A. Pengertian PLDV
Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.
Bentuk umum :
ax + by = c
Keterangan:
a = Koefisien x
b = koefisien y
c = konstanta.
y dan x = Variabel
Contoh:
1. 4x + 5y = 20 3. 2x -- 6y = 12
2. 2x -- 6y = 24 4. 3x = y -- 7
B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sistem persamaan linear dua variabel adalah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.
Bentuk umum :
ax + by = c
px + qy = r
a, b, p, q disebut koefisien
c, r disebut konstanta.
y dan x disebut Variabel
C. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Cara penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan cara:
1. Substitusi
Menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lain.
Contoh:
Carilah penyelesaian sistem persamaan
x + 2y = 8 dan 2x – y = 6
Jawab:
Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8
Kemudian persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y, Kemudian persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan 2x – y = 6 menjadi :
2 (8 – 2y) – y = 6 → (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y)
16 – 4y – y = 6
16 – 5y = 6
-5y = 6 – 16
-5y = -10
5y = 10
y = 10 : 5
y = 2
masukkan nilai y = 2 ke dalam salah satu persamaan :
x = 8 – 2y
x = 8 – 2(2)
x = 8 – 4
x = 4
Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel x + 2y = 8 dan 2x – y = 6 adalah x = 4 dan y = 2.
2. Eliminasi
Eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabel x atau y dari dua persamaan.
Contoh:
Carilah penyelesaian sistem persamaan
x + 2y = 8 dan 2x – y = 6
Jawab:
(i) mengeliminasi variabel x
sumber gambar: dokumen pribadi sumber gambar: dokumen pribadi
(ii) mengeliminasi variabel y
sumber gambar: dokumen pribadi
Jadi penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6 adalah x = 4 dan y = 2.
* catatan
nilai + atau – digunakan untuk menghilangkan/eliminasi salah satu variable agar menjadi 0
Contoh di atas:
(i) yang dieliminasi adalah x :
x dalam persamaan satu + dan persamaan dua + , untuk eliminasi digunakan tanda –
(ii) yang dieliminasi adalah y :
y dalam persamaan satu +, persamaan dua - , untuk eliminasi digunakan tanda +
3. Grafik
Dengan menggambarkan persamaan linearnya pada koordinat Cartesius, titik potong dari kedua persamaan linier tersebut merupakan penyelesaiannya.
Contoh:
Carilah penyelesaian dari:
x + y = 8 dan 2x – y = 4
Jawab:
- Tentukan titik potong garis x + y = 8 dengan sumbu x dan sumbu y
titik potong dengan sumbu y jika x = 0
jika x = 0 → maka y = 8 – x = 8 – 0 = 8
titik potong dengan sumbu x jika y = 0
jika y = 0 → x = 8 – y = 8 – 0 = 8
Maka persamaan garis x + y = 8 adalah melalui titik (0.8) dan (8,0).
- Tentukan titik potong garis 2x – y = 4 dengan sumbu x dan sumbu y
titik potong dengan sumbu y jika x = 0
jika x = 0 → maka y = 2x – 4 = 2(0) – 4 = 0 - 4 = - 4
titik potong dengan sumbu x jika y = 0
jika y = 0 → 2 x = y + 4 = 0 + 4 = 4, maka x = 2
Maka persamaan garis 2x – y = 4 adalah melalui titik (0, -4) dan (2,0).
Gambar grafiknya sebagai berikut:
sumber gambar: dokumen pribadi
dari gambar grafik terlihat titik potong garis x + y = 8 dan 2x – y = 4 adalah (4,4).
Jadi penyelesaian dari x + y = 8 dan 2x – y = 4 adalah x = 4 dan y = 4.
Contoh penggunaan SPLDV dalm kehidupan sehari-hari:
1. Harga 2 kg salak dan 3 kg jeruk adalah Rp32.000,00, sedangkan harga 3 kg salak dan 2 kg jeruk adalah Rp33.000,00. Harga 1 kg salak dan 5 kg jeruk adalah ....
Jawab:
Harga 2 kg salak dan 3 kg jeruk adalah Rp32.000,00, sedangkan harga 3 kg salak dan 2 kg jeruk adalah Rp33.000,00.
Dari permasalahan di atas, dapat diperoleh sistem persamaan linear berikut.
Misalkan: harga 1 kg salak dilambangkan s; harga 1 kg jeruk dilambangkan j.
sumber gambar: dokumen pribadi sumber gambar: dokumen pribadi
Harga 1 kg salak dan 5 kg jeruk adalah
= Rp7.000,00 + 5 x Rp6.000,00
= Rp37.000,00
2. Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp6000, kemudian apabila harga untuk membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,- Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah manga dan 5 buah jeruk ?
Jawab :
Dalam menyelesaikan soal cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model matematika.
Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y
Maka model matematika soal tersebut di atas menjadi :
2x + 3 y = 6000
5x + 4 y = 11500
Ditanya 4 x + 5 y = ?
Kita eliminasi variabel x :
sumber gambar: dokumen pribadi
Substitusi ke dalam salah satu persamaan :
2x + 3 y = 6000
2x + 3 . 1000 = 6000
2x + 3000 = 6000
2x = 6000 – 3000
2x = 3000 → x = 1500
didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk) sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk adalah
4 x + 5 y
= 4 x 1500 + 5 x 1000
= 6000 + 5000
= Rp11.000,-
Sebagai bahan latihan soal bisa diunduh Disini.
Semoga bermanfaat. Terima Kasih.