Dari persamaan di atas, kita dapat menghitung nilai optimal dari L dan :
= 50Q/L^(0.5)
K^(0.5)L^(0.5) = 1000
L = (1000^2/K)^0.5
Untuk menghitung fungsi modal K, kita perlu memasukkan nilai L yang telah dihitung ke dalam persamaan produksi CES dan menyelesaikan untuk K:
Q = (50L^(0.5) + K^(0.5))^2
K = (Q^2 - 50^2L - 2QL)/(2Q)
Dari hasil perhitungan di atas, kita dapat menginterpretasikan bahwa untuk mencapai output maksimal dengan biaya 1000, kita perlu mengoptimalkan alokasi input modal dan tenaga kerja sesuai dengan elastisitas substitusi yang konstan pada fungsi produksi CES. Dalam hal ini, input tenaga kerja memiliki bobot yang lebih besar dalam menghasilkan output maksimal, dengan biaya gaji 10 per unit tenaga kerja. Sedangkan input modal memiliki bobot yang lebih kecil, dengan biaya 2 per unit modal. Dengan mengoptimalkan alokasi input modal dan tenaga kerja sesuai dengan biaya yang diberikan, kita dapat mencapai output maksimal yang diinginkan dengan biaya yang efisien.
5. Dalam model Stackelberg, terdapat pemimpin dalam suatu industri yang mengambil keputusan pertama dalam menentukan output produksi, sedangkan pemimpin lainnya mengikuti tindakan pemimpin pertama. Dalam model ini, pemimpin pertama biasanya memiliki kendali yang lebih besar dan meningkatkan keuntungan mereka sebanyak mungkin sementara pemimpin kedua mengikuti dan mencoba untuk memaksimalkan keuntungan mereka sendiri.
Dalam kasus ini, kita akan mengasumsikan bahwa perusahaan satu yang menjadi pemimpin pertama dan perusahaan dua yang menjadi pemimpin kedua. Perusahaan 1 akan memilih output produksinya terlebih dahulu dan perusahaan dua akan mengikuti. Berdasarkan fungsi permintaan yang disebutkan di dalam soal, kita dapat menentukan fungsi total pendapatan sebagai berikut: TR = P(Q1+Q2) = (100--Q1--Q2)(Q1+Q2) = 100Q1 +100Q2 -- Q1Q1 -- Q1Q2 -- Q2Q1 -- Q2Q2
Kemudian, kita akan mencari tahu fungsi biaya total (TC) dengan menggunakan persamaan yang diberikan di soal yaitu TC = 40Q. Selain itu untuk menentukan output optimal masing-masing perusahaan dalam model Stackelberg, diperlukan perhitungan fungsi pendapatan marginal. Fungsi Pendapatan Marginal atau MR didapat dengan menghitung turunan tealh terhadap Q secara parsial TR terhadap Q: MR = 100 - 2Q1 - Q2. Fungsi biaya marginal (MC) didapatkan dengan menghitung turunan ketiga TC terhadap Q: MC = 40.
Untuk menghitung output yang optimal di masing-masing perusahaan dalam model Stackelberg. kita perlu menentukan reaksi dari PM kpd PL. Untuk menentukan reaksi PM ini, kita dapat menyelesaikan sinteks matematika dengan cara menyalin FT PM lalu berikan tanda hati pada Q1 di FT PM tersebut sehingga kita dapat menentukan Quantity saat ET beroperasi
PT PM :MR=MC, atau 100-2q1- q2 = 40
40+2q1 + q2 = 100
q1= (60-q2)/2 Â
Untuk menentukan output optimal perusahaan kedua, kita dapat menentukan MR kpd PL yang dihitung berdasarkan turunan parsial dalam permintaan Q1 dan Q2. Kemudian persamaan ini dapat di-set sama dengan MC, yaitu 40, sehingga didapat sebuah persamaan dengan dua variabel Q1 dan Q2.
MR = (dTR/dQ1) = 100 - 2Q2 - Q1
40 = (dTC/dQ2) = 40
MR = MC
100 - 2Q2 - Q1 = 40
Q2 = (60 - Q1)/2 - 30
Substitusi Q2 ke dalam MR, didapat Q1 = 20 dan Q2 = 10
Sehingga output optimal perusahaan pertama adalah 20 dan perusahaan kedua adalah 10. Dalam model Stackelberg, perusahaan pertama mengambil keuntungan lebih besar dibandingkan dengan perusahaan kedua karena mereka memiliki kendali dalam menentukan output produksi. Perusahaan kedua, sebagai follower, secara tidak langsung dipaksa untuk mengikuti langkah yang diambil oleh perusahaan pertama untuk memaksimalkan keuntungan mereka sendiri.
