Kuliah Prof Gimbal tentang Hukum Bernouli

Kuliah Prof Gimbal Tentang Hukum Bernouli

Catatan kuliah kali ini adalah diskusi bergantian saya [Prof Apollo ] dengan Prof Gimbal bidang aliran fluida, dengan model angka Reynolds, dan Hukum Bernoulli.

Daniel Bernoulli, (lahir 8 Februari [29 Januari, Gaya Lama], 1700, Groningen dan   meninggal 17 Maret 1782, Basel, Switz.), Generasi paling terkenal dari generasi kedua keluarga Bernoulli dari ahli matematika Swiss . Dia menyelidiki tidak hanya matematika tetapi juga bidang-bidang seperti kedokteran , biologi, fisiologi, mekanika , fisika , astronomi, dan oseanografi. Teorema Bernoulli ( qv ), yang diturunkannya, dinamai menurut namanya.

Daniel Bernoulli adalah putra kedua Johann Bernoulli, yang pertama kali mengajarinya matematika. Setelah belajar filsafat, logika, dan kedokteran di universitas Heidelberg, Strasbourg, dan Basel, ia menerima gelar MD (1721). Pada 1723/1724  menulis Latihan quaedam Mathematicae pada persamaan diferensial dan fisika air yang mengalir, yang membuatnya mendapatkan posisi di Akademi Ilmu Pengetahuan yang berpengaruh di St. Petersburg , Rusia. 

Bernoulli mengajar di sana sampai 1732 di bidang kedokteran, mekanik, dan fisika, dan ia meneliti sifat-sifat benda bergetar dan berputar dan berkontribusi pada teori probabilitas . Pada tahun yang sama ia kembali ke Universitas Basel untuk menerima jabatan di bidang anatomi dan botani. Pada saat itu ia secara luas dihargai oleh para sarjana dan   dikagumi oleh masyarakat di seluruh Eropa.

Reputasi Daniel didirikan pada 1738 dengan Hydrodynamica, di mana ia mempertimbangkan sifat-sifat dasar yang penting dalam aliran fluida, khususnya tekanan, kepadatan, dan kecepatan, dan menetapkan hubungan fundamental mereka. Dia mengedepankan apa yang disebut prinsip Bernoulli, yang menyatakan   tekanan dalam fluida berkurang seiring kecepatannya meningkat. Dia juga menetapkan dasar untuk teori kinetik gas dan panas dengan menunjukkan bahwa dampak molekul pada suatu permukaan akan menjelaskan tekanan dan bahwa, dengan mengasumsikan gerakan molekul yang konstan, acak, tekanan dan gerak meningkat seiring suhu. Sekitar 1738 ayahnya menerbitkan Hydraulica; Upaya Johann untuk mendapatkan prioritas bagi dirinya sendiri adalah contoh lain dari pertentangannya terhadap putranya.

Antara 1725 dan 1749 Daniel memenangkan 10 hadiah dari Akademi Ilmu Pengetahuan Paris untuk pengerjaan astronomi, gravitasi, pasang surut, magnetisme, arus samudra, dan perilaku kapal di laut. Dia juga membuat kontribusi besar dalam probabilitas. 

Dia berbagi hadiah 1735 untuk bekerja di orbit planet dengan ayahnya, yang, katanya, mengusirnya dari rumah karena dengan demikian memperoleh hadiah yang dia rasa seharusnya menjadi miliknya sendirian. Makalah pemenang penghargaan Daniel mencerminkan keberhasilannya di bidang penelitian sains dan kemampuannya untuk mengemukakan dengan jelas di depan publik yang tertarik masalah-masalah ilmiah saat itu. Pada 1732 menerima pos di botani dan anatomi di Basel; pada 1743, satu dalam fisiologi; dan pada 1750, satu dalam fisika.

Teorema Bernoulli, dalam dinamika fluida, hubungan antara tekanan, kecepatan, dan ketinggian dalam fluida bergerak (cairan atau gas), kompresibilitas dan viskositas (gesekan internal) yang dapat diabaikan dan alirannya stabil, atau laminar. 

Pertama kali diturunkan (1738) oleh ahli matematika Swiss Daniel Bernoulli , teorema menyatakan, pada dasarnya, bahwa energi mekanik total dari fluida yang mengalir, terdiri dari energi yang terkait dengan tekanan fluida, energi potensial gravitasi dari elevasi, dan energi kinetik dari pergerakan fluida, tetap konstan. Teorema Bernoulli adalah prinsip konservasi energi untuk cairan ideal dalam aliran stabil, atau merampingkan , dan merupakan dasar bagi banyak aplikasi teknik.

Hingga kini fokusnya adalah cairan saat istirahat. Bagian ini membahas cairan yang bergerak dengan mantap sedemikian rupa sehingga kecepatan fluida...

