Abstrak
Global Positioning System (GPS) adalah sistem navigasi berbasis satelit yang memungkinkan penentuan posisi dan waktu secara presisi di mana saja di permukaan bumi. GPS menemukan jarak dengan mengetahui berapa lama waktu yang dibutuhkan sinyal radio untuk berpindah dari satutitik ke titik lainnya. Aljabar linear, khususnya matriks augmented dan metode eliminasi Gauss-Jordan dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah GPS pada studi kasus yakni pemrosesan sinyal GPS dalam lingkungan gangguan sinyal.
Pendahuluan
Global Positioning System (GPS) adalah sistem navigasi berbasis satelit yang memungkinkan pengguna untuk menentukan posisi dan waktunya di manapun di dekat permukaan bumi. GPS bekerja dengan menggunakan jaringan satelit yang mengorbit bumi dan mengirimkan sinyal gelombang mikro. Penerima GPS di bumi menerima sinyal ini dan menghitung posisi berdasarkan perbedaan waktu kedatangan sinyal dari beberapa satelit. Sistem ini banyak digunakan dalam berbagai aplikasi, mulai dari navigasi kendaraan, pelacakan, hingga penentuan waktu yang presisi.
Sistem pemosisian global (GPS) telah menjadi alat penting untuk navigasi dan pelacakan di berbagai bidang, termasuk transportasi, survei, dan pertanian. Namun, kinerja GPS dapat terpengaruh oleh berbagai gangguan sinyal, seperti multipath, kebisingan termal, dan interferensi. Gangguan ini dapat menyebabkan ketidakakuratan dalam perkiraan posisi, kecepatan, dan waktu (PVT).
Salah satu metode untuk mengatasi gangguan sinyal GPS adalah dengan menggunakan pemrosesan sinyal. Metode pemrosesan sinyal yang umum digunakan untuk GPS adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang dihasilkan dari pengukuran GPS.
Penerapan Matriks Augmentasi
Matriks augmentasi dapat digunakan untuk merepresentasikan sistem persamaan linier yang dihasilkan dari pengukuran GPS. Matriks augmentasi terdiri dari dua bagian: matriks koefisien dan vektor konstanta. Matriks koefisien berisi koefisien dari variabel yang tidak diketahui, sedangkan vektor konstanta berisi nilai-nilai yang diketahui.
Matriks Augmentasi dalam Pemrosesan Sinyal GPS
Matriks augmentasi adalah teknik yang digunakan untuk merepresentasikan sistem persamaan linier dalam bentuk matriks yang dapat diproses lebih lanjut dengan berbagai metode numerik, salah satunya adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Dalam konteks pemrosesan sinyal GPS, matriks augmentasi dapat digunakan untuk memodelkan hubungan antara sinyal yang diterima dari satelit dan posisi aktual receiver (penerima).
Misalkan kita memiliki beberapa satelit GPS yang mengirimkan sinyal ke receiver. Setiap sinyal dapat dinyatakan sebagai persamaan linier dengan bentuk umum: whatsapp-image-2024-06-04-at-19-30-03-8017c96d-665f096e34777c47932994c2.jpg
Di mana (xi, yi, zi) adalah posisi satelit i, dan di adalah jarak dari satelit i ke receiver. Untuk mengatasi lingkungan dengan gangguan, kita menggunakan metode least squares untuk memperkirakan posisi. Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk linear:
whatsapp-image-2024-06-04-at-19-30-04-05bd3b51-665efe8834777c4c462d9ec2.jpg
[A|B]
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Metode eliminasi Gauss-Jordan adalah teknik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan mengubah matriks augmentasi menjadi bentuk eselon baris tereduksi (Reduced Row Echelon Form, RREF). Langkah-langkah dasar metode ini meliputi:
- Pilih pivot: Pilih elemen utama (pivot) dari baris pertama dan kolom pertama matriks.
- Normalisasi pivot: Bagi seluruh baris pivot dengan elemen pivot untuk membuat pivot menjadi 1.
- Eliminasi baris lain: Kurangi baris lain dengan kelipatan baris pivot untuk membuat elemen kolom pivot menjadi 0.
- Ulangi: Pindah ke baris berikutnya dan kolom berikutnya, ulangi langkah 1-3 sampai semua kolom telah diproses.