Born dan Jordan menemukan bahwa semua elemen dalam matriks produk harus bernilai nol, kecuali elemen di sepanjang diagonal matriks produk - matriks produk adalah matriks baru yang diperoleh dari perkalian dua matriks sebelumnya. Elemen dalam diagonal matriks inilah yang memuat nilai energi atom dalam keadaan stasioner. Ini, bersama dengan prinsip konservasi energi menjadi dasar yang kuat bagi Born dan Jordan untuk yakin bahwa teori tersebut nantinya dapat mencakup hukum fisika yang benar-benar mendalam.
Mereka juga menyelesaikan kebingungan yang dialami Heisenberg sebelumnya tentang hasil perkalian tak komutatif dimana p x q tidak sama dengan q x p. Dalam mekanika klasik, posisi partikel yang diwakili dengan q beserta momentumnya yang diwakili dengan p, dapat ditentukan dengan jelas sebagai fungsi waktu melalui persamaan gerak Newton. Artinya, partikel didefinisikan bergerak sepanjang lintasan yang dijelaskan oleh fungsi posisi terhadap waktu dan fungsi momentum terhadap waktu. Dengan demikian, lintasan dan keadaan gerak partikel dijelaskan secara lengkap oleh koordinat posisi q dan momentum p dalam mekanika klasik.
Variabel p dan q dalam mekanika klasik seperti yang disebutkan di atas adalah variabel biasa. Oleh karena itu kedua variable q dan p dapat dikalikan secara bolak balik tanpa mempedulikan urutan - jadi q x p = p x q. Sebagai contoh, jika p nilainya adalah 3 dan q nilainya adalah 5, maka 3 x 5 hasilnya akan sama dengan 5 x 3. Hal ini dikarenakan p dan q mewakili hanya satu nilai yang tunggal. Hal ini tidak berlaku dalam perkalian matriks.
Dalam mekanika matriks, gagasan klasik tentang posisi q dan momentum p harus didefinisikan ulang sebagai posisi kuantum q dan momentum kuantum p. Posisi kuantum dan momentum kuantum masing-masing mendeskripsikan intensitas dan frekuensi dari radiasi atom yang dipancarkan atau yang diserap. Oleh sebab intensitas dan frekuensi yang diperoleh adalah kuantitas yang teramati atau terukur ketika atom mengalami transisi, maka nilai intensitas dan frekuensi adalah deretan dari suku-suku bilangan yang didefinisikan ke dalam matriks.
Selanjutnya, karena posisi kuantum q dan momentum kuantum p masing-masing adalah sebuah matriks, maka perkalian antar dua matriks tersebut memerlukan aturan tertentu agar setiap elemen dalam setiap matriks 'terkombinasi' untuk menghasilkan matriks baru. Aturan kombinasi ini adalah mengalikan tiap baris terhadap kolom, lalu menjumlahkannya pada baris yang sama. Ini mengakibatkan hasil perkalian antara matriks q terhadap p tidak sama dengan hasil perkalian antara matriks p terhadap q (qp ≠ pq) karena urutan baris kali kolomnya akan berbeda jika dibolak-balik. Sifat ini disebut sifat tak komutatif. Namun, hal yang menarik yang ditemukan Born dan Jordan adalah bahwa selisih dari hasil perkalian antara kedua matriks tersebut dengan dua urutan perkalian yang berbeda (qp - pq) hanyalah sebesar ih/2π, tidak lebih ataupun kurang dari nilai itu. Notasi i adalah bilangan kompleks yang nilainya adalah akar kuadrat dari minus 1, sedangkan h adalah konstanta Planck.
