberikan.
- kenapa digunakan huruf   S, T, dan U. Sebenarnya bebas aja sih tapi Jerome disini ngambil permisalan nya menggunakan huruf tersebut dan kenapa urut karena seorang matematikawan selalu disiplin, oleh karena itu selalu urut.
- penggunaan analisis riil ini adalah salah satu alternatif. Kita bisa menggunakan pembuktian lain yang terkait.