Perlu Revolusi Logika.Â
Sebelum hasil ini, para ahli teori berasumsi o semua kebenaran matematika dapat dibuktikan. Namun, matematikawan Austria-Amerika Kurt Godel membantah hipotesis koherensi matematika dalam demonstrasi formal yang belum pernah terjadi sebelumnya.
Kurt Godel, (lahir 28 April 1906, Brnn, Austria-Hongaria [sekarang Brno, Republik Ceko] meninggal 14 Januari 1978, Princeton, N.J., AS), matematikawan, ahli logika, dan filsuf yang memperoleh apa yang mungkin merupakan hasil matematika terpenting abad ke-20: teorema ketidaklengkapannya yang terkenal, yang menyatakan o dalam sistem matematika aksiomatik ada proposisi yang tidak dapat dibuktikan atau disangkal berdasarkan aksioma dalam sistem itu; dengan demikian, sistem seperti itu tidak dapat secara bersamaan lengkap dan konsisten. Bukti ini menetapkan Godel sebagai salah satu ahli logika terbesar sejak Aristoteles, dan akibatnya terus dirasakan dan diperdebatkan hingga hari ini.
Dalam disertasi doktoralnya, "Uber die Vollstandigkeit des Logikkalkls" ("Tentang Kelengkapan Kalkulus Logika"), diterbitkan dalam bentuk yang sedikit dipersingkat pada tahun 1930, Godel membuktikan salah satu hasil logis terpenting abad ini---memang, dari sepanjang waktu yaitu, teorema kelengkapan, yang menetapkan bahwa logika orde pertama klasik, atau kalkulus predikat, lengkap dalam arti bahwa semua kebenaran logis orde pertama dapat dibuktikan dalam sistem pembuktian orde pertama standar.
Namun, ini tidak ada apa-apanya dibandingkan dengan apa yang diterbitkan Godel pada tahun 1931 yaitu, teorema ketidaklengkapan: "ber formal unentscheidbare Stze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" ("Pada Proposisi yang Tidak Dapat Diputuskan dari Principia Mathematica dan Sistem Terkait"). Secara kasar, teorema ini menetapkan hasil bahwa tidak mungkin menggunakan metode aksiomatik untuk membangun teori matematika, di cabang matematika mana pun, yang memerlukan semua kebenaran di cabang matematika itu.Â
Di Inggris, Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell telah menghabiskan waktu bertahun-tahun untuk program semacam itu, yang mereka terbitkan sebagai Principia Mathematica dalam tiga jilid pada tahun 1910, 1912, dan 1913.) Misalnya, mustahil untuk menghasilkan teori matematika aksiomatik. yang menangkap bahkan semua kebenaran tentang bilangan asli (0, 1, 2, 3,...). Ini adalah hasil negatif yang sangat penting, karena sebelum tahun 1931 banyak matematikawan mencoba melakukan hal itu dengan tepat membangun sistem aksioma yang dapat digunakan untuk membuktikan semua kebenaran matematika. Memang, beberapa ahli logika dan matematikawan terkenal (misalnya, Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) menghabiskan sebagian besar karier mereka untuk proyek ini. Sayangnya bagi mereka, teorema Godel menghancurkan seluruh program penelitian aksiomatik ini.
Teorema Godel dinyatakan dalam dua versi. Keduanya diterbitkan pada tahun 1930 dalam artikel Tentang proposisi yang tidak dapat diputuskan secara formal dari Principia Mathematica dan sistem terkait. Versi pertama, yang disebut "teorema inkonsistensi", berarti tepat o teori yang cukup untuk membenarkan teorema esensial aritmatika (ilmu bilangan) tentu tidak lengkap, dalam arti tidak memungkinkan untuk menentukan validitasnya. pernyataan tertentu - mereka dikatakan "tidak dapat diputuskan". Ini menunjukkan secara lebih umum o matematika memungkinkan, dalam kasus-kasus tertentu, untuk mendemonstrasikan pernyataan dan kebalikannya.
Hasil ini luar biasa dalam logika sejauh kontras dengan konsepsi Aristoteles tentang kebenaran sebagai non-kontradiksi, yang menurutnya dua pernyataan yang bertentangan tidak dapat benar pada saat yang sama. Versi kedua dari teorema adalah yang paling terkenal: itu adalah "teorema ketidaklengkapan" yang tepat. Ini menegaskan o teori matematika yang koheren harus mencakup kebenaran matematika yang tidak dapat ditunjukkan. Dengan kata lain, teori seperti itu selalu tidak lengkap, artinya, itu mencakup pernyataan yang tidak dapat dibuktikan -- tidak mungkin untuk menyimpulkannya dari aksioma teori -- atau dapat disangkal -- juga tidak mungkin untuk menyimpulkan negasinya. Dengan demikian, kedua versi teorema Godel mengungkapkan o matematika menemukan batasan di alam semestanya sendiri.
Teorema ketidaklengkapan Godel telah dialihkan ke filsafat. Mengagumi penemuan besar yang memperkenalkan terobosan dalam sejarah logika, ilmu pengetahuan manusia telah mencoba menarik konsekuensi darinya di luar bidang matematika. Mereka mengadopsi gagasan o sebuah teori tidak dapat menjadi "lengkap", yaitu menjelaskan segalanya, dan "koheren", yaitu terdiri dari unsur-unsur yang tidak bertentangan - akan selalu ada pernyataan yang benar, tetapi tidak dapat dibuktikan. Misalnya, Regis Debray mengacu pada teorema ketidaklengkapan Godel dalam filsafat politik. Dari sini ia menyimpulkan o sebuah komunitas harus mendefinisikan dirinya sendiri melalui referensi eksternal yang transenden, di mana tokoh-tokoh nasional yang mistis kemungkinan besar menjadi bagiannya. Masyarakat tidak dapat menjadi koheren tanpa referensi eksternal ini.
 "Sejak hari ketika Godel menunjukkan o tidak ada bukti konsistensi aritmatika Peano yang dapat diformalkan dalam kerangka teori ini (1931), tulis semiolog, ilmuwan politik memiliki sarana untuk memahami mengapa perlu untuk membuat mumi Lenin dan mengeksposnya. kepada kawan-kawan yang "tidak disengaja" di bawah mausoleum, di Pusat Komunitas Nasional" (Penulis: Kejadian politik). Dengan kata lain, sebuah ansambel politik dengan wacana yang membenarkan keberadaan dan legitimasinya  secara teoritis "lengkap"  tidak dapat menemukan koherensinya sendiri. Oleh karena itu, teorema Godel akan menyiratkan o kohesi sosial akan bergantung pada referensi eksternal yang transenden.
