Pendahuluan
Semua orang harus bisa menghitung, paling tidak hitungan sederhana berupa urutan bilangan. Dengan kemampuan menghitung yang lebih baik membuat kehidupan sehari-hari lebih mudah, seperti misalnya sudah berapa langkah berjalan, berapa kali makan, berapa jumlah teman, dan sebagainya. Siapa sangka, ternyata banyak sekali hal di dunia ini diciptakan dan dilengkapi dengan hitungan-hitungan yang bahkan sangat rumit. Di dalam artikel ini kita membahas tentang berkenalan dengan dunia matematika, yaitu matematika secara ringkas.
Sejarah Matematika
Matematika yang kita pelajari dan gunakan sehari-hari, sebetulnya telah melewati sejarah yang sangat panjang. Saat ini kita bisa menghitung ada berapa butir telur pada sebuah keranjang, maka tinggal menghitung saja dengan cara memindahkan telur keluar keranjang sambil menghitung 1, 2, 3, … dan seterusnya setiap kali mengeluarkan telur dari keranjang. Atau, bila ada keranjang lain yang sudah dihitung, untuk mengetahui jumlahnya maka tinggal menjumlahkan angka hasil menghitung telur-telur dari kedua keranjang.
Torehan pada potongan tulang yang menyatakan jumlah dalam bentuk beberapa goresan diartikan bahwa pembuat goresan sedang menyatakan makna angka atau bilangan tertentu. Hal ini diinterpretasikan bahwa manusia di era ini sudah mengenal membilang atau menghitung. Penaksiran atas umur tulang yang ditemukan di pegunungan Lebombo, Swaziland, diperkirakan berumur sekitar 35.000 tahun Sebelum Masehi (SM). Para ahli meyakini bahkan sejak 50.000 tahun SM bangsa tertentu sudah menggunakan torehan pada tulang demikian sebagai cara menghitung.
Bangsa Mesir pertama kali membuat sebuah persamaan matematika sekitar 3.000 tahun SM. Pada tahun 600-300 tahun SM bangsa Yunani sudah menggunakan geometri untuk menyatakan masalah matematika. Bilangan negatif baru ditemukan orang China pada 200 tahun SM. Tahukah Anda, bahwa bilangan 0 (nol) baru ditemukan oleh orang India pada tahun 628 M, di mana kita sekarang bisa menghitung dari 0, 1, 2, dan seterusnya. Istilah dan perhitungan aljabar baru ditemukan orang Persia pada tahun 820 M. Menyusul kemudian notasi-notasi matematika sangat rumit pada tahun 1700-an, misalnya bilangan pangkat dan bilangan imajiner.
Bangsa-bangsa Mesopotamia (sekarang Irak), Mesir, Yunani, Cina, dan India dikenal dengan berbagai jejak sejarah peninggalan matematika yang kita kenal sampai sekarang. Potongan tembikar peninggalan bangsa Mesopotamia telah menggambarkan suatu pecahan aljabar. Lembaran bangsa Mesir berisi bilangan komposit, prima, harmonik, dan sebagainya. Rumus Pythagoras adalah salah satu sumbangan dari bangsa Yunani, sedangkan peletakan bilangan seperti pada bilangan desimal sekarang adalah warisan dari bangsa Cina. Bangsa India di antaranya memberikan warisan kepada kita rumus-rumus trigonometri sinus, cosinus, kebalikan sinus, dan sebagainya.
Sejarah dari penggunaan sistem bilangan yang sehari-hari kita gunakan sekarang, yakni sistem bilangan desimal, ternyata pernah mengalami berbagai perubahan sebelumnya. Dimulai dari bangsa Mesir Kuno, Cina, dan Sumeria yang telah menggunakan sistem bilangan desimal, namun belum sesempurna sekarang. Penulisan posisi bilangan dan penggunaan bilangan 0 (nol) bahkan baru dimulai pada abad ke-5 di India. Penggunaan simbol-simbol 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 bahkan baru dimulai pada abad ke-8 yang mengadopsi simbol-simbol dari bahasa Arab.
Matematika Murni
Berkenalan dengan dunia matematika, berarti juga berkaitan dengan matematika murni, yang membahas beberapa hal di antaranya adalah sebagai berikut:
- Sistem bilangan; matematika murni membahas tentang sistem bilangan, seperti bilangan bulat, asli, pecahan, real, prima, komplek, quaternion, oktonion, kardinal, pi, eksponensial, tak hingga, baik positif maupun negatif. Sistem bilangan juga digunakan sebagai dasar kerja mesin komputer.
- Struktur; merupakan kombinasi dari kumpulan bilangan yang berisi aturan dan bagaimana cara memanipulasinya, seperti penyajian persamaan, aljabar, vektor, matriks, aljabar linier, teori bilangan, kombinatorial (partisi, pohon, graf), teori grup, dan teori orde.
