Bilangan dan Bilangan, Sungguh Sangat Rukun

Vaksinasi covid-19 untuk guru sudah dimulai pada hari Rabu, tanggal 25/02/2021, di SMA 70 Jakarta. Dan rencananya pada bulan 06/2021, sebanyak 5,5 juta guru seluruh Nusantara sudah menerima vaksin. Mendikbud Nadiem Makarim menyampaikan rasa terima kasih kepada Menkes Budi Gunadi Sadikin dan Presiden Jokowi.

Baik mas Nadiem dan Presiden Jokowi ingin, sekolah bisa menyelenggarakan belajar tatap muka pada tahun ajaran 08/2021.

Vaksinasi covid-19 untuk guru, dimulai dengan guru-guru SD, paud, SMP, SMA dan SMK. Kata mas menteri Nadiem, sengaja dimulai dari jenjang pendidikan yang rendah. Karena pada jenjang yang rendah justru sulit untuk melihat keberhasilan pembelajaran jarak jauh (PJJ).

Mengapa? Bukankah hitung-hitungannya masih bilangan kecil-kecil?

Bilangan kecil untuk orang dewasa mungkin memang sangat mudah, tetapi bagi anak-anak, ilmu hitung atau aritmatika merupakan bagian dari matematika yang terasa sangat menakutkan. 

Padahal bilangan-bilangan adalah teman yang baik bagi anak-anak. Dan selalu memberi contoh tentang kerukunan, baik yang nilainya besar, nilainya kecil atau pun yang tidak ada nilainya. Juga baik yang positif atau pun yang negatif. 

Cucuku Laras yang berusia 4 tahun sudah sangat bangga, bisa menyebutkan bilangan-bilangan sebagai urutan.

• Si Satu, dengan lambang 1.

• Si Dua dengan lambang 2.

• Si Tiga dengan lambang 3.

• Si Empat dengan lambang 4.

• Si Lima dengan lambang 5.

• Si Enam dengan lambang 6.

• Si Tujuh dengan lambang 7.

• Si Delapan dengan lambang 8

• Si Sembilan dengan lambang 9

• Si Sepuluh dengan lambang 10

"Kami semua berurutan dari lebih kecil ke lebih besar," kata mereka hampir serempak, "Dimulai paling kecil dari si Satu hingga yang paling besar si Sepuluh."

Si Satu hingga si Sembilan dinamakan angka, mereka membentuk bilangan- bilangan yang sangat banyak. Angka-angka juga merupakan bilangan satuan.

Menghitung satu per satu maju makin besar, artinya menambah 1 kepada urutan (maju) bilangan sebelumnya. Sedangkan menghitung satu per satu mundur makin kecil, artinya mengurangi 1 kepada urutan (mundur) bilangan yang sebelumnya.

Angka 0 (nol).

"Bagaimana dengan mundur 1 langkah sesudah angka 1?," tanya Laras kepada Nini." 

"Mundur 1 langkah sesudah angka 1 ada aku," kata si Nol kepada Laras.

"Ya mengurangi 1 dengan 1, hasilnya dilambangkan dengan 0, namanya Nol," kata nini, "Si Nol yang mempunyai lambang 0, maknanya habis--kosong--tidak ada nilainya."

Sebelum berkenalan lebih lanjut dengan bilangan yang sangat banyak yang dibentuk oleh angka-angka 0, 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 9, mari berkenalan dulu dengan 4 operasi dasar  yang berlaku.

Penjumlahan dengan lambang + (baca: tambah).

Pengurangan dengan lambang - (baca: kurang).

Perkalian dengan lambang × (baca: kali)

Pembagian dengan lambang ÷ (baca: bagi)

Tambah.

"Laras, tahukah kamu berapa hasilnya 1 + 2?" tanya si Satu dan si Dua kepada Laras, cucu nini yang cantik.

"Tentu tahu!" jawab Laras. 