Oleh karena itu, teorema Bernoulli menyatakan bahwa jika fluida mengalir secara horizontal sehingga tidak terjadi perubahan energi potensial gravitasi, maka penurunan tekanan fluida dikaitkan dengan peningkatan kecepatan fluida. 

Jika fluida mengalir melalui pipa horizontal dengan luas penampang yang berbeda-beda, misalnya, fluida mempercepat di daerah yang terbatas sehingga tekanan yang diberikan fluida paling sedikit jika penampang terkecil. Fenomena ini kadang - kadang disebut Efek venturi, setelah ilmuwan Italia GB Venturi (1746/1822), yang pertama kali mencatat efek saluran terbatas pada aliran cairan.

Persamaan Bernoulli menyatakan:

dokpri

Meskipun pembatasan ini terdengar berat, persamaan Bernoulli sangat berguna, sebagian karena sangat mudah digunakan dan sebagian karena dapat memberikan wawasan besar tentang keseimbangan antara tekanan, kecepatan dan ketinggian.

Seberapa berguna persamaan Bernoulli? Seberapa ketat asumsi yang mengatur penggunaannya? Di sini kami memberikan beberapa contoh.

Variasi tekanan / kecepatan 

Pertimbangkan aliran stabil dari fluida densitas konstan dalam saluran konvergen, tanpa kehilangan akibat gesekan (gambar 14). Aliran karena itu memenuhi semua pembatasan yang mengatur penggunaan persamaan Bernoulli. Hulu dan hilir kontraksi kita membuat asumsi satu dimensi bahwa kecepatan konstan di atas area inlet dan outlet dan paralel.

dokpri

Ketika streamline paralel, tekanan konstan di antara mereka, kecuali untuk perbedaan head hidrostatik (jika tekanan lebih tinggi di tengah saluran, misalnya, kita akan mengharapkan streamline menyimpang, dan sebaliknya). Jika kita mengabaikan gravitasi, maka tekanan pada area inlet dan outlet konstan. Sepanjang garis tengah pada garis tengah, persamaan Bernoulli dan persamaan kontinuitas satu dimensi masing-masing memberikan,

dokpri

Dua pengamatan ini memberikan panduan intuitif untuk menganalisis aliran cairan, bahkan ketika alirannya tidak satu dimensi. Misalnya, ketika fluida melewati benda padat, garis arus semakin berdekatan, kecepatan aliran meningkat, dan tekanan berkurang. 

Airfoils dirancang sedemikian rupa sehingga aliran di atas permukaan lebih cepat daripada di atas permukaan bawah, dan oleh karena itu tekanan rata-rata di atas permukaan lebih rendah daripada tekanan rata-rata di atas permukaan bawah, dan gaya yang dihasilkan karena perbedaan tekanan ini dihasilkan . 

Ini adalah sumber daya angkat pada airfoil. Angkat didefinisikan sebagai gaya yang bekerja pada airfoil karena gerakannya, dalam arah yang normal terhadap arah gerakan. Demikian juga, drag pada airfoil didefinisikan sebagai gaya yang bekerja pada airfoil karena gerakannya, sepanjang arah gerakan.

Demonstrasi yang mudah dari lift yang dihasilkan oleh aliran udara membutuhkan selembar kertas notebook dan dua buku dengan ketebalan yang sama. Tempatkan buku empat sampai lima inci terpisah, dan tutupi celah dengan kertas. Ketika Anda meniup bagian yang dibuat oleh buku-buku dan kertas, apa yang Anda lihat? Mengapa?

Contoh; Bola tenis meja yang ditempatkan di jet udara vertikal menjadi tergantung di dalam jet, dan sangat stabil untuk gangguan kecil ke segala arah. Dorong bola ke bawah, dan bola itu kembali ke posisi setimbangnya; dorong ke samping, dan dengan cepat kembali ke posisi semula di pusat jet. 

Dalam arah vertikal, berat bola diimbangi oleh gaya karena perbedaan tekanan: tekanan di atas bagian belakang bola lebih rendah daripada di bagian depan karena kerugian yang terjadi saat bangun (pusaran besar terbentuk di bangun yang menghilangkan banyak energi aliran). 

Untuk memahami keseimbangan gaya dalam arah horizontal, Anda perlu tahu bahwa jet memiliki kecepatan maksimum di tengah, dan kecepatan jet berkurang ke arah tepinya. Posisi bola stabil karena jika bola bergerak ke samping, sisi luarnya bergerak ke daerah dengan kecepatan lebih rendah dan tekanan lebih tinggi, sedangkan sisi dalamnya bergerak lebih dekat ke pusat di mana kecepatan lebih tinggi dan tekanan lebih rendah. Perbedaan tekanan cenderung untuk memindahkan bola kembali ke tengah.