- Ruang; membahas tentang bentuk dan sifat di dalam ruang, seperti misalnya geometri, trigonometri, geometri fraktal (pangkat bilangan pecahan), topologi, teori ukuran, dan geometri diferensial. Ruang bisa dinyatakan dalam dimensi satu, dua, tiga, empat, atau lebih besar lagi, bahkan dalam dimensi pecahan atau multidimensi pecahan (multifractal).
- Perubahan; mempelajari tentang kalkulus mencakup diferensial dan integral yang berguna untuk menghitung luasan fungsi dan perilaku gradient dari suatu fungsi, misalnya diferensial, integral, kalkulus vektor, sistem dinamis, teori kaos, gradient decent, dan analisis kompleks. Pada tingkat lanjut melibatkan pula fungsi-fungsi transendental sangat rumit, dalam persamaan diferensial maupun bilangan imajiner.
Matematika Terapan
Matematika murni diaplikasikan pada berbagai bidang untuk memperoleh solusi dari masing-masing persoalan. Beberapa contoh matematika terapan antara lain sebagai berikut:
- Matematika fisika; Ilmu Fisika mengandung sangat banyak formulasi matematika, mulai yang sederhana hingga sangat rumit, misalnya fisika teoritis, gelombang, fisika fluida, astrofisika, dan sebagainya.
- Matematika kimia; Ilmu Kimia juga banyak mengandalkan formulasi dan solusi matematika, misalnya rantai DNA (deoxyribo nucleic acid), kimia kinetik, dan sebagainya.
- Biomatematika; berkaitan dengan model matematika tentang makhluk hidup, misalnya model kinetika enzim, matematika apoptosis, intra molekuler, dan sebagainya.
- Rekayasa; menggunakan matematika untuk memformulasi dan memecahkan persoalan rekayasa, misalnya teori kendali, elemen hingga, struktur, dan sebagainya.
- Analisis numerik; analisis numerik menggunakan komputer, misalnya penggunaan bilangan acak, pemrosesan berulang, simulasi, dan sebagainya.
- Teori permainan; membahas tentang mengapa dan bagaimana para pemain mengambil keputusan di dalam suatu permainan, misalnya permainan, para pemain, aturan main, strategi, keseimbangan Nash, zero sum games, volunteer’s dilemma, dan sebagainya.
- Ekonomi; menerapkan metode matematika untuk menyelesaikan persoalan-persoalan ekonomi, misalnya otomasi, statika, dinamika, utilitas marginal, ekonomi makro dan mikro, dan sebagainya.
- Probabilitas; menerapkan matematika di dalam ilmu peluang atau kemungkinan kejadian, misalnya peluang diskret, peluang kontinu, distribusi peluang, dan sebagainya.
- Statistik; menerapkan matematika untuk persoalan statistik, misalnya pengambilan sampel, pendugaan, pengujian produk, perencanaan percobaan, dan sebagainya.
- Optimisasi; matematika digunakan untuk melakukan pemilihan terbaik dalam berbagai kendala atau keadaan, misalnya rencana perjalanan, manajemen produksi, jarak terpendek, optimasi waktu tercepat, dan sebagainya.
- Ilmu komputer; matematika yang diterapkan pada persoalan komputer, misalnya matematika diskret, pengkodean, teori informasi, graf, deret, teori bahasa, bahasa formal, dan sebagainya.
- Kriptografi; menerapkan matematika untuk enkripsi-dekripsi data sehingga dapat meningkatkan keamanan dan kecepatan transmisi, misalnya penyandian pesan, blockchain, tabel hash, tanda tangan digital, watermarking, dan sebagainya.
Dasar Matematika
Sebagai dasar dari matematika terdapat sekumpulan sub bidang yang dipelajari, antara lain:
- Aturan-aturan dasar; kaidah-kaidah dasar dari matematika, misalnya aksioma, dalil, konsistensi, dan sebagainya.
- Logika matematika; membahas tentang aturan-aturan dan sifat logika yang berlaku, misalnya konjungsi, penyangkalan, implikasi, dan sebagainya.
- Teori himpunan (set); membahas tentang kumpulan-kumpulan atau himpunan yang terdiri dari anggota-anggota beserta manipulasi dan sifatnya, misalnya semesta, irisan, gabungan, komplemen, dan sebagainya.
- Teori kategori; membahas tentang struktur dan relasi abstrak, misalnya aljabar dimensi tinggi, kalkulus lambda, teori grup, dan sebagainya.
- Teori komputasi; membahas tentang masalah-masalah yang dapat dipecahkan dengan model komputasi dan algoritma tertentu, misalnya automata, bahasa formal, teori komputabilitas, kompleksitas komputasi, dan sebagainya.