Ketika paper Born dan Jordan dipublikasikan dan dibaca oleh Heisenberg, barulah Heisenberg menyadari bahwa ternyata jenis perkalian amplitudo yang dia kerjakan sebelumnya yang dia anggap aneh, ternyata memiliki bentuk matematikanya yang formal yang disebut perkalian matriks. Pada saat itu fisikawan belum akrab dengan aljabar linear terutama matriks. Matriks sendiri masih menjadi ranah murni matematika yang bahkan belum begitu umum juga di kalangan matematikawan itu sendiri. Jadi, alasan mengapa formalisme mekanika kuantum Heisenberg tidak dirumuskan sekali jalan adalah karena dia belum mengetahui bentuk matematika formal untuk menyelesaikan perhitungan yang dia hadapi pada papernya yang pertama. Untuk Born sendiri, ia pernah bergelut dengan matriks selama ia masih menjadi mahasiswa Rosanes di universitas Breslau. Ia juga pernah menulis paper yang berhubungan dengan matriks. Hanya saja, dalam paper terdahulunya itu ia tidak sampai melibatkan perkalian matriks, makanya saat pertama kali melihat bentuk perkalian dan deretan kombinasi amplitudo pada makalah Heisenberg ia tidak langsung menyadarinya. Jadi, apa yang kurang dari pekerjaan Heisenberg adalah belum menggunakan alat matematika yang tepat dan yang masih asing saat itu bernama matriks.
Menyadari kekurangannya, Heisenberg mulai mencari referensi dan mulai mempelajari matriks untuk mengejar ketinggalan. Segera sesudah itu, ia kembali ke Gottingen dan berkolaborasi dengan Born and Jordan. Bersama-sama mereka bertiga menerbitkan makalah lanjutan tentang mekanika kuantum baru pada November 1925 - sebuah makalah baru yang bertujuan untuk menyempurnakan makalah sebelumnya. Makalah ini kemudian dikenal sebagai the three-men paper dengan judul On Quantum Mechanics II. Makalah ini secara resmi menandai akhir dari era teori kuantum lama dan awal dari era teori kuantum baru atau teori kuantum modern. Mekanika kuantum yang dirumuskan dalam makalah dari ketiga orang ini diberi nama oleh Born sebagai Mekanika Matriks - nama yang dibenci oleh Heisenberg karena terkesan terlalu matematis.
Sampai di sini fondasi mekanika kuantum yang sejati telah dirumuskan, tetapi dengan tingkat abstraksi matematis yang baru dan belum pernah terjadi sebelumnya. Faktor keabstrakannya yang diakibatkan oleh bentuknya yang matematis membuat mekanika matriks tidak cocok dengan selera semua orang. Inilah alasan mengapa beberapa bulan kemudian setelah persamaan Schrodinger diperkenalkan, fisikawan lebih menerimanya dibandingkan mekanika matriks.
Dalam mekanika matriks hampir setiap variabel dan fungsi mekanika klasik ditafsirkan ulang sebagai matriks kuantum yang sesuai dan tunduk pada aturan kuantum. Perumusannya murni hanya didasarkan pada parameter atau kuantitas fisik yang dapat diamati. Ini dapat diungkapkan secara gamblang bahwa perumusannya hanya mengandalkan data-data yang murni dari hasil pengamatan. Ditambah lagi dengan matriks yang dianggap hanya sebagai alat matematik untuk mengkaji data kolektif, maka mekanika matriks mengokohkan kodratnya sebagai mekanika kuantum yang sangat abstrak.
Oleh karena formulasinya yang sangat matematis, maka tampak bahwa mekanika matriks tidak memberikan deskripsi fisik sama sekali tentang bagaimana partikel berperilaku. Dalam teori kuantum lama, partikel diasumsikan memiliki orbit sehingga dibayangkan bergerak mengorbit inti atom. Dalam mekanika matriks, asumsi ini dibuang karena peristiwa tersebut tidak dapat diamati secara langsung. Dengan kata lain, mekanika matriks meminta kita untuk berhenti memusingkan apa yang tidak bisa diamati, dan mulai menghitung apa yang dapat diamati - apa yang dilihat oleh pengamat itulah yang diperoleh pengamat.
Terlepas dari keabstrakan mekanika matriks, Born, Heisenberg dan Jordan dengan bangga mengumumkan bahwa mekanika kuantum baru milik mereka berhasil mencapai tujuan yang telah lama dicari. Mekanika ini berisi postulat dasar fisika kuantum pada atom tentang keberadaan keadaan energi stasioner yang berbeda dalam atom. Mekanika ini juga memperkenalkan lompatan kuantum yang disertai dengan emisi atau penyerapan energi, dan memungkinkan perhitungan dari sistem apa pun yang menampilkan gerakan periodik (seperti atom). Sifat atom yang sebelumnya membingungkan sekarang dapat diturunkan dari mekanika kuantum baru.
