Nullspace (Ruang Nol) di Dalam Persamaan Linear Dengan Beberapa Contoh

Nullspace (ruang nol) Di dalam Persamaan Linear Dengan Beberapa Contoh.

ruanguru sumber gambar

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu memahami beberapa konsep dan informasi sebagai problem logic yang diberikan sebagai analoginya yakni :

Jika, y : 1=1 x 1 dan, jika x vektor yang tidak terintegrasi dalam sistem vektor himpunan persamaan, berapa x (nilai jumlah yang tidak terintegrasi) ?

1. Diberikan persamaan: y = 1 = 1x1
2. x adalah vektor yang tidak terintegrasi dalam sistem vektor himpunan persamaan
3. Kita diminta untuk mencari nilai x, yang merupakan jumlah yang tidak terintegrasi

Berdasarkan informasi ini, mari kita analisis:

1. Dari persamaan y = 1 = 1x1, kita bisa menyederhanakan menjadi 1 = x
   Ini berarti nilai x adalah 1.

2. Namun, disebutkan bahwa x adalah vektor yang tidak terintegrasi dalam sistem vektor himpunan persamaan. Ini menunjukkan bahwa x bukan bagian dari solusi sistem persamaan linear yang ada.

3. Dalam konteks aljabar linear, vektor yang tidak terintegrasi biasanya merujuk pada vektor yang tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam himpunan tersebut.

4. Meskipun kita tahu bahwa x = 1 dari persamaan yang diberikan, fakta bahwa x tidak terintegrasi menunjukkan bahwa nilai ini mungkin tidak konsisten dengan sistem persamaan yang lebih besar.

5. "Nilai jumlah yang tidak terintegrasi" dalam konteks ini bisa diinterpretasikan 

sebagai dimensi dari ruang nol (nullspace) 

dari sistem persamaan, atau jumlah vektor basis yang diperlukan untuk melengkapi basis dari ruang vektor yang ada.

Kesimpulan:
Tanpa informasi lebih lanjut tentang sistem persamaan yang lebih besar, kita tidak dapat menentukan secara pasti "nilai jumlah yang tidak terintegrasi". Yang kita tahu hanya:
1. Dari persamaan yang diberikan, x = 1
2. x adalah vektor yang tidak terintegrasi dalam sistem yang lebih besar

Untuk mendapatkan jawaban yang lebih spesifik, kita memerlukan informasi tambahan tentang sistem persamaan linear yang lengkap dan dimensi ruang vektor yang terlibat.

Maka, analogi berikutnya, adalah :

Nullspace dari sebuah matriks A adalah himpunan semua vektor x yang memenuhi persamaan Ax = 0, di mana 0 adalah vektor nol.

Contoh 1: Sistem Persamaan Linear Sederhana

Misalkan kita memiliki sistem persamaan linear:
2x + y = 0

Kita bisa menulis ini dalam bentuk matriks:
[2 1][x] = [0]
      [y]   [0]

Untuk menemukan null space, kita perlu menemukan semua nilai x dan y yang memenuhi persamaan ini.

Dari persamaan 2x + y = 0, kita bisa menulis y = -2x

Jadi, setiap vektor dalam bentuk x[-2] akan berada dalam null space.
                                    [ 1]
Null space dari sistem ini adalah garis lurus yang melalui titik asal.

Contoh 2: Sistem dengan Lebih Banyak Variabel

Misalkan kita memiliki sistem:
x + y + z = 0
2x + 2y + 2z = 0

Dalam bentuk matriks:
[1 1 1][x] = [0]
[2 2 2][y]   [0]
        [z]

Kita bisa melihat bahwa baris kedua adalah kelipatan dari baris pertama, jadi kita hanya perlu mempertimbangkan persamaan pertama:

x + y + z = 0

Kita bisa menulis z = -x - y

Jadi, setiap vektor dalam bentuk [ x ] akan berada dalam null space.
                                 [ y ]
                                 [-x-y]

Null space dari sistem ini adalah bidang yang melalui titik asal.

Contoh 3: Sistem dengan Null Space Trivial

Misalkan kita memiliki sistem:
x + y = 0
x - y = 0

Dalam bentuk matriks:
[1  1][x] = [0]
[1 -1][y]   [0]

Jika kita selesaikan sistem ini, kita akan mendapatkan x = 0 dan y = 0.

Dalam kasus ini, null space hanya berisi vektor nol [0]. Ini disebut null space trivial.
                                                    [0]

Kesimpulan:

1. Null space bisa berupa garis, bidang, atau ruang berdimensi lebih tinggi, tergantung pada sistem persamaan.
2. Null space selalu memuat vektor nol.
3. Dimensi dari null space berkaitan dengan derajat kebebasan dalam sistem persamaan.
4. Jika null space hanya berisi vektor nol, maka matriks memiliki rank penuh.

Memahami null space penting dalam aljabar linear karena memberikan informasi tentang solusi sistem persamaan linear dan sifat-sifat transformasi linear yang terkait.