"Simpan 1 dalam hati, lalu menghitung maju 2 langkah," kata Laras sambil mulai melakukan menghitung satu per satu dengan menggerakkan jari, "2, 3,"

"Jadi 1 + 2 = 3," kata Laras bangga.

Sekarang, coba jawab 3 + 2," kata si Dua lagi dan si Tiga.

"Baik," jawab Laras lagi, "Simpan 3 dalam hati, lalu maju 4,5."

"Jadi 3 + 2 = 5."

"Apakah nini tahu 4 + 6? tanya Laras kepada nini. 

"4 + 6 = 10," jawab nini.

"Kok nini bisa cepat sekali?" tanya Laras kepada nini.

"Karena nini sering berlatih," kata semua angka serempak.

"Aku juga mau berlatih dengan giat, supaya bisa menghitung dengan cepat seperti nini," kata Laras bersemangat.

Kurang.

"Sekarang tahukah Laras 4 - 3?" tanya si Empat dan si Tiga

"Kurang, harus menghitung mundur ya?" tanya Laras. 

"Benar," jawab semua angka kepada Laras.

Kalau begitu, simpan 4 dalam hati," kata Laras yang mulai menggerakkan jari untuk menghitung urutan mundur 3 langkah, "3, 2, 1."

Jadi 4 - 3 = 1," jawah Laras.

"Pintar cucu nini ini," kata semua angka. 

"Hayo sekarang  7 - 5?"

Aku 7 si sini," kata si Tujuh.

"Ayo mundur 5 langkah," kata para bilangan, Ini dia 6, 5, 4, 3, 2."

"Jadi 7 - 5 = 2," kata si Dua yang terakhir dari 5 angka yang ikut menghitung mundur satu per satu. 

"Sekarang kalau aku," kata si Nol, "Berapa 0 - 2?"

Bilangan Negatif.

"Aku sudah tahu hasil 0 - 2," kata Laras tiba-tiba.

"Berapa?" tanya si Dua. 

Misalnya kosong,  aku tidak punya apa-apa dan harus dikurangi 2," kata Laras, "Jadi kurang 2, atau utang 2."

"Ya betul," kata nini, "tepat sekali kurang 2, utang 2 dinamakan bilangan negatif 2."

"Lambangnya -2, kata nini lagi, "dikatakan bilangan negatif, jadi utang itu merupakan sifat negatif."

"Begitu juga dengan bilangan lebih kecil dikurangi dengan bilangan lebih besar," kata se Tiga dan si Lima, "Hasil dari 3 dikurangi 5 adalah utang 2, atau 3 - 5 = -2."

Selanjutnya cara mudah membayangkan bilangan negatif  adalah dengan "utang", yang harus diberi tanda - (baca: minus).

Bilangan negatif harus dituliskan dengan - di depan bilangan itu, sedangkan yang lain sebagai bilangan positif boleh dituliskan dengan atau tanpa tanda +. 

Kali.

Operasi kali, dengan lambang "x" merupakan operasi tambah yang berulang.

"Misalnya 3 x 5" kata si Tiga dan si Lima, " Artinya 5 + 5 + 5 sampai 3 kali. 

"Nah hasilnya 3 x 5 = 15," kata nini. 

"Sekarang berapa hasil 2 x -4," tanya nini kepada si Dua dan si Empat. 

Mereka berpikir, "Utang 4, terus utang lagi 4, Jadi utang 8.

"Benar jadi 2 x -4 = -8, jawab nini. 

Laras bingung, memang Laras masih terlalu kecil. Belum mengerti. Nanti kalau sekolah tatap muka sudah terselenggara, dan Laras sudah di SD tentu bisa mengerti. 

"Kalau 3 x 0 berapa?" tanya si Tiga

"Kan 0 + 0 + 0 sampai 3 kali ya hasilnya 0," kata si Tiga.

Bagi.