Contoh; Misalkan bola berputar searah jarum jam saat bergerak melalui udara dari kiri ke kanan. Gaya yang bekerja pada bola berputar akan sama jika ditempatkan dalam aliran udara yang bergerak dari kanan ke kiri, seperti yang ditunjukkan pada berikut ini.

dokpri

Lapisan udara yang tipis ( lapisan batas ) dipaksa berputar dengan bola karena gesekan yang kental. Pada A, gerakan karena putaran berlawanan dengan aliran udara, dan oleh karena itu di dekat A ada daerah dengan kecepatan rendah di mana tekanannya dekat dengan atmosfer. Di B, arah gerakan lapisan batas sama dengan aliran udara eksternal, dan karena kecepatan bertambah, tekanan di wilayah ini di bawah atmosfer. 

Bola mengalami gaya yang bekerja dari A ke B, menyebabkan lintasannya melengkung. Jika putarannya berlawanan arah jarum jam, jalur akan memiliki lengkungan yang berlawanan. Munculnya gaya samping pada bola berputar atau silinder disebut efek Magnus , dan itu diketahui oleh semua peserta dalam olahraga bola , terutama baseball, kriket dan tenis pemain.

Tekanan stagnasi dan tekanan dinamis 

Persamaan Bernoulli mengarah pada beberapa kesimpulan menarik tentang variasi tekanan di sepanjang garis streamline. Pertimbangkan aliran stabil yang menimpa pelat tegak lurus (gambar berikut ini).

dokpri

Ada satu garis aliran yang membagi aliran menjadi dua: di atas garis aliran ini semua aliran melewati pelat, dan di bawah garis aliran ini semua aliran mengalir di bawah pelat. Sepanjang garis pemisah yang membagi ini, fluida bergerak menuju pelat. Karena aliran tidak dapat melewati pelat, fluida harus berhenti pada titik di mana ia bertemu pelat. Dengan kata lain, itu "mandek". Cairan di sepanjang garis pemisah, atau "aliran stagnasi" melambat dan akhirnya berhenti tanpa defleksi pada titik stagnasi .

Persamaan Bernoulli di sepanjang garis stagnasi memberi;

dokpri

di mana titik e jauh di hulu dan titik 0 di titik stagnasi. Karena kecepatan pada titik stagnasi adalah nol,

Stagnasi atau tekanan total , p_0, adalah tekanan yang diukur pada titik di mana fluida berhenti. Ini adalah tekanan tertinggi yang ditemukan di mana saja di medan aliran, dan itu terjadi pada titik stagnasi. Ini adalah jumlah dari tekanan statis (p_0), dan tekanan dinamis diukur jauh ke hulu. Ini disebut tekanan dinamis karena muncul dari gerakan fluida.

Tekanan dinamis sebenarnya bukan tekanan sama sekali: itu hanya nama yang tepat untuk kuantitas (setengah kepadatan dikalikan dengan kecepatan kuadrat), yang mewakili penurunan tekanan karena kecepatan fluida.

Kemudian dapat mengekspresikan tekanan di mana saja dalam aliran dalam bentuk koefisien tekanan non-dimensi C_p, di mana

dokpri

Pada titik stagnasi, C_p = 1, yang merupakan nilai maksimumnya. Dalam freestream, jauh dari lempeng, C_p = 0.

Salah satu aplikasi paling cepat dari persamaan Bernoulli adalah dalam pengukuran kecepatan dengan tabung-Pitot. Tabung Pitot (dinamai sesuai dengan ilmuwan Prancis Pitot) adalah salah satu instrumen paling sederhana dan paling berguna yang pernah dibuat. Ini hanya terdiri dari tabung bengkok di sudut kanan.

dokpri

Dengan mengarahkan tabung langsung ke hulu ke aliran dan mengukur perbedaan antara tekanan yang dirasakan oleh tabung Pitot dan tekanan aliran udara di sekitarnya, itu dapat memberikan ukuran kecepatan yang sangat akurat. 

Bahkan, itu mungkin metode yang paling akurat yang tersedia untuk mengukur kecepatan aliran secara rutin, dan akurasi yang lebih baik dari 1% dimungkinkan. Persamaan Bernoulli di sepanjang garis stream yang dimulai jauh di hulu tabung dan berhenti di mulut tabung Pitot menunjukkan tabung Pitot mengukur tekanan stagnasi dalam aliran. 

Oleh karena itu, untuk menemukan kecepatan V_e, kita perlu mengetahui kerapatan udara, dan perbedaan tekanan (p_0 - p_e). Kepadatan dapat ditemukan dari tabel standar jika suhu dan tekanan diketahui. Perbedaan tekanan biasanya ditemukan secara tidak langsung dengan menggunakan penyadapan tekanan statis yang terletak di dinding terowongan angin, atau di permukaan model.