Kalau operasi kali merupakan penjumlahan berulang, sebaliknya operasi bagi adalah pengurangan berulang. 

"Misalnya 6 : 3, Kata si Enam dan si Tiga, "6 - 3 - 3 = 0, 3 sebanyak 2 kali menyatakan 6 : 3 = 2."

"Atau 6 = 3 + 3," kata si Dua, "Penjumlahan angka sebanyak 2  kali, menyatakan 6 : 3 = 2"

"Mungkin paling mudah melihat pembagian sebagai kebalikan dari perkalian," kata nini.

"Misalkan 5 x 2 = 10," kata nini, " Ini berarti 10 : 5 = 2 atau 10 : 2 = 5."

Ingat bilangan 10.

Angka 1 bergandengan tangan dengan 0, tadi membentuk bilangan-bilangan yang merupakan nilai tempat bagi aneka angka yang akan membentuk  aneka bilangan.  

10 si Sepuluh. 

• Bilangan 13--angka 1 di tempat puluhan, dengan nilai tempat 10--angka 3 dengan nilai tempat satuan, dengan nilai tempat 3. Jadi total nilai si Tiga belas 13 = 10 + 3. 

• Bilangan 36-- angka 3 di tempat puluhan dengan nilai tempat 30--angka 6 dengan nilai tempat satuan, dengan nilai tempat 6. Jadi total nilai si Tiga Puluh Enam 36 = 30 + 6.

• Bilangan 81-- angka 8 di tempat puluhan dengan nilai tempat 80--angka 1 dengan nilai tempat satuan, dengan nilai tempat 1. Jadi total nilai si Delapan Puluh Satu 81 = 80 + 1.

100 si Seratus

• Bilangan 205--angka 2 di tempat ratusan, dengan nilai tempat 200--angka 0 dengan nilai tempat puluhan, dengan nilai tempat 0--angka 5 dengan nilai tempat satuan, dengan nilai tempat 5. Jadi total nilai si Dua Ratus Lima 205 = 200 + 0 + 5. 

• Bilangan 419--angka 4 di tempat ratusan, dengan nilai tempat 400--angka 1 dengan nilai tempat puluhan, dengan nilai tempat 10--angka 9 dengan nilai tempat satuan, dengan nilai tempat 9. Jadi total nilai si Empat Ratus Sembilan Belas 419 = 400 + 10 + 9.

• Bilangan 725--angka 7 di tempat ratusan, dengan nilai tempat 700--angka 2 dengan nilai tempat puluhan, dengan nilai tempat 20--angka 5 dengan nilai tempat satuan, dengan nilai tempat 5. Jadi total nilai si Tujuh Ratus Dua Puluh Lima 725 = 700 + 20 + 5.

1000 si Seribu.

• Bilangan 2370--angka 2 di tempat ribuan, dengan nilai tempat 2000--angka 3 dengan nilai tempat ratusan, dengan nilai tempat 300--angka 7 dengan nilai tempat puluhan, dengan nilai tempat 70--angka 0 di tempat satuan, dengan nilai tempat 0. Jadi total nilai si Dua Ribu Tiga Ratus Tujuh Puluh 2370 = 2000 + 300 + 70 + 0.

• Bilangan 4567--angka 4 di tempat ribuan, dengan nilai tempat 4000--angka 5 dengan nilai tempat ratusan, dengan nilai tempat 500--angka 6 dengan nilai tempat puluhan, dengan nilai tempat 60--angka 7 di tempat satuan, dengan nilai tempat 7. Jadi total nilai si Empat Ribu Lima Ratus Enam Puluh Tujuh 4567 = 4000 + 500 + 60 + 7. 

• Bilangan 9832--angka 9 di tempat ribuan, dengan nilai tempat 9000--angka 8 dengan nilai tempat ratusan, dengan nilai tempat 800--angka 3 dengan nilai tempat puluhan, dengan nilai tempat 30--angka 2 di tempat satuan, dengan nilai tempat 2. Jadi total nilai si Sembilan Ribu Delapan Ratus Tiga Puluh Dua 9832 = 9000 + 800 + 30 + 2.

10000 si Sepuluh Ribu.

• Bilangan 52374--angka 5 di tempat puluh ribuan, dengan nilai tempat 50000--angka 2 di tempat ribuan, dengan nilai tempat 2000--angka 3 dengan nilai tempat ratusan, dengan nilai tempat 300--angka 7 dengan nilai tempat puluhan, dengan nilai tempat 70--angka 4 di tempat satuan, dengan nilai tempat 4. Jadi total nilai si Lima Puluh Dua Ribu Tiga Ratus Tujuh Puluh Empat 52374 = 50000 + 2000 + 300 + 70 + 4.

• Bilangan 39372--angka 3 di tempat puluh ribuan, dengan nilai tempat 30000--angka 9 di tempat ribuan, dengan nilai tempat 9000--angka 3 dengan nilai tempat ratusan, dengan nilai tempat 300--angka 7 dengan nilai tempat puluhan, dengan nilai tempat 70--angka 2 di tempat satuan, dengan nilai tempat 2. Jadi total nilai si Tiga Puluh Sembilan Ribu Tiga Ratus Tujuh Puluh Dua 39372 = 30000 + 9000 + 300 + 70 + 2.

• Bilangan 89335--angka 8 di tempat puluh ribuan, dengan nilai tempat 80000--angka 9 di tempat ribuan, dengan nilai tempat 9000--angka 3 dengan nilai tempat ratusan, dengan nilai tempat 300--angka 3 dengan nilai tempat puluhan, dengan nilai tempat 30--angka 5 di tempat satuan, dengan nilai tempat 5. Jadi total nilai si Delapan Puluh Sembilan Ribu Tiga Ratus Tiga Puluh Lima 89335 = 80000 + 9000 + 300 + 30 + 5.

100000 si Seratus Ribu

• Bilangan 539372--angka 5 di tempat ratus ribuan, dengan nilai tempat 500000--angka 3 di tempat puluh ribuan, dengan nilai tempat 30000--angka 9 di tempat ribuan, dengan nilai tempat 9000--angka 3 dengan nilai tempat ratusan, dengan nilai tempat 300--angka 7 dengan nilai tempat puluhan, dengan nilai tempat 70--angka 2 di tempat satuan, dengan nilai tempat 2. Jadi total nilai si Lima Ratus Tiga Puluh Sembilan Ribu Tiga Ratus Tujuh Puluh Dua 539372 = 500000 + 30000 + 9000 + 300 + 70 + 2.
• Bilangan 555779--angka 5 di tempat ratus ribuan, dengan nilai tempat 500000--angka 5 di tempat puluh ribuan, dengan nilai tempat 50000--angka 5 di tempat ribuan, dengan nilai tempat 5000--angka 7 dengan nilai tempat ratusan, dengan nilai tempat 700--angka 7 dengan nilai tempat puluhan, dengan nilai tempat 70--angka 9 di tempat satuan, dengan nilai tempat 9. Jadi total nilai si Lima Ratus Lima Puluh Lima Ribu Tujuh Ratus Tujuh Puluh Sembilan 555779 = 500000 + 50000 + 5000 + 700 + 70 + 9.
• Bilangan 921129--angka 9 di tempat ratus ribuan, dengan nilai tempat 900000--angka 2 di tempat puluh ribuan, dengan nilai tempat 20000--angka 1 di tempat ribuan, dengan nilai tempat 1000--angka 1 dengan nilai tempat ratusan, dengan nilai tempat 100--angka 2 dengan nilai tempat puluhan, dengan nilai tempat 20--angka 9 di tempat satuan, dengan nilai tempat 9. Jadi total nilai si Sembilan Ratus Dua Puluh Satu Ribu Seratus Dua Puluh Sembilan 921129 = 900000 + 20000 + 1000 + 100 + 20 + 9.

1000000 si Sejuta

• Bilangan 1921345--angka 1 di tempat jutaan, dengan nilai tempat 1000000--angka 9 di tempat ratus ribuan, dengan nilai tempat 900000--angka 2 di tempat puluh ribuan, dengan nilai tempat 20000--angka 1 di tempat ribuan, dengan nilai tempat 1000--angka 3 dengan nilai tempat ratusan, dengan nilai tempat 300--angka 4 dengan nilai tempat puluhan, dengan nilai tempat 40--angka 5 di tempat satuan, dengan nilai tempat 5. Jadi total nilai si Sejuta Sembilan Ratus Dua Puluh Satu Ribu  Tiga Ratus Empat Puluh Lima 1921345 = 1000000 + 900000 + 20000 + 1000 + 300 + 40 + 5.

• Bilangan 3821345--angka 3 di tempat jutaan, dengan nilai tempat 3000000--angka 8 di tempat ratus ribuan, dengan nilai tempat 800000--angka 2 di tempat puluh ribuan, dengan nilai tempat 20000--angka 1 di tempat ribuan, dengan nilai tempat 1000--angka 3 dengan nilai tempat ratusan, dengan nilai tempat 300--angka 4 dengan nilai tempat puluhan, dengan nilai tempat 40--angka 5 di tempat satuan, dengan nilai tempat 5. Jadi total nilai si Tiga Juta Delapan Ratus Dua Puluh Satu Ribu  Tiga Ratus Empat Puluh Lima 3021345 = 3000000 + 800000 + 20000 + 1000 + 300 + 40 + 5.

• Bilangan 7821607--angka 7 di tempat jutaan, dengan nilai tempat 7000000--angka 8 di tempat ratus ribuan, dengan nilai tempat 800000--angka 2 di tempat puluh ribuan, dengan nilai tempat 20000--angka 1 di tempat ribuan, dengan nilai tempat 1000--angka 6 dengan nilai tempat ratusan, dengan nilai tempat 600--angka 0 dengan nilai tempat puluhan, dengan nilai tempat 0--angka 7 di tempat satuan, dengan nilai tempat 7. Jadi total nilai si Tujuh Juta Delapan Ratus Dua Puluh Satu Ribu  Enam Ratus Tujuh 7821607 = 7000000 + 800000 + 20000 + 1000 + 600 + 0 + 7.

Dan ... dan masih masih banyak lagi. Semua bilangan-bilangan ada yang positif, dan ada yang negatif

Angka 0 ditemukan pertama kali oleh matematikawan dari India Brahmagupta, dan memenuhi sifat-sifat.

• Bilangan positif + 0 = bilangan positif, sebaliknya 0 + bilangan positif = bilangan positif.

• Bilangan negatif - 0 = bilangan negatif, sebaliknya 0 - bilangan positif = bilangan negatif, dan  0 - bilangan negatif  =  bilangan positif.

• Bilangan negatif adalah lawan bilangan positif dangan nilai yang sama, dan sebaliknya.

• Bilangan x 0 = 0, atau 0 x bilangan = 0.

• 0 : bilangan  = 0, sebaliknya bilangan : 0 = tidak terdefinisi.

• Bilangan positif x bilangan positif = bilangan positif.

• Bilangan positif x bilangan negatif = bilangan negatif, sebaliknya bilangan negatif x bilangan positif = bilangan negatif.

• Bilangan negatif x bilangan negatif = bilangan positif.

• Semua bilangan dalam pembahasan ini dikenal sebagai bilangan bulat. Bilangan : bilangan bisa habis dibagi atau  bisa bersisa. Sisa inilah yang akan membentuk bilangan pecahan.

Selamat belajar bagi anak cucu . Selamat bersiap tatap muka kepada para guru. Salam bilangan yang penuh kerukunan.

Bumi Matkita,

Bandung, 27/02/